高中數(shù)學(xué)公式大全(理科)-高中數(shù)學(xué)公式大全總結(jié)

1、立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論1 元素與集合的關(guān)系 :x A x CU A, x CU A x A. ? A A2 集合 a1,a2, ,an 的子集個(gè)數(shù)共有 2n 個(gè)；真子集有 2n 1個(gè)；非空子集有 2n 1個(gè)；非空的真子集 有 2n 2個(gè).3 二次函數(shù)的解析式的三種形式：(1) 一般式 f(x) ax2 bx c(a 0);(2) 頂點(diǎn)式 f (x) a(x h)2 k(a 0); (當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) (h,k) 時(shí)，設(shè)為此式)(3) 零點(diǎn)式 f(x) a(x x1)(x x2)(a 0) ；(當(dāng)已知拋物線與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (x1,0),(x2,0) 時(shí)，

2、 設(shè)為此式)(4)切線式： f(x) a(x x0)2 (kx d),(a 0) 。(當(dāng)已知拋物線與直線 y kx d 相切且切點(diǎn)的 橫坐標(biāo)為 x0 時(shí)，設(shè)為此式)4 真值表： 同真且真，同假或假5 常見結(jié)論的否定形式 ;原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有 n 個(gè)至多有( n 1 )個(gè)小于不小于至多有 n 個(gè)至少有( n 1 )個(gè)對(duì)所有 x ，成立存在某 x ，不成立p或qp 且 q對(duì)任何 x ，不成立存在某 x ，成立p且qp 或 q6 四種命題的相互關(guān)系 (下圖): (原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假 .)充要條

3、件：(1) 、 p q，則 P是 q的充分條件，反之， q是 p的必要條件；(2)、 p q ，且 q > p，則 P 是 q 的充分不必要條件；(3) 、p > p ，且 qp，則 P是 q的必要不充分條件；4、p > p ，且 q > p，則 P是 q的既不充分又不必要條件。 7 函數(shù)單調(diào)性 : 增函數(shù)： (1) 、文字描述是： y 隨 x 的增大而增大。2)、數(shù)學(xué)符號(hào)表述是：設(shè) f(x)在 x D 上有定義，若對(duì)任意的 x1,x2 D,且x1 x2 ，都有f(x1) f ( x2 )成立，則就叫 f(x)在 x D上是增函數(shù)。 D則就是 f(x)的遞增區(qū)間。減函數(shù)

4、：(1) 、文字描述是： y 隨 x 的增大而減小。2)、數(shù)學(xué)符號(hào)表述是：設(shè) f(x)在 x D 上有定義，若對(duì)任意的 x1,x2 D,且x1 x2 ，都有f x1 >f x2 成立，則就叫 f(x)在 x D 上是減函數(shù)。 D 則就是 f( x)的遞減區(qū)間。單調(diào)性性質(zhì)： (1) 、增函數(shù) +增函數(shù) =增函數(shù)；(2)、減函數(shù) +減函數(shù) =減函數(shù)；(3) 、增函數(shù) -減函數(shù) =增函數(shù)； (4) 、減函數(shù) -增函數(shù) =減函數(shù)； 注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號(hào)左邊兩個(gè)函數(shù)定義域的交集。 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)單調(diào)性內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)等價(jià)關(guān)系：(1) 設(shè) x1,

5、x2 a,b ,x1 x2 那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在 a,b 上是增函數(shù)；x1 x2(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b 上是減函數(shù) .x1 x2(2) 設(shè)函數(shù) y f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 如果 f (x) 0，則 f (x)為增函數(shù)；如果 f (x) 0，則 f(x) 為減函數(shù) .8 函數(shù)的奇偶性： (注： 是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)奇函數(shù)：定義： 在前提條件下，若有 f ( x)f (x)或f ( x) f (x) 0 ，則 f (x )就是奇函數(shù)。性質(zhì) ：(1)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原

6、點(diǎn)對(duì)稱；(2)、奇函數(shù)在 x>0和 x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；(3)、定義在 R 上的奇函數(shù)，有 f( 0) =0 .偶函數(shù)：定義：在前提條件下，若有 f( x) f(x)，則 f(x)就是偶函數(shù)。性質(zhì) ：(1)、偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱；(2)、偶函數(shù)在 x>0和 x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；奇偶函數(shù)間的關(guān)系：(1) 、奇函數(shù)·偶函數(shù) =奇函數(shù)； ( 2)、奇函數(shù)·奇函數(shù) =偶函數(shù)；(3) 、偶奇函數(shù)·偶函數(shù) =偶函數(shù)； (4) 、奇函數(shù)±奇函數(shù) =奇函數(shù)(也有例外得偶函數(shù)的)(5) 、偶函數(shù)±偶函數(shù) =偶函數(shù)；(

7、6) 、奇函數(shù)±偶函數(shù) =非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱 ; 反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù) (7)反函數(shù)的性質(zhì)： 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y x 對(duì)稱若函數(shù) y f x 與 y g x 的圖像關(guān)于直線 y x 對(duì)稱，則函數(shù) y f 2x 與1y g x 的圖像也關(guān)于直線 y x 對(duì)稱；29 函數(shù)的周期性：定義： 對(duì)函數(shù) f(x)，若存在 T 0，使得 f(x+T)=f(x)，則就叫 f(x)是周期函數(shù)，其中， T是 f(x)的一個(gè)周期。周期函數(shù)幾種常

8、見的表述形式：(1) 、f(x+T)= - f ( x)，此時(shí)周期為 2T ；(2)、 f(x+m)=f(x+n)，此時(shí)周期為 2 m n(3) 、 f(x m) 1 ，此時(shí)周期為 2m f(x)4)、 若奇函數(shù) f x 對(duì)定義域內(nèi)任意x 都有f x f (2 x) ，則f x 為周期函數(shù)。11yk<0k>0 xoxy=kx+b10 常見函數(shù)的圖像：a<0oxa>02y=ax +bx+cy=log ax0<a<11a>1對(duì)于函數(shù) y f (x)( x R), f (x a)f (b x) 恒成立 , 則函數(shù)f(x) 的對(duì)稱軸是x a b ; 兩個(gè)2ba

9、函數(shù) y f (x a)與 y f (b x) 的圖象關(guān)于直線 x b a 對(duì)稱.212 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的性質(zhì)：m(1) a n n am ( a 0,m,n N ，且 n 1 ).2)3)(n a)n11a.a 0,m,n N ，且 n 1)4)當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， nan a；當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)， n an |a| a,aa,a 0013 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 : loga N b ab N (a 0,a 1,N 0) .指數(shù)性質(zhì)：p 1 0 mn m n(1) 1、a p p ；(2)、 a0 1( a 0) ； (3) 、amn (am)napm(4) 、 ar as ar s(a 0,r

10、,s Q) ； (5) 、an n am ；指數(shù)函數(shù)：(1) 、 y ax (a 1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)、 y ax(0 a 1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。 注： 指數(shù) 函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)( 0，1)對(duì)數(shù)性質(zhì)：(1) 、(3) 、loga M loga N loga (MN )loga bm m logab ；(4) 、M；(2)、 logaM loga N loga ；Nnnlog am bmloga b ；(5) 、 loga 1 0(6) 、logaa 1 ；(7) 、l oagb a a b對(duì)數(shù)函數(shù)：(1) 、 y loga x(a 1) 在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)

11、、 y loga x(0 a 1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)； 注： 對(duì)數(shù) 函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)( 1，0)(3) 、 l oga x0 a ,x ( 0或, 1)a x , (1,(4) 、 loga x 0 a (0,1)則 x (1, ) 或 a (1, ) 則x (0,1)14 對(duì)數(shù)的換底公式 : loga N logm N ( a 0,且 a 1, m 0, 且 m 1, N 0). logma對(duì)數(shù)恒等式： alogaN N( a 0,且a 1, N 0).推論 log am bn nlogab( a 0,且a 1, N 0). a m a15 對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則 : 若 a>0，

12、a1，M>0， N>0，則(1) log a (MN ) loga M logaN ; (2) loga M logaM loga N;N(3) logaMn nlogaM(n R); (4)logam Nn nlogaN(n,m R)。am16 平均增長(zhǎng)率的問題(負(fù)增長(zhǎng)時(shí) p 0 )：如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為 N，平均增長(zhǎng)率為 p ，則對(duì)于時(shí)間 x的總產(chǎn)值 y，有 y N(1 p)x .17 等差數(shù)列：通項(xiàng)公式： (1) an a1 (n 1)d ，其中 a1 為首項(xiàng)， d 為公差， n 為項(xiàng)數(shù)， an 為末項(xiàng)。( 2)推廣： an ak (n k)d(3) an Sn Sn 1(

13、n 2) ( 注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用)前 n項(xiàng)和： (1) Sn n(a1 an) ；其中 a1為首項(xiàng)， n 為項(xiàng)數(shù)， an為末項(xiàng)。2(2) Sn na1 n(n 1)d2(3) Sn Sn 1 an(n 2)(注 ：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用)(4) Sn a1 a2an(注 ：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用)常用性質(zhì)： (1)、若 m+n=p+q ，則有 am an ap aq ；注：若 am是an, ap的等差中項(xiàng)，則有 2am an apn、m、p 成等差。(2)、若 an 、 bn 為等差數(shù)列，則 an bn 為等差數(shù)列。(3)、 an 為等差數(shù)列， Sn為其前 n項(xiàng)和，則 Sm,S2m S

14、m,S3m S2m 也成等差數(shù)列。4）、 ap qa,q p ,a 則pq05) 1+2+3+ +n= n(n 1)2等比數(shù)列：通項(xiàng)公式：（ 1） an a1qn 1 a1 qn（n N*） ，其中 a1為首項(xiàng)， n 為項(xiàng)數(shù)， q 為公比。 q（2）推廣： an ak qn k3) an Sn Sn 1 (n 2)注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）前 n 項(xiàng)和：(1) Sn Sn 1 an (n 2)注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）2) Sn a1 a2an注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）(q 1)(q 1)18 分期付款 （按揭貸款 ）19 三角不等式：每次還款ab(1 b)n(1 b)n 1元（貸款 a

15、 元,n 次還清 ,每期利率為b).na13) Sna1(1 qn)1q常用性質(zhì)：( 1)、若 m+n=p+q ，則有 am an ap aq ；注：若 am是an,ap的等比中項(xiàng)，則有 am2 an apn、m、p 成等比。2）、若 an 、 bn 為等比數(shù)列，則 an bn 為等比數(shù)列。1)若 x (0, ) ，則 sin x x tanx .2(2) 若x (0,2)，則 1 sinx cosx 2.tan = sincos(3) |sin x| |cosx| 1.20 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ： sin2 cos2 1 ，21 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）22 和角

16、與差角公式sin（）sincoscossin;cos（）coscossinsin;tan tantan（）.1 tan tanasin bcos = a2 b2 sin()(輔助角 所在象限由點(diǎn) (a,b) 的象限決定 , tan b ). a23 二倍角公式及降冪公式24sin 2 sin cos2tan1 tan22 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin1 tan2tan22tansin21 tan21 cos2 2 ,cossin2tan1 cos21 cos21 tan21 cos2sin22 三角函數(shù)的周期公式 函數(shù) y sin( x ) ， xR 及函數(shù)

17、y cos( x) ，x R(A, , 為常數(shù)，且A 0) 的周期2T ；函數(shù) y tan( x ) ， x k ,k Z (A, , 為常數(shù)，且 A 0) 的周期 T| | 2 | | 三角函數(shù)的圖像：y=sinxy1-/23/2-2-3 /2 -o /2 2 xy=cosx y 1-2-3/2 - -/2o /2 3/22 xabc25 正弦定理 ：2R(R為 ABC 外接圓的半徑) .sin A sin B sinCa 2Rsin A,b 2R sin B,c 2RsinC a:b:c sin A:sinB:sinC26 余弦定理：2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2bc c

18、os A ; b c a 2ca cos B ; c a b 2abcosC .27 面積定理：11bhbchc221S 1 aha21S ab sin C bc sin A22SOAB 21 (|OA| |OB|)2 (OA OB)2.2S a b c斜邊 r 內(nèi)切圓,r直角 內(nèi)切圓 21)2)(3)ha、hb、hc 分別表示 a、b、c 邊上的高)1casin B .2abc28 三角形內(nèi)角和定理 ：在 ABC中，有 A B C C (A B)C A B2C 2 2(A B) .2 2 229 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 : 設(shè)、 為實(shí)數(shù)，那么：( a)=( ) a ;( + ) a = a+

19、 a;( a+b )=a+b .30 a與b的數(shù)量積 (或內(nèi)積)：a·b=| a| b| cos 。31 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 設(shè)a=(x1,y1), b =(x2,y2)，則a+b=(x1 x2,y1 y2). (2)設(shè)a =(x1,y1) , b=(x2,y2)，則a- b=(x1 x2,y1 y2).(3) 設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2),則 AB OB OA (x2 x1,y2 y1). (4) 設(shè) a=(x,y),R，則 a=( x, y) .(1) 結(jié)合律： (2) 第一分配律：(3) 第二分配律：3233343536373839(5) 設(shè) a=(x1,y1

20、) , b =(x2, y2)，則 a· b =(x1x2 y1y2). 兩向量的夾角公式：cos a b2 x1x22 y1y22( a=(x1,y1) , b =(x2,y2).|a | |b |x12 y12 x221 1 2 2平面兩點(diǎn)間的距離公式：dA,B =|AB| AB AB 向量的平行與垂直 ：設(shè) a=(x1,y1) , b =(x2, y2)，且 b 0，則：a| bb = ax1y2 x2y1 0. (交叉相乘差為零)a b ( a 0 )a· b =0 x1x2 y1y2 0. (對(duì)應(yīng)相乘和為零)：設(shè) P1(x1, y1) ，P2( x2 , y2 )

21、 ，P ( x, y) 是線段 P1P2的分點(diǎn) , 是實(shí)數(shù)，且 P1PPP2 ，a b （ a 線段的定比分公式x1 x2x則y11y1 y22222y22(x2 x1) (y2 y1) (A (x1,y1) ，B(x2,y2) ).OP OP1 OP211OP tOP1 (1 t)OP2 ( t).1 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(x1,y 1 )、 B(x 2,y 2)、 C(x 3,y 3),則 ABC 的重心的坐標(biāo)是 G(x1 x2 x3 , y1 y2 y3 ).三角形的重心坐標(biāo)公式：33 三角形五“心”向量形式的充要條件：設(shè) O 為 ABC 所在平面上一點(diǎn)，角 A,B,C 所對(duì)邊

22、長(zhǎng)分別為 a,b,c ，則 2C.OC 0.OB OC OC OA.bOB cOC 0.（1）（2）（3）（4）（5）O為 ABC 的外心 O為 ABC 的重心 O為 ABC 的垂心 O為 ABC 的內(nèi)心2OA OBaOAO為 ABC 的 A的旁心 aOA bOB cOC.BO常用不等式：（1）2）3）4）a,b Ra2 b2 2ab (當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ =”號(hào))ab (當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ =”號(hào)) 2 3abc( a 0,b 0,c 0). b a b .a,b Rab3 3 3abcaab2極值定理 : 已知 x, y都是正數(shù)，則有（1）5）a2abbab若積2）若和a b （

23、當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ =”號(hào) ） 。xy是定值 p ，則當(dāng) x y時(shí)和 x y有最小值 2 p ； x y是定值 s，則當(dāng) x y時(shí)積 xy有最大值 1 s2 .3）a,b,x,y R ，若 ax by 1則有已知11(ax by)( ) a b x y x y1 1 by ax a b 2 ab ( a b)2 。xyab(4)已知 a,b,x,y R ，若1則有xyx y (x y)(a b) a b ay bx a b 2 ab ( a b)2x y x y40 一元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0,b2 4ac 0)，如果 a與 ax2 bx c 同號(hào)，則其解集在

24、兩根之外；如果 a與 ax2 bx c 異號(hào)，則其解集在兩根之間 .簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異 號(hào)兩根之間 . 即：x1 x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2)；x x1,或x x2(x x1)(x x2) 0(x1 x2) .41 含有絕對(duì)值的不等式 ：當(dāng) a> 0 時(shí)，有22x a x a a x a.22x a x a x a 或 x a .42 斜率公式 ：k y2 y1 ( P1(x1,y1)、 P2(x2,y2).x2 x143A 直線的五種方程： (1)點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線 l 過點(diǎn) P1(x1, y1) ，且斜率為k)( 2)斜截式y(tǒng)kxb (b 為

25、直線 l 在 y 軸上的截距 ).(3)兩點(diǎn)式y(tǒng)y1xx1 (y1 y2)( P1(x1,y1)、 P2(x2, y2)(x1x2,y1y2).y2y1x2x1兩點(diǎn)式的推廣： (x2 x1)(y y1) (y2 y1)(x x1) 0 (無(wú)任何限制條件！ )xy(4) 截距式1( a、b 分別為直線的橫、縱截距， a 0、b 0)ab(5) 一般式 Ax By C 0(其中 A、B 不同時(shí)為 0). 直線 Ax By C 0的法向量： l (A,B) ，方向向量： l (B, A) 43B四種常用直線系方程(1) 定點(diǎn)直線系方程： 經(jīng)過定點(diǎn) P0(x0,y0) 的直線系方程為 y y0 k(x

26、 x0 ) (除直線 x x0), 其中 k是待 定的系數(shù) ; 經(jīng)過定點(diǎn) P0(x0,y0)的直線系方程為 A(x x0) B(y y0) 0, 其中 A,B 是待定的系數(shù)(2) 共點(diǎn)直線系方程： 經(jīng)過兩直線 l1: A1x B1y C1 0, l2 : A2x B2y C2 0的交點(diǎn)的直線系方程為 (A1x B1y C1) (A2x B2y C2) 0(除l2)，其中 是待定的系數(shù)(3) 平行直線系方程： 直線 y kx b 中當(dāng)斜率 k 一定而 b 變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程與直線 Ax By C 0 平行的直線系方程是 Ax By 0(0 ) ， 是參變量(4) 垂直直線系方程： 與直線

27、 Ax By C 0 (A 0，B0) 垂直的直線系方程是 Bx Ay 0, 是參變量44 夾角公式：kk(1) tan | 2 1 |. (l1:y k1x b1，l2 : y k2x b2 , k1k2 1)1 k2k1(2) tan| AA11BA22 AB12BB21 |.(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).直線 l1 l2時(shí)，直線 l1與 l2 的夾角是 .1 2 1 2 245 l1到 l 2的角公式：(1) tank2 k1 .(l1: y k1x b1， l2 :y k2x b2 , k1k21)1 k2k11 2(2)

28、tanA1B2A2B1 .(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).A1A2 B1B2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2直線 l1 l2時(shí)，直線 l1到 l2的角是 .1 2 2 點(diǎn)到直線的距離 ：d |Ax0 By0 C | (點(diǎn)P(x0,y0 ),直線l ：Ax By C 0).A2 B20 0圓的四種方程：( 1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2 .(2)圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2 E24F >0).x a rcos( 3)圓的參數(shù)方程.y b rsin(4)圓的直徑式方程 (x x1)(x x2) (y y1)(y

29、y2) 0( 圓的直徑的端點(diǎn)是 A(x1, y1) 、 B(x2,y2). 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn) P(x0,y0)與圓 (x a)2 (y b)2 r 2的位置關(guān)系有三種：若d(a x0)2 (b y0)2 ，則 d r點(diǎn) P在圓外 ;d r 點(diǎn) P 在圓上 ; d r 點(diǎn) P 在圓內(nèi) .直線與圓的位置關(guān)系：直線 Ax By C 0與圓 (x a)2 (y b)2 r2 的位置關(guān)系有三種(dAa Bb C):22 A2 B2d r 相離0; d r 相切 0; d r 相交 0.兩圓位置關(guān)系的判定方法外離外切r2內(nèi)切d r1 r2d r1 r2 r1 r2 d r1 d r1 r2: 設(shè)兩圓圓

30、心分別為 O1 ，4條公切線 ;3條公切線 ;相交 2條公切線 ;1條公切線 ;O2，半徑分別為 r1，r2， O1O2 d ，則：內(nèi)含0 d r1 r2 內(nèi)含 無(wú)公切線 .相交 外o dr2-r1 d r1+r2 d d相離x2 y2x acosc橢圓 2 2 1(a b 0) 的參數(shù)方程是. 離心率 ea2 b2y bsinaa2b2準(zhǔn)線到中心的距離為 a ，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離 (焦準(zhǔn)距) p b 。cc1 ab22 ，464748495051525354過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通經(jīng)，其長(zhǎng)度為：2 baa2aPF2 e( x) a ex ；c2F1PFS F1PF2 c| yP | b

31、tan 2 。22x02 y02 1.22 ab22x02 y02 1.22 ab2 1(a b 0) 的內(nèi)部 b22y2 1(a b 0) 的外部22橢圓 x2 y2 1(a b 0) 焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積 a2 b2a2PF1 e(x ) a ex ， c 橢圓的的內(nèi)外部 :221)點(diǎn) P(x0,y0) 在橢圓 x2 y a2 x2)點(diǎn) P(x0,y0) 在橢圓 2 ab橢圓的切線方程 :立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本22(1)2)3)a2 x 55 雙曲線 x2 a2橢圓 x2 y2 1(a b 0) 上一點(diǎn) P( x0, y0 )處的切線方程是 x02x y02y

32、 1. a2 b2 a2 b2 22過橢圓 2 2 1外一點(diǎn) P( x0 , y0) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是2 2 1.a b a b x2 y2橢圓 2 1(a b 0) 與直線 Ax By C 0 相切的條件是 b2yc2 1(a 0,b 0) 的離心率 e b2a準(zhǔn)線的距離2 2 2 2A2a2 B2b21 b2 ，準(zhǔn)線到中心的距離為2c.，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)c2 ba2 .ab2( 焦準(zhǔn)距 ) p b 。 過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長(zhǎng)度為： c2aPF1 |e(x )| |a ex|， PF2 |e(c2 ax)| |a ex|， c 兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積S F1PF2 b

33、2 cot F1PF 。焦半徑公式56 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系22 xy22 ab b yx a2y2 1有公共漸近線， b2(1 )若雙曲線方程為(2) 若漸近線方程為22xy1 漸近線方程： 2 2 0aba b 0 雙曲線可設(shè)為x2a 2 bbyx.a2y.2.2(3) 若雙曲線與 x2a2(0 ，焦點(diǎn)在 x 軸上，0，焦點(diǎn)在(4) 焦點(diǎn)到漸近線的距離總是57 雙曲線的切線方程 :222 可設(shè)為 x2 a2 y 軸上) .2 y b2b。x0xy0 y(1) 雙曲線 x2 y2 1(a 0,b 0) 上一點(diǎn)abx2 y2x x y y(2) 過雙曲線 x2 y2 1外一點(diǎn) P(x

34、0,y0) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 x02x y0ya ba22( 3)雙曲線 x2 y2 1與直線ab58 拋物線 y2 2px 的焦半徑公式 :P( x0 , y0 )處的切線方程是 02021.ab2 2 2 2Ax By C 0 相切的條件是 A2a2 B2b2拋物線 y2 2px(p 0)焦半徑CFp2 2b59 二次函數(shù) y ax2 bx c a(x )2a( 1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( b ,4ac b ) ；2a 4a 4ac b2 1( 3)準(zhǔn)線方程是 y 4ac b 1過焦點(diǎn)弦長(zhǎng) CDx1 p x22b21.2c.x0 2px1 x2 p .4ac b2(a 0) 的圖象是拋物

35、線： 4a2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 2ab 4ac b2 14a)；4a60 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 AB (x1 x2 )2 (y1 y2)2或 AB (1k 2 )( x2x1)24x2x1| x1x2|1tan2| y1y2| 1 cot 2立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本y kx b 2（弦端點(diǎn) A（ x1 , y1 ）, B （ x2 , y2 ） ，由方程消去 y 得到 ax2 bx c 0F（x,y） 00, 為直線 AB 的傾斜角， k 為直線的斜率， | x1 x2 | （x1 x2）2 4x1x2 . 61 證明直線與平面的平行的思考途徑 :（ 1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)

36、； （2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（ 3）轉(zhuǎn)化為面面平行 .62 證明直線與平面垂直的思考途徑 :（ 1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（ 2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； （3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（ 4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面。63 證明平面與平面的垂直的思考途徑：（ 1）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （2）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；64. 共面向量定理向量 p 與兩個(gè)不共線的向量 a、 b 共面的存在實(shí)數(shù)對(duì) x,y, 使 p ax by ，則當(dāng) k 1、B、C四點(diǎn)y， z，使 px，y，z，推論 空間一點(diǎn) P位于平面 MAB內(nèi)的 存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x,y,使MP xMA

37、yMB ， 或?qū)臻g任一定點(diǎn) O，有序?qū)崝?shù)對(duì) x, y ，使 OP OM xMA yMB .65 對(duì)空間任一點(diǎn) O 和不共線的三點(diǎn) A、B、C，滿足 OP xOA yOB zOC（ x y z k 時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn) O ，總有 P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng) k 1時(shí)，若 O 平面 ABC，則 P、 共面；若 O 平面 ABC，則 P、A、 B、C四點(diǎn)不共面A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共面AD 與 AB 、 AC 共面 AD xAB yACOD （1 x y）OA xOB yOC （ O 平面 ABC） .66 空間向量基本定理如果三個(gè)向量 a、 b、c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在一個(gè)唯

38、一的有序?qū)崝?shù)組 x xaybzcO、 A、 B、推論 設(shè) O、A、B、C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)使 OP xOA yOB zOC . 122.67A 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a (a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3) 則 (1) ab (a1 b1,a2 b2,a3 b3) ； (2) ab (a1 b1,a2 b2,a3 b3) ；(3) a ( a1, a2, a3) ( R)；(4) a·b a1b1 a2b2 a3b3 ；123.設(shè) A(x11z1) ，B(x2,y2,z2) ，則AB OB OA= (x2 x1,y2 y1,z2 z1

39、)67B 空間的線線平行或垂直設(shè)， a x1,y2,z2 ,b x2, y2,z2 則x1 x2a/b a bb 0y1y2 ；z1 z2a b a b 0x1x2 y1y2 z1z2 0.67C夾角公式設(shè) a (a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3) ，則cosa，ba1b1 a2b2 a3b322 2 2 2 2a1a2a3b1b2b3推論 (a1b1 a2b2 a3b3)2 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32) ，此即三維柯西不等式67D四面體的對(duì)棱所成的角四面體 ABCD 中, AC 與 BD 所成的角為 ,則cos|(AB2 CD2) (BC2 DA2)|2AC

40、 BD67E 異面直線所成角abcos |cos a,b |cos cos a,b =x1x2 y1 y2 z1z2abx12 y12 z12 x22 y22 z22(其中 ( 0o90o )為異面直線 a,b所成角，67F 直線 AB 與平面所成角arc sin AB m |AB|m| 67G若 ABC 所在平面若 與過若 AB 的平面a,b分別表示異面直線 a,b 的方向向量)m 為平面 的法向量).成的角 , 另兩邊 AC , BC 與平面 成的角分別是 1 、2, A、B為 ABC 的兩個(gè)內(nèi)角，則 sin2 1 sin2 2 (sin2 A sin2 B)sin 2 .特別地 , 當(dāng)

41、ACB 90 時(shí), 有sin2 1 sin2 2 sin2 .67H若 ABC 所在平面若 與過若 AB的平面 成的角 , 另兩邊 AC , BC 與平面 成的角分別是 1、 2 , A'、 B' 為 ABO 的兩個(gè)內(nèi)角，則tan2 1 tan2 2 (sin2 A' sin2 B' )tan 2 .特別地 , 當(dāng) AOB 90 時(shí), 有sin2 1 sin2 2 sin2 .67I 二面角 l 的平面角m n m narc cos m n 或 arc cos m n ( m， n為平面 ， 的法向量) .|m|n| |m|n|67J 三余弦定理設(shè) AC是內(nèi)的任

42、一條直線，且 BC AC，垂足為 C，又設(shè) AO與 AB所成的角為 1，AB與 AC所成的角為 2，AO與 AC所成的角為 則 cos cos 1 cos 2.67K 三射線定理1, 2, 與二面角的棱所成若夾在平面角為 的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是 的角是 ，則有 sin2 sin2sin2 1 sin2 2 2sin 1 sin 2 cos ;| 1 2|180 ( 1 2) (當(dāng)且僅當(dāng)90 時(shí)等號(hào)成立 ).67L 空間兩點(diǎn)間的距離公式若 A(x1,y1,z1) ，B(x2, y2, z2 ) ，則dA,B=| AB| AB AB(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2

43、 z1)2 .67M點(diǎn) Q到直線 l 距離1 2 2 h（|a|b|）2 （a b）2 （點(diǎn)P在直線 l上，直線 l 的方向向量 a= PA ，向量 b= PQ ）.|a|67N 異面直線間的距離|CD n|d |CD n |（ l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為 n，C、D 分別是 l1,l2上任一點(diǎn)， d為l1,l2間的距 |n| 1 2 1 2 1 2 離）.67O 點(diǎn) B 到平面 的距離|AB n| d （ n 為平面 的法向量， AB 是經(jīng)過面 的一條斜線， A） .|n|dh2 m2 n2 2mn cos .m2 n2 2mn cos ( E AA' F )67P.異面直

44、線上兩點(diǎn)距離公式dh2( 兩條異面直線 a、b 所成的角為 ，其公垂線段 AA 的長(zhǎng)度為 h. 在直線 a、b 上分別取兩點(diǎn) E、F， A'E m, AF n , EF d ).67Q三個(gè)向量和的平方公式2 2 2 2(a b c)2 a b c 2a b 2b c 2c a222 a b c 2|a| |b|cos a,b 2|b| |c |cos b,c 2|c | |a|cos c,a67R 長(zhǎng)度為 l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為l1、l2、l3 ，夾角分別為 1、 2、 3 ,則有l(wèi)2l12l22l32cos21cos22cos23 1sin21sin22

45、sin2 3 2.（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例） .141. 面積射影定理S cos（平面多邊形及其射影的面積分別是S、 S ' ，它們所在平面所成銳二面角的為）.4 3 268 球的半徑是 R，則其體積VR3 ,其表面積 S 4 R2 369A 球的組合體：（1）（2）球與長(zhǎng)方體的組合體 球與正方體的組合體 的面對(duì)角線長(zhǎng) , 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng): 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng): 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體球與正四面體的組合體 : 棱長(zhǎng)為 a 的正四面體的內(nèi)切球的半徑為(3)6 a 126 1 6 6

46、 3（ 正四面體高a 的 ）, 外接球的半徑為a（ 正四面體高a 的 ）.3 4 4 3 469B 歐拉定理 （歐拉公式 ）V F E 2（ 簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V、棱數(shù) E 和面數(shù) F）.（1） E =各面多邊形邊數(shù)和的一半 .特別地 ,若每個(gè)面的邊數(shù)為 n的多邊形，則面數(shù) F與棱數(shù) E的關(guān) 1系： E nF ；22）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為1m ，則頂點(diǎn)數(shù) V與棱數(shù) E的關(guān)系： E 1mV .270 分類計(jì)數(shù)原理（ 加法原理）： N m1 m2mn .分步計(jì)數(shù)原理（ 乘法原理 ）： N m1 m2mn .n！71排列數(shù)公式 ： Anm = n（n 1） （n m 1）= n.（ n，mN*，

47、且m n）規(guī)定 0! 1.（n m）！72 組合數(shù)公式： Cnm= Anmm n（n 1） （n m 1）n！( nN*， m N ，且 m n ).1 2 mm！(n m)！Cnm=Cnn m ;(2) Cnm+Cnm1=Cnm1.規(guī)定 Cn0 1.組合數(shù)公式： Cn = Amm 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) :（1）n 個(gè)元素中取 m個(gè)元素的排列 .（1）某73 單條件排列 以下各條的大前提是從 在位”與“不在位 特） 元必在某位有 Anm 11種； 某（特）元不在某位有 Anm Anm 11（補(bǔ)集思想）An1 1 Anm 11（著眼位置）（2）定位緊貼：Anm 1 Am1 1 Anm 11 （著眼元

48、素）種 .緊貼與插空（即相鄰與不相鄰） k（k m n）個(gè)元在固定位的排列有 Akk Anm kk種.浮動(dòng)緊貼： n個(gè)元素的全排列把 k 個(gè)元排在一起的排法有 Ann kk 11Akk 種.注： 此類問題常用捆綁法； 插空：兩組元素分別有 k、 h 個(gè)（ k h 1），把它們合在一起來作全排列， k 個(gè)的一組互不能挨 近的所有排列數(shù)有 AhhAhk 1 種.（3）兩組元素各相同的插空 m 個(gè)大球 n 個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？An當(dāng) n m 1時(shí)，無(wú)解；當(dāng) n m 1時(shí)，有 mn1 Cmn 1 種排法 .Annm 1（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m 個(gè)和 n 個(gè)，各組元

49、素分別相同的排列數(shù)為 Cmn n.74 分配問題（ 1） （平均分組有歸屬問題 ）將相異的 m、 n個(gè)物件等分給 m個(gè)人，各得 n件，其分配方法數(shù)共有 C n C n C nC n C n （mn）!CmnCmn nCmn2nC2nCnmnmn n mn2n 2n n（n!）（2）（平均分組無(wú)歸屬問題 ）將相異的 m·n 個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的m堆，其分配方法數(shù)共Cmn Cmn n Cmn 2n. C2nn Cnn（mn）! .m!m!（n!）m .（非平均分組有歸屬問題 ）將相異的 P（P=n1+n2+ +nm） 個(gè)物體分給 m個(gè)人，物件必須被分完， n1，n2， nm件，且

50、 n1， n2， nm這 m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有 Cnp2 n .Cnnm m! p!m!p n1 nmn1! n2 !.nm!（非完全平均分組有歸屬問題（3）分別得到N Cnp14）完，分別得到 n1， n2， nm 件，且 Cpn1 Cpn2 n1.Cnnmm m!配方法數(shù)有 N p p n1 nma!b! c!.（ 5） （非平均分組無(wú)歸屬問題）將相異的 P（P=n1+n2+ +nm） 個(gè)物體分給 m個(gè)人，物件必須被分 n1，n2， nm這 m個(gè)數(shù)中分別有 a、b、c、個(gè)相等，則其分p!m!n1!n2 !.nm!（a!b!c!.） ）將相異的 P（P=n1+n2+ +nm）

51、個(gè)物體分為任意的 n1， n2， nm 件 nm這 m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有N p! .n1! n2!.nm! （6）（非完全平均分組無(wú)歸屬問題 ）將相異的 P（P=n1+n2+ +nm）個(gè)物體分為任意的 n1，n2 ，nm無(wú)記號(hào)的 m堆，且 n1， n2，件無(wú)記號(hào)的 m堆，且 n1， n2， nm這 m個(gè)數(shù)中分別有 a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有n1 pn2 p n1.Cnmnmp!n1!n2!.nm!m個(gè) nm等mp!n1!n2!.nm!(a!b!c!.)7)(限定分組有歸屬問題)將相異的 p( p n1 +n2 + +nm )個(gè)物體分給甲、乙、丙，人，物體必須被分完，如果

52、指定甲得n1件，乙得 n2件，丙得 n3件，時(shí)，則無(wú)論 n1， n2，個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有75“錯(cuò)位問題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問題 :信 n封信與 n 個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為f (n)n! 21!113! 4!1( 1)n 1.n!推廣: n個(gè)元素與 n個(gè)位置 ,其中至少有 m個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為f(n,m) n! Cm1(n 1)! Cm2(n 2)! Cm3 (n 3)! Cm4(n 4)!( 1)pCmp (n p)! ( 1)mCmm(n m)!1 2 3 4 p m Cm Cm Cm Cmp Cmm Cmn!1Am1Am2Am2Am4(1)pAmp(1)mAmm .n n n n n n76.二項(xiàng)式定理 (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2Cnran rbrCnnbn二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式r n r rTr 1 Cn a b (r 0，1，2 ， n) .77 等可能性事件的概率P(A) m n78. 互斥事件 A，B 分別發(fā)生的概率的和