成都理工大學(xué) 高數(shù)下 重修D(zhuǎn)9_5隱函數(shù)求導(dǎo)

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt1第四節(jié)隱函數(shù)微分法目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt2一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt30)(,(xfxF兩邊對(duì) x 求導(dǎo)0ddxyyFx

2、FyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt4若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還可求隱函數(shù)的 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt5例例1. 驗(yàn)證方程01esinyxyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1esin),(y

3、xyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx連續(xù) ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt6,eyFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxFx2)cos( xy 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt70 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyx

4、yycos兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時(shí)1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt8定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足;0),(000zyxF,0),(000zyx

5、Fz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt90),(,(yxfyxF兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt10例例2. 設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對(duì) x 求導(dǎo)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt11解法解法2 利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則

6、,2xFxzxFFxz兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt12zxFFxz xz例例3. 設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程故目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt13對(duì)方程兩邊求微

7、分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt14二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 , 即雅可比 目錄 上頁(yè) 下

8、頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt15定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu ),(000yxvv 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt16vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：),(),(1vxG

9、FJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt170),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組,0vuvuGGFFJ在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系數(shù)行列式xuvuvu

10、GGFFvxvxGGFF目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt18xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同樣可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt19例例4. 設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu1方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvxuxvyxux022yx由題設(shè)故有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt20練習(xí)練習(xí)設(shè), ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz目錄

11、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt21zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt22)()(xzzxyy及,2e yxyx習(xí)題習(xí)題.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得1ddfxuuzyxx x0)()(eyxyyxyyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(e1zxzxzx,dsine0tttzxx解得因此2fxy3)sin()(e1fzxzxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整理ppt23 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設(shè))(, )(xzzxyy是