第4章有限元法

1、第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)14.1 概述概述4.2 有限元法的基本步驟有限元法的基本步驟4.3 二維線彈性問題二維線彈性問題4.4 有限元程序的應(yīng)用有限元程序的應(yīng)用4.5 ANSYS的應(yīng)用的應(yīng)用本章重點(diǎn)：有限元的基本思想本章重點(diǎn)：有限元的基本思想 有限元的解題步驟有限元的解題步驟 掌握掌握ANSYS使用方法使用方法第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)2引例 飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析的數(shù)值計(jì)算 在進(jìn)行飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析時(shí)，由于幾何形狀復(fù)雜，無法得到問題精確(解析)解。借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，采用數(shù)值(分析)計(jì)算方法，可獲得問題的數(shù)值(近似)解。目前，在工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)值分析方法主要有： 有限元法、邊界元法和有

2、限差分法第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)34.1 有限元法概述 有限元法誕生于20世紀(jì)中葉，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展，已成為計(jì)算力學(xué)和計(jì)算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法，幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問題。概念：有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個(gè)單元集合而成，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，即用有限個(gè)單元的集合來代替原來具有無限個(gè)自由度的連續(xù)體。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)44.1.1 問題的提出W1W2LPy12345A1A2A3A4Pl1l2l3l4圖4.1 變截面桿受力分析第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)5u1u2u3u4u5P12345單元單元1 1單元單元2 2單元單

3、元3 3單元單元4 4節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1 1R1 1k1(u2-u1)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2 2k2(u3-u2)k1(u2-u1)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)3 3k3(u4-u3)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)4 4k4(u5-u4)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5 5k2(u3-u2)k3(u4-u3)k4(u5-u4)P 對(duì)于簡(jiǎn)化后的模型對(duì)于簡(jiǎn)化后的模型使用兩種求解方法：使用兩種求解方法： 靜力學(xué)平衡法、有靜力學(xué)平衡法、有限元法限元法圖圖4.2 4.2 等效圖等效圖第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)61) 靜力學(xué)平衡法靜力學(xué)平衡法0)(50)()(40)()(30)()(20)(14544543433432322321211211Puukuukuukuuku

4、ukuukuukuukR：節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)PRuuuuukkkkkkkkkkkkkkkk0000000000000001543214444333322221111第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)7PuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkR000000000000000000005432144443333222211111反作用力矩陣剛度矩陣位移矩陣負(fù)荷矩陣R = KU - FPuuuuukkkkkkkkkkkkkk0000000000000000015432144443333222211應(yīng)用邊界條件：u1 = 0第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)82) 有限元法求解(1) 單獨(dú)建立每

5、個(gè)單元的受力方程fi+1fi節(jié)點(diǎn)i節(jié)點(diǎn)i+1uiui+1節(jié)點(diǎn)i: fi = keq(ui-ui+1)節(jié)點(diǎn)i+1: fi+1 = keq(ui+1-ui)可表示為如下矩陣形式1eqeqeqeq1iiiiuukkkkff圖4.3 單元第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)9(2) 將單元組合代表整個(gè)問題單元1的剛度矩陣在總體剛度矩陣中的位置0000000000000000000001111)1(kkkkKGK(1)4444)4(3333)3(2222)2(kkkkKkkkkKkkkkKK(2)位置第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)10總剛度矩陣總剛度矩陣)4()3()2()1()(GGGGGKKKKK4444

6、3333222211)(00000000000001kkkkkkkkkkkkkkKG第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)114.1.2 有限元法的歷史 1943年Courant第一次嘗試應(yīng)用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理相結(jié)合研究了St.Venant體扭轉(zhuǎn)問題,這是有限元思想的提出。但當(dāng)時(shí)沒有引起人們的注意。 1956年Turener和Clough等用有限元法第一次得出了平面應(yīng)力問題的正確答案。 1960年Clough又進(jìn)一步應(yīng)用有限元法處理了平面彈性問題,并提出了有限元法的名稱,這才使得有限元法的理論和應(yīng)用都得到了迅速發(fā)展。 20世紀(jì)70年代以后,隨著計(jì)算機(jī)和軟件技術(shù)的發(fā)展有限元法

7、得到了迅猛的發(fā)展。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)124.2 4.2 有限元法的基本步驟有限元法的基本步驟4.2.1 基本過程和步驟基本過程和步驟1. 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化( (根據(jù)基本場(chǎng)變量與坐標(biāo)關(guān)系決定單元維數(shù)根據(jù)基本場(chǎng)變量與坐標(biāo)關(guān)系決定單元維數(shù)) )具體內(nèi)容：具體內(nèi)容：建立單元和整建立單元和整體坐標(biāo)體系體坐標(biāo)體系，對(duì)單元和節(jié)對(duì)單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合理的編號(hào)點(diǎn)進(jìn)行合理的編號(hào)，為后為后續(xù)有限元分析準(zhǔn)備數(shù)據(jù)續(xù)有限元分析準(zhǔn)備數(shù)據(jù)圖圖4.4 4.4 單元體單元體第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)132. 確定單元位移模式確定單元位移模式將單元中任一點(diǎn)的位移近似地表示為該單元節(jié)點(diǎn)位移

8、的將單元中任一點(diǎn)的位移近似地表示為該單元節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)；函數(shù)；確定插值函數(shù)（形函數(shù)），單元內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)變量都需確定插值函數(shù)（形函數(shù)），單元內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)變量都需要通過選定的插值形式由單元節(jié)點(diǎn)值插值求得。要通過選定的插值形式由單元節(jié)點(diǎn)值插值求得。3. 單元特性分析單元特性分析(1)(1)利用應(yīng)變和位移之間關(guān)系，將利用應(yīng)變和位移之間關(guān)系，將單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變e e用用待定的單元節(jié)點(diǎn)位移待定的單元節(jié)點(diǎn)位移d d e來表示來表示B變形矩陣變形矩陣(2)(2)利用應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系，將單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力利用應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系，將單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力s s用用待定的單元節(jié)點(diǎn)位移待定的單元節(jié)點(diǎn)位移d

9、d e來表示來表示eBd de e eDBdsD彈性矩陣彈性矩陣第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)14(3) (3) 利用虛位移原理或最小勢(shì)能原理建立單元?jiǎng)偠确匠汤锰撐灰圃砘蜃钚?shì)能原理建立單元?jiǎng)偠确匠蘣EeeeFFKd式中：式中：Fe是相鄰單元對(duì)本單元節(jié)點(diǎn)作用力所排列的矩陣是相鄰單元對(duì)本單元節(jié)點(diǎn)作用力所排列的矩陣FeE是外載荷作用于本單元節(jié)點(diǎn)上的單元等效載荷矩陣是外載荷作用于本單元節(jié)點(diǎn)上的單元等效載荷矩陣Ke是單元節(jié)點(diǎn)位移和單元節(jié)點(diǎn)力、單元等效節(jié)點(diǎn)載荷是單元節(jié)點(diǎn)位移和單元節(jié)點(diǎn)力、單元等效節(jié)點(diǎn)載荷之間物理關(guān)系的矩陣，稱為單元?jiǎng)偠染仃囍g物理關(guān)系的矩陣，稱為單元?jiǎng)偠染仃?. 建立表

10、示整個(gè)結(jié)構(gòu)建立表示整個(gè)結(jié)構(gòu)( (超靜定超靜定) )節(jié)點(diǎn)平衡的方程組節(jié)點(diǎn)平衡的方程組PPPKEd總體剛總體剛度矩陣度矩陣整體節(jié)點(diǎn)整體節(jié)點(diǎn)位移矩陣位移矩陣直接節(jié)直接節(jié)點(diǎn)載荷點(diǎn)載荷等效節(jié)等效節(jié)點(diǎn)載荷點(diǎn)載荷整體綜合節(jié)整體綜合節(jié)點(diǎn)載荷矩陣點(diǎn)載荷矩陣第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)155. 解方程組和輸出計(jì)算結(jié)果解方程組和輸出計(jì)算結(jié)果4.2.2 總體剛度矩陣的特性總體剛度矩陣的特性W1W2LPy123將前例簡(jiǎn)化為兩段階梯桿將前例簡(jiǎn)化為兩段階梯桿321321333231232221131211FFFuuukkkkkkkkk總總體體方方程程L(1)L(2)A(1)圖圖4.5 4.5 簡(jiǎn)化桿模型簡(jiǎn)化

11、桿模型第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)16第一個(gè)方程式可寫為第一個(gè)方程式可寫為 k11u1+k12u2+k13u3=F1 (4-1)式式(4-1)中，令中，令u1=1,u2=u3=0,則則2)2()2(12FLEAk含意含意：k11值等于第一自由度值等于第一自由度u1=1其其余為零，為實(shí)現(xiàn)平衡需在余為零，為實(shí)現(xiàn)平衡需在第一個(gè)自第一個(gè)自由度由度上所加外力上所加外力令令u2=1,u1=u3=0,則則1)1()1(11FLEAk含意含意：k12值等于第二自由度值等于第二自由度u2=1其其余為零，為實(shí)現(xiàn)平衡需在余為零，為實(shí)現(xiàn)平衡需在第一個(gè)自第一個(gè)自由度由度上所加外力上所加外力k13值等于第

12、三自由度值等于第三自由度u3=1其余為零，為實(shí)現(xiàn)平衡需在其余為零，為實(shí)現(xiàn)平衡需在第一第一個(gè)自由度個(gè)自由度上所加外力上所加外力第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)17(a) k11 (b) k12 (c) k13 u1=1k11u2=0 u3=0u1=0 u3=0u2=1k12k13u1=0 u2=0u3=1(e) k22k22u2=1u1=0 u3=0(g) k31k31u1=1u2=0 u3=0圖圖4.6 整體剛度矩陣元素的意義整體剛度矩陣元素的意義總剛度矩陣的特點(diǎn)：1)對(duì)稱性2)稀疏性第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)184.2.3 變形體虛位移原理和最小勢(shì)能原理as snsataassa2cosa

13、sta2sin21在單向拉應(yīng)力作用下，單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力為：0cos)cos(aassaaaAA圖4.7 材料力學(xué)單元應(yīng)力分析第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)19彈性體系統(tǒng)的勢(shì)能包括兩部分：彈性體系統(tǒng)的勢(shì)能包括兩部分：彈性體的彈性體的應(yīng)變能應(yīng)變能、外載荷的、外載荷的勢(shì)能勢(shì)能EAlFEAFlFlFU221212ses2121222EAlEAlFVUuFFll平面應(yīng)力狀態(tài)下單位體積應(yīng)變能平面應(yīng)力狀態(tài)下單位體積應(yīng)變能,根據(jù)能量守恒定律可得根據(jù)能量守恒定律可得)(210 xyxyyyxxUteses角應(yīng)變角應(yīng)變圖圖4.8 4.8 受力與應(yīng)變關(guān)系圖受力與應(yīng)變關(guān)系圖第4章 有限元法石家莊鐵道大

14、學(xué)石家莊鐵道大學(xué)20)(210zxzxyzyzxyxyzzyyxxUttteseses上式寫成矩陣形式上式寫成矩陣形式seT021U式中式中：Tzxyzxyzyxeeeezxyzxyxyxtttssss為彈性矩陣DDUeeT021廣義胡克定律代入廣義胡克定律代入同樣，空間應(yīng)力狀態(tài)下單位體積的應(yīng)變能可寫成同樣，空間應(yīng)力狀態(tài)下單位體積的應(yīng)變能可寫成第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)21彈性體的應(yīng)變能VzxzxyzyzxyxyzzyyxxdVU)(210tttesesesVVdVDdVeeseTT2121載荷的勢(shì)能VAdAwZvYuXdVwZvYuXV)()(AdpfdVpfAsvVTTpv彈性體體力p

15、s彈性體邊界表面力第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)221. 虛位移原理虛位移原理 虛位移虛位移是一種是一種假設(shè)加到結(jié)構(gòu)上假設(shè)加到結(jié)構(gòu)上可能的任意可能的任意微小位移微小位移，在發(fā)生位移過程中真實(shí)力所做的功，稱為虛功。在發(fā)生位移過程中真實(shí)力所做的功，稱為虛功。 當(dāng)一剛體在力系作用下處于當(dāng)一剛體在力系作用下處于靜力平衡靜力平衡時(shí)，給剛體任一虛位時(shí)，給剛體任一虛位移，在發(fā)生虛位移過程中，各外力所做的移，在發(fā)生虛位移過程中，各外力所做的總虛功必等于零總虛功必等于零，這是這是剛體的虛位移原理剛體的虛位移原理。 把虛位移原理推廣到變形體上，不僅需考慮外力的虛功，把虛位移原理推廣到變形體上，不僅需

16、考慮外力的虛功，還要考慮與內(nèi)力或應(yīng)力有關(guān)的虛功。還要考慮與內(nèi)力或應(yīng)力有關(guān)的虛功。dVWVxxyyyxx)(dtdesdes總第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)23 微元體上的力微元體上的力分為變形體所受的分為變形體所受的外力外力和和切割面內(nèi)力切割面內(nèi)力。對(duì)于二維。對(duì)于二維問題，所有微元體上的力所做的總虛功，可寫成問題，所有微元體上的力所做的總虛功，可寫成面外總WWW0,)()(VS面外WdVvYuXdSvYuXWdddd變形體虛位移原理變形體虛位移原理:受給定外力受給定外力變形體處于平衡狀態(tài)變形體處于平衡狀態(tài)的充分必的充分必要條件是對(duì)虛位移，要條件是對(duì)虛位移，外力所做的總虛功外力所做

17、的總虛功等于等于變形體所變形體所“接受接受”的總虛變形功的總虛變形功。dVVxyxyyyxx)(dtdesdesdVvYuXdSvYuXVS)()(dddd第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)242. 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理彈性體的總勢(shì)能泛函為彈性體的總勢(shì)能泛函為dVpfdVpfDVUAspVvTTT)21(ee最小勢(shì)能原理：最小勢(shì)能原理：在給定的外力作用下，滿足已知位移邊界在給定的外力作用下，滿足已知位移邊界條件和協(xié)調(diào)條件的所有各組位移中，真正發(fā)生的位移使總條件和協(xié)調(diào)條件的所有各組位移中，真正發(fā)生的位移使總勢(shì)能取最小值，即總勢(shì)能泛函的變分等于零勢(shì)能取最小值，即總勢(shì)能泛函的變分等于零

18、：pVU0)(dd最小勢(shì)能原理和虛位移原理等價(jià)，一個(gè)是能量的形式最小勢(shì)能原理和虛位移原理等價(jià)，一個(gè)是能量的形式,另另一個(gè)以功的形式一個(gè)以功的形式。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)254.3 二維線彈性問題二維線彈性問題 根據(jù)彈性體的根據(jù)彈性體的幾何形狀幾何形狀和和受力狀態(tài)受力狀態(tài)，二維線彈性，二維線彈性問題分為問題分為平面應(yīng)力平面應(yīng)力、平面應(yīng)變平面應(yīng)變和和軸對(duì)稱軸對(duì)稱問題。問題。對(duì)于薄板類對(duì)于薄板類(厚度小于界面厚度小于界面/15)彈彈性體，當(dāng)載荷平行于板平面時(shí)，性體，當(dāng)載荷平行于板平面時(shí)，沿板厚度沿板厚度(z向向)各應(yīng)力為零，只存各應(yīng)力為零，只存在應(yīng)力在應(yīng)力 。這類問題為。這類問

19、題為平平面應(yīng)力問題面應(yīng)力問題。xyyxt ts ss s,例子：鏈傳動(dòng)中的鏈片、連桿、飛輪、小齒寬的直齒圓例子：鏈傳動(dòng)中的鏈片、連桿、飛輪、小齒寬的直齒圓柱齒輪柱齒輪平面問題的定義平面問題的定義第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)260zzxzye對(duì)于等截面長(zhǎng)柱體，在載荷沿橫截面方向作用且沿長(zhǎng)度方向載荷大小基本不變時(shí)，可認(rèn)為各截面處于同樣應(yīng)變狀態(tài)。若柱體兩端面受到軸向約束，則各截面無軸向位移，即軸向(z向)各應(yīng)變?yōu)榱悖?，這類問題稱為平面應(yīng)變問題。如果彈性體的幾何形狀、材料、載荷和邊界條件都對(duì)稱某一軸線，則彈性體受載后產(chǎn)生的位移、應(yīng)變和應(yīng)力也都對(duì)稱于該軸線，這類問題稱為軸對(duì)稱問題。第4章 有限元法石

20、家莊鐵道大學(xué)274.3.1 (直邊)三角形單元分析vmy0 xijmvivjuiujumy0 xijmFxiFyiFymFxmFyjFxjTTmmjjiimjievuvuvuddd節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移：TTmyxmyjxjyiximjieFFFFFFFFFF節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力：第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)28 在有限單元位移法中，節(jié)點(diǎn)位移是基本未知量。單元分析任務(wù)是建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，在每個(gè)單元上，節(jié)點(diǎn)的位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量之間存在以下關(guān)系：eeeKFd式中：式中：Ke是是66階的矩陣，稱為單元?jiǎng)傮w矩陣階的矩陣，稱為單元?jiǎng)傮w矩陣第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)294.3.2

21、 單元位移模式和形函數(shù)單元位移模式和形函數(shù) 彈性單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移與其節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)關(guān)彈性單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移與其節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)關(guān)系稱為位移模式。彈性體內(nèi)部的位移規(guī)律非常復(fù)雜。系稱為位移模式。彈性體內(nèi)部的位移規(guī)律非常復(fù)雜。用數(shù)學(xué)上的各種插值函數(shù)來逼近真實(shí)的位移規(guī)律用數(shù)學(xué)上的各種插值函數(shù)來逼近真實(shí)的位移規(guī)律。 設(shè)單元位移分量是坐標(biāo)設(shè)單元位移分量是坐標(biāo)x x、y y的線性函數(shù)，其位移函的線性函數(shù)，其位移函數(shù)為數(shù)為yaxaayxvyaxaayxu654321),(,),(本式對(duì)節(jié)點(diǎn)也成立。本式對(duì)節(jié)點(diǎn)也成立。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)30mmmmmmjjjjjjiiiiiiyaxaayxvyax

22、aayxuyaxaayxvyaxaayxuyaxaayxvyaxaayxu654321654321654321),(),(),(),(),(),(求解上式：AvcvcvcaAucucucaAvbvbvbaAubububaAvavavaaAuauauaammjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjii2/ )(2/ )(2/ )(2/ )(2/ )(2/ )(635241ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxa式中：解法見matlab文件fuhaofc.m第4章 有限元法石家莊鐵道

23、大學(xué)31)(2111121ijmijmjiimmjmmjjiiyxyxyxyxyxyxyxyxyxA第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)32將將a1a6代入位移函數(shù)表達(dá)式代入位移函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)axaayaxaayxvyxufe654321),(),(式中：式中：emjimjieyxNyxNyxNyxNyxNyxNfd),(0),(0),(00),(0),(0),(),( ,2/ )(),(mjikAycxbayxNkkkkeeNfd 矩陣矩陣N稱為稱為形態(tài)函數(shù)矩陣形態(tài)函數(shù)矩陣，其元素是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，其元素是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，反映單元內(nèi)位移分布狀態(tài)，反映單元內(nèi)位移分布狀態(tài)，Ni、Nj、Nm

24、稱為稱為形函數(shù)形函數(shù)。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)334.3.3 ( (采用采用變分法變分法) )單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?)()(aadadxyxyJJ 高等數(shù)學(xué)我們學(xué)過微分的概念，微分是變量的增量。那么什么是變分呢？變分是函數(shù)(宗量)的增量，通常用d表示。變分具有以下的性質(zhì)：udSdSuuxxuwuwuddddddd)(第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)34用用變分法變分法建立三角形建立三角形常應(yīng)變常應(yīng)變單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?用用虛功方程虛功方程建立建立剛度方程剛度方程。設(shè)節(jié)點(diǎn)力設(shè)節(jié)點(diǎn)力F e及相應(yīng)的應(yīng)力分量及相應(yīng)的應(yīng)力分量d d e, ,使厚使厚h的三角形單元處于平衡狀態(tài)

25、，的三角形單元處于平衡狀態(tài)，假設(shè)單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移假設(shè)單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移dde, ,相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)橄鄳?yīng)的虛應(yīng)變?yōu)門xyyxddedede作用于單元上的外力只有節(jié)點(diǎn)力作用于單元上的外力只有節(jié)點(diǎn)力Fe,應(yīng)用虛功方程得應(yīng)用虛功方程得TT()eeAFh dxdydde d s由于由于eeDBBsdde,得：得：eAeeeDBdxdyhBF)()()(TTdd第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)35由于虛位移de是任意的,則必有eAeDBdxdyhBF)(TDBhABdxdyDBhBDBdxdyhBKAAeTTT令則有TTTTTmjimjieBBBDBBBhADBhABKemmemjemiejmejjejie

26、imeijeiiKKKKKKKKK第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)36對(duì)于平面力問題，式中各子矩陣22211211TrsrsrsrssrersKKKKhADBBKsrsrsrsrsrsrsrsrbbbcbbbcbccbccbbAEh21212121)1 (42(r=i,j,m;s=i,j,m)第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)37 根據(jù)彈性力學(xué)幾何方程的矩陣形式有根據(jù)彈性力學(xué)幾何方程的矩陣形式有xeeeyijmijmxyLL NNNBBBBeee 000, ,0qqqqxNBLNqi j mNyyx 式中式中第4章 有限元法38 推導(dǎo)剛度系數(shù)矩陣推導(dǎo)剛度系數(shù)矩陣 Ke過程非常繁瑣，其中的關(guān)過程非常繁

27、瑣，其中的關(guān)鍵是求鍵是求變形矩陣變形矩陣B和和彈性矩陣彈性矩陣DxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNBmmjjiimjimji000000mmjjiimjimjibcbcbccccbbbB000000第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)392100010112ED根據(jù)彈性力學(xué)中彈性方程求得第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)40例例1 如圖所示的正方形板邊長(zhǎng)為a，厚度為t，將其劃分為兩個(gè)等腰直角三角形單元，求單元的剛度矩陣。假設(shè)泊松比n = 0y0 x123ijm解：將單元取出，節(jié)點(diǎn)編號(hào)i,j,m,坐標(biāo)為:(0,a),(0,0),(a,0)。(1)求幾何矩陣Bai = 0, bi= 0, ci

28、 = aaj = a2, bj=-a, cj =-aam= 0, bm= a, cm= 0第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)41(3)求應(yīng)力矩陣S1011010010100101001aB(2)求彈性矩陣D(令0)1000200022ED1011010020200202002aEDBS第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)42(4)求Ke1011010202001031211213010020201011014TTEtStABBDtABKe從從Ke可以看出彈性平面可以看出彈性平面問題的單元?jiǎng)偠染仃嚲邌栴}的單元?jiǎng)偠染仃嚲哂信c桿系單元?jiǎng)偠染仃囉信c桿系單元?jiǎng)偠染仃囅嗤男再|(zhì)，即具有對(duì)相同的性質(zhì)，即具有對(duì)稱性和奇

29、異性。稱性和奇異性。emmmjmijmjjjiimijiieKKKKKKKKKK第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)434.3.4 總剛度矩陣的集成例2 求如圖4-12所示結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。yxij mm ji解：對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行整體編號(hào)和局部編號(hào)，單元1、2、4的尺寸、形狀、材質(zhì)完全相同，且采用相同節(jié)點(diǎn)編號(hào)，因而它們的單元?jiǎng)偠染仃囃耆嗤?。單?可以看作將單元1旋轉(zhuǎn)180后得到的，且采用了與單元1相同的局部編號(hào)，因而它們的單元?jiǎng)偠染仃囈蚕嗤?24356第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)44求各單元的貢獻(xiàn)剛度矩陣,將各單元的單元?jiǎng)偠染仃囋厮谛辛械木植烤幪?hào)換為整體編號(hào)，按整體編號(hào)填入單元?jiǎng)偠染仃囍?，得到?/p>

30、個(gè)單元的貢獻(xiàn)剛度矩陣K(1)、K(2)、K(3)、K(4)。以單元2為例，局部編號(hào)i、j、m分別對(duì)應(yīng)整體編號(hào)的2、4、5，按此對(duì)應(yīng)關(guān)系將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖泳仃囂钊胂鄳?yīng)位置：000000000000000000000000000654321)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2(mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkK總體編號(hào)總體編號(hào) 1 2 3 4 5 6第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)45單元3,局部編號(hào)i、j、m分別對(duì)應(yīng)整體編號(hào)5、3、2,其貢獻(xiàn)矩陣為(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)10000002000300040000005

31、0006000000mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkKkkk總體編號(hào)總體編號(hào) 1 2 3 4 5 6第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)46從例1中得到：2001iik2011ijk0010imk2101jik3113jjk1012jmk0100mik1102mjk1002mmk第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)石家莊鐵道大學(xué)47將各單元的貢獻(xiàn)剛度矩陣疊加，并將各子矩陣代將各單元的貢獻(xiàn)剛度矩陣疊加，并將各子矩陣代入，就可生成整體剛度矩陣入，就可生成整體剛度矩陣(1212階方陣階方陣)。(1)(2)(3)(4)eKKKKK第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)484.4 有限元程序的應(yīng)用 有限元軟

32、件簡(jiǎn)介 從二十世紀(jì)從二十世紀(jì)60年代中期以來，大量的理論研究不但拓年代中期以來，大量的理論研究不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫恼沽擞邢拊ǖ膽?yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?。有限元分析軟件?理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有：理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有： 大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動(dòng)力問大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動(dòng)力問題計(jì)算方法。題計(jì)算方法。 目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)49軟件名稱軟件名稱簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介MSC/Nast

33、ran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由由NASA研制研制MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件非線性分析軟件另外還有許多針另外還有許多針對(duì)某類問題的專對(duì)某類問題的專用有限元軟件，用有限元軟件，例如金屬成形分例如金屬成形分析軟件析軟件Deform、Autoform，焊接，焊接與熱處理分析軟與熱處理分析軟件件SysWeld等。等。國(guó)內(nèi)研制的有JIGFEX、HAJIF、FEPS等。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)501.有限元軟件

34、的特點(diǎn)(1)具有齊全的單元庫，如桿、梁、板、對(duì)稱軸、板殼、多面體等。(2)功能庫內(nèi)有各種分析模塊，如靜力分析、動(dòng)力分析、連續(xù)流體分析、流體分析、熱分析、線性與非線性分析模塊等。(3)應(yīng)用范圍廣，都具有前、后置處理功能，匯集了各種通用的標(biāo)準(zhǔn)子程序，組成了一個(gè)龐大的集成化軟件系統(tǒng)。在一些CAD/CAM/CAE系統(tǒng)中嵌套了有限元分析模塊。如I-DEAS、ProE、UG。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)512. 組成有限元軟件一般由三部分組成(1)前置處理部分(2)求解、進(jìn)行有限元分析，主要部分:進(jìn)行單元分析和整體分析，求解位移和應(yīng)力值的各種計(jì)算程序。(3)后置處理部分第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)52

35、3.解決問題的步驟1）建立實(shí)際工程的計(jì)算模型2）選擇適當(dāng)?shù)姆治龉ぞ?）前處理：建立幾何模型、有限單元?jiǎng)澐峙c網(wǎng)格控制。4）求解：給定約束和載荷、求解方法選擇、技術(shù)參數(shù)設(shè)定。5）后處理：用可視化方法分析計(jì)算結(jié)果。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)534.5 ANSYS軟件的應(yīng)用先啟動(dòng)Ansys Mechannical APDL Product Launcher來配置系統(tǒng)工作目錄。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)544.5.1 ANSYS常用圖形界面圖4.14 ANSYS GUI第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)551. 應(yīng)用菜單 ANSYS的應(yīng)用菜單(Utility Menu)窗口，包括文件管理(File)

36、、選擇(Select)、列表(List)、圖形(Plot)、圖形控制(PlotCtrls)、工作平面(WorkPlane)、參數(shù)設(shè)置(Parameters)、宏(Macro)、菜單控制(MenuCtrls)、幫助(Help)共10個(gè)下拉菜單。每個(gè)菜單可直接完成某項(xiàng)功能或彈出菜單窗口。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)562. 工具條 ANSYS將常用的命令制成工具按鈕的形式，方便調(diào)用。工具條中幾個(gè)缺省的按鈕分別為：(保存數(shù)據(jù))、(恢復(fù)數(shù)據(jù))、(退出程序)和(增強(qiáng)圖形)。 3.輸入窗口(Input)主要是用來輸入命令行命令的,輸入相應(yīng)的ANSYS內(nèi)部命令,還會(huì)提示相關(guān)的參數(shù)信息。單擊右邊的按鈕,則

37、以前執(zhí)行的命令將會(huì)出現(xiàn)在下拉列表中。選中某一行命令并單擊,則該命令即出現(xiàn)在輸入框中,此時(shí)可以對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)木庉嫛?第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)574.主菜單(Main Menu)是使用GUI模式進(jìn)行有限元分析的主要操作窗口，包含了ANSYS的主要功能：Preferences(參數(shù)選擇)、Preprocessor(前處理模塊)、Solution(求解計(jì)算模塊)、General Postprocessor(通用后處理器)、Time Postprocessor(時(shí)間歷程后處理器)和Design Opt(優(yōu)化設(shè)計(jì)模塊)等。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)585. 圖形窗口 圖形窗口用來顯示由ANSY

38、S創(chuàng)建或傳遞到ANSYS的模型以及分析結(jié)果等圖形信息。關(guān)于圖形顯示的設(shè)置，都在應(yīng)用菜單的Plot菜單命令中，此菜單中可以執(zhí)行重繪圖形、顯示關(guān)鍵點(diǎn)、線、面或體號(hào)等顯示操作。 6. 視圖工具欄 主要功能是對(duì)圖形窗口的模型進(jìn)行視圖的變換，如放大、縮小、平移、三維視角切換等，也可以選擇PlotCtrl|Pan Zoom Rotate菜單，打開一個(gè)相似的對(duì)話框，它也能實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的操作。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)597. 輸出窗口 和主界面一起啟動(dòng)的還有一個(gè)DOS輸出窗口。用來顯示ANSYS的文本輸出。此外ANSYS將輸出信息存放在記事本文件中,這些文件存放在ANSYS的工作目錄下,文件名稱和工程名稱

39、相同,后綴為txt和err(存放錯(cuò)誤信息)。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)604.5.2 應(yīng)用實(shí)例一個(gè)典型的ANSYS分析過程可分為以下六個(gè)步驟： 定義參數(shù) 創(chuàng)建幾何模型 劃分網(wǎng)格 加載數(shù)據(jù) 求解 結(jié)果分析第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)61例3 用ANSYS分析平面懸臂梁，其中F=2000N，彈性模量E=2.07105MPa，泊松比n 0.3。500 mm1000 mmF解：創(chuàng)建新目錄可通過launcher1.指定工程名和標(biāo)題 (1)啟動(dòng)ANSYS,單擊File|Change Jobname菜單,彈出如圖所示的Change Jobname對(duì)話框。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)62(2)在E

40、nter new jobname輸入框中輸入 “plane”，并單擊OK按鈕。 說明：每創(chuàng)建一個(gè)新的工程時(shí)，最好都重新定義工名稱，可以為工程命名為有意義的名稱，便是記憶，也確保不被別的文件覆蓋(3)單擊File|Change Title菜單，彈出如圖所示的Change Title對(duì)話框。 (4)在Enter new title輸入框中輸入“2D Plane”,并單擊OK按鈕。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)632定義單位 ANSYS軟件沒有為系統(tǒng)指點(diǎn)唯一的單位，除了磁場(chǎng)分析外，可以在工程分析中使用任意一種單位制，只是用戶在使用中要注意保證所有數(shù)據(jù)使用同一單位制就可以了。因此用戶可以根據(jù)自己的習(xí)

41、慣使用國(guó)際單位制或者工程單位制。 操作方法：在ANSYS主界面的輸入窗口（Input）中輸入“/UNIT,SI”，回車即可。 說明：ANSYS中此操作只提供命令流輸入模式，不提供GUI模式。使用/UNITS的命令格式為/UNITS,Label。其中Label是用戶可以定義的單位制，有USER(用戶自定義單位，是缺省設(shè)置)、SI(國(guó)際單位制)、BFT(以英尺為基礎(chǔ)的單位制)等。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)643定義單元類型 在ANSYS建模之前定義單元類型是必須的，因?yàn)閱卧愋蜎Q定了單元的自由度數(shù)和單元位于二維空間還是三維空間。 ANSYS程序的單元庫中有超過一百多種適合于不同問題的單元類型

42、。每一種單元都有自己特定的編號(hào)和單元類型名，如SOLID45、SHEll43等。其中編號(hào)是唯一的。本例的操作方法如下： （1）單擊Main MenuPreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete菜單，彈出如圖所示的Elenment Types對(duì)話框。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)65(2)單擊Elenment Types對(duì)話框中的Add按鈕,接著彈出如圖所示的Library of Elenment Types對(duì)話框。 (3)選擇左邊輸入框中的Solid.然后選擇右邊輸入框中的8node 82,單擊OK確認(rèn)。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)66(4)回到Elen

43、ment Types對(duì)話框,如圖所示。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)67(5)單擊Elenment Types對(duì)話框上面的Options按鈕,彈出如圖所示的PLANE42 element type options對(duì)話框。 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)684.創(chuàng)建基本模型，采用自下向上建模方法1)創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)1 (0,0,0) 2 (1000,0,0) 3 (1000,500,0) 4 (0,500,0)第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)692) 用直線將關(guān)鍵點(diǎn)連接起來第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)703) 用由線生面的方法生成長(zhǎng)方形面第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)71第4章 有限元法石家莊鐵道大

44、學(xué)724)定義材料屬性第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)73第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)745)對(duì)模型劃分網(wǎng)格。采用自由網(wǎng)格劃分法第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)75meshtool可以修改網(wǎng)格的大小第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)76第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)77第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)786）求解步驟（1）施加載荷和約束。施加約束(UX,UY都要加約束)第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)79第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)80第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)81施加載荷第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)82刪除載荷第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)83（2）開始求解第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)84第

45、4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)85 (3)顯示結(jié)果第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)86調(diào)整顯示格式第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)87第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)88第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)89第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)90例4 圖由9個(gè)桿件組成桁架。端點(diǎn)1、4鉸接，3點(diǎn)受到向下的力1000N，桁架尺寸單位為m。計(jì)算各桿受力。已知 E=206GPa；泊松比n0.3;桿件橫截面積0.125m2Fy1 2 3 411115 6 第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)91解題過程：1.ansys啟動(dòng)與設(shè)置 1)啟動(dòng) 2)功能設(shè)置。在主菜單中點(diǎn)擊“Preference” ,彈出“參數(shù)設(shè)置” 對(duì)話框，選中

46、“Structural”復(fù)選框，點(diǎn)擊“OK”。 3)系統(tǒng)單位設(shè)置。在命令欄輸入“/UNITS,SI”,回車。2.單元類型，幾何特性及材料特性定義 1)定義單元類型。Link,2D spar1; LINK1. 2)定義幾何特性。AREA, 0.125. 3)定義材料特性。EX 206E;PRXY 0.3。第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)923.桁架分析模型的建立 1)生成節(jié)點(diǎn)。(0,0,0) (1,0,0) (2,0,0) (3,0,0) (1,1,0) (2,1,0) 2)生成單元格。AREA, 0.125.4.施加載荷 1)施加位移約束 2)施加集中力載荷5.開始求解6.分析結(jié)果顯示 1)顯示

47、變形圖 2)列舉支反力計(jì)算結(jié)果 3)列舉各桿件軸向力計(jì)算結(jié)果第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)93 例5 三維建模三維建模 有一托架,其頂面承受1N/mm2的均布載荷(向下),托架通過4個(gè)小孔的表面固定于墻面上,已知模性模量E=200000N/mm2, 泊松比為0.3,分析本托架的應(yīng)力分布。90 709010 105020 40f1010原點(diǎn)第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)941建立幾何模型建立幾何模型 方法一方法一: 在全局坐標(biāo)中建模在全局坐標(biāo)中建模1. 以左下角、后面的點(diǎn)作為原點(diǎn)以左下角、后面的點(diǎn)作為原點(diǎn), 先建帶先建帶4小孔的板小孔的板 WP X=0WP Y=0Width=90Height=80Depth=10透視顯示透視顯示第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)95圓1圓2圓3圓4WP X20207070WP Y20602060Radius5555Depth10101010第4章 有限元法石家莊鐵道大學(xué)96找出三角板找出三角板6個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),建建6個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)個(gè)關(guān)鍵