第1章費馬原理與變折射率光學(xué)(0)

1、第一章費馬原理與變折射率光學(xué)第一章費馬原理與變折射率光學(xué) 一、原理內(nèi)容一、原理內(nèi)容：光擾動同時：光擾動同時到達的空間曲面被稱為到達的空間曲面被稱為波面波面或或波前波前，波前上的每一點可以被，波前上的每一點可以被看作一個新的擾動中心，稱其看作一個新的擾動中心，稱其為為子波源子波源或或次波源次波源，次波源向，次波源向四周激發(fā)次波，下一時刻的波四周激發(fā)次波，下一時刻的波前應(yīng)當(dāng)是這些大量次波面的公前應(yīng)當(dāng)是這些大量次波面的公共切面，也稱其為包絡(luò)面，次共切面，也稱其為包絡(luò)面，次波中心與其次波面上的那個切波中心與其次波面上的那個切點的連線方向，給出了該處點的連線方向，給出了該處光光傳播方向傳播方向，亦即光射

2、線方向。，亦即光射線方向。t+tto1.1 惠更斯原理惠更斯原理 二、二、 原理意義原理意義：提出了光的波動理論，從幾何學(xué)上：提出了光的波動理論，從幾何學(xué)上給出了尋求光傳播方向的普遍方法。人們可以由某一給出了尋求光傳播方向的普遍方法。人們可以由某一時刻的波前，用作圖法導(dǎo)出下一時刻的波前，并確定時刻的波前，用作圖法導(dǎo)出下一時刻的波前，并確定波前上各點的光射線。這就是說，該原理解決了波前波前上各點的光射線。這就是說，該原理解決了波前隨時間在空間的傳播問題。但是它也有著許多重大的隨時間在空間的傳播問題。但是它也有著許多重大的不足不足:比如它不能回答光振幅、光相位的傳播問題。比如它不能回答光振幅、光相

3、位的傳播問題。CC0v1v2i1i2 三、解釋折射定律三、解釋折射定律_1sinCACCi_2sinCAiAtvCC1_tvA2constvvii2121sinsin1.2 1.2 折射率折射率 二、典型數(shù)據(jù)二、典型數(shù)據(jù)標(biāo)識符號波長nm冕牌玻璃輕火石重火石特重火石C656.31.520421.572081.666501.71303D589.21.523001.576001.670501.72000F486.11.529331.586061.680591.73780G434.01.534351.594411.688821.75324constnnnii121221sinsin 一、定義一、定義1

4、DCFnnn 正常色散正常色散:隨波長的增加而折射率減小。隨波長的增加而折射率減小。 三、色散三、色散:一種介質(zhì)對不同波長的光具有不同的折射一種介質(zhì)對不同波長的光具有不同的折射率。率。 色散本領(lǐng)色散本領(lǐng)n()四、折射率與光速比、波長比四、折射率與光速比、波長比constvvii2121sinsin121221sinsinnnnii2112vvnn 設(shè)入射方為真空，則設(shè)入射方為真空，則n1 1=1=1，v1 1= =c 于是于是212vcnnvcn ffvcn00 在線性介質(zhì)的光場中，擾動的時間頻率僅由光源在線性介質(zhì)的光場中，擾動的時間頻率僅由光源來決定，與介質(zhì)無關(guān)。來決定，與介質(zhì)無關(guān)。f光源的

5、光源的本征頻率本征頻率。0n 例：一光源發(fā)射的一束光，在空氣中波長為例：一光源發(fā)射的一束光，在空氣中波長為600nm，看起來為橙色。問：當(dāng)這個光源置于水中時，看起來為橙色。問：當(dāng)這個光源置于水中時這束光的波長是多少：潛水員觀察到的這束光呈何顏這束光的波長是多少：潛水員觀察到的這束光呈何顏色：色： =600nm=600nm3/4=450nm 決定色視角的是振動頻率，而不是波長決定色視角的是振動頻率，而不是波長 光與一切接收器的相互作用，是光振動與物質(zhì)的光與一切接收器的相互作用，是光振動與物質(zhì)的相互作用。相互作用。1.3 光程光程 均勻介質(zhì)均勻介質(zhì)nlQPL)(iilnlnlnQPL2211)(P

6、lQdsrnQPL)()(nlPQQn1n2n3n4l1l2l3l4PQPds介質(zhì)分區(qū)均勻介質(zhì)分區(qū)均勻 變折射場合變折射場合 光線路徑的幾何長度與所經(jīng)過的介質(zhì)折射率的光線路徑的幾何長度與所經(jīng)過的介質(zhì)折射率的乘積。乘積。一、定義一、定義二、光程的初步意義：二、光程的初步意義： 1 光程與相位差光程與相位差 曾記得，沿光的傳播方曾記得，沿光的傳播方向，相位逐點落后向，相位逐點落后 221122llQPQPLlnii002222011022lnln 2 光程與時差光程與時差QPLclncvltttiiiiiQP11QPttcQPL光線經(jīng)歷光線經(jīng)歷P兩點的光程等于傳播時間乘以真空光速。兩點的光程等于傳

7、播時間乘以真空光速。1.4 費馬原理費馬原理(描述光線傳播行為的一個原理）描述光線傳播行為的一個原理） 實際光線的傳播路徑實際光線的傳播路徑,與鄰近與鄰近各種可能的虛擬路徑相比較各種可能的虛擬路徑相比較,具有具有什么特別的什么特別的“品性品性”QPl0ln(r) 光線沿光程平穩(wěn)值的路徑而傳播。光線沿光程平穩(wěn)值的路徑而傳播。 像物常數(shù)個別極大值常見極小值平穩(wěn)值0dsrnPlQ 一、表述一、表述 二、數(shù)學(xué)表達式二、數(shù)學(xué)表達式 ) l (LdsrnQPLPlQ被稱為泛函被稱為泛函or程函，程函，eikonal。通俗道，。通俗道，“函數(shù)的函函數(shù)的函數(shù)數(shù)”.“平穩(wěn)值平穩(wěn)值”滿足變分為零滿足變分為零0Pl

8、Qnds對對“變分變分”可認為它就是函數(shù)的微分?？烧J為它就是函數(shù)的微分。 二、數(shù)學(xué)表達式二、數(shù)學(xué)表達式 ) l (LdsrnQPLPlQ被稱為泛函被稱為泛函or程函，程函，eikonal。通俗道，。通俗道，“函數(shù)的函函數(shù)的函數(shù)數(shù)”.“平穩(wěn)值平穩(wěn)值”滿足變分為零滿足變分為零0PlQnds對對“變分變分”可認為它就是函數(shù)的微分。可認為它就是函數(shù)的微分。變分：對一般一元或多元函數(shù)，當(dāng)自變量發(fā)生變化時，變分：對一般一元或多元函數(shù)，當(dāng)自變量發(fā)生變化時，函數(shù)的一階或高階改變量可以表示為函數(shù)的一階或高階函數(shù)的一階或高階改變量可以表示為函數(shù)的一階或高階微分。但光程與一般的空間坐標(biāo)函數(shù)不同，對給定點微分。但光程

9、與一般的空間坐標(biāo)函數(shù)不同，對給定點AB，每一可能的光線路徑均為空間坐標(biāo)函數(shù)，而光程一，每一可能的光線路徑均為空間坐標(biāo)函數(shù)，而光程一般隨不同路徑而變化，即它可以稱為函數(shù)的函數(shù)，這時般隨不同路徑而變化，即它可以稱為函數(shù)的函數(shù)，這時光程的改變一般稱為變分。光程的改變一般稱為變分。光的折射定律介質(zhì)界光的反射定律介質(zhì)界面光的直線傳播定律均勻介質(zhì)由費馬原理導(dǎo)出面，這說明，這說明，費馬原理是幾何光學(xué)三定律的一個理論概括。費馬原理是幾何光學(xué)三定律的一個理論概括。M是動點，入射是動點，入射反射光程為反射光程為L（QMP），M為待定的反射點，為待定的反射點，以滿足以滿足L（QMP）為極值：引入為極值：引入鏡像對稱

10、點鏡像對稱點Q，則則=，且，且L（QM）=L（ Q M），于是，于是L（QMP）= L（ Q MP），它，它QPQiin1n2M成為極小值的條件是成為極小值的條件是Q MP為直線，則：為直線，則：=即：即：i=i ,反射角等于入射角，反射線與入射線在同一個入射面反射角等于入射角，反射線與入射線在同一個入射面內(nèi)。這正是光在界面的內(nèi)。這正是光在界面的反射定律反射定律。 三、三、M是待定點，設(shè)是待定點，設(shè)AM=x,有有MB=d-x。入射。入射折射光程折射光程L（QMP）=n1QM+n2MPQBdi1i2abn1n2MAP222221xdbnxan于是普便的變分方程于是普便的變分方程L=0，在此被簡化

11、為一元微分方，在此被簡化為一元微分方程程 0dxxdL即即021212121222221xdxdbnxxan222221xdbxdnxaxn2211sinsininin得得這就是這就是折射定律折射定律1.5 費馬原理與成像費馬原理與成像物點物點Q 像點像點Q同心光束同心光束 同心光束同心光束同心光束的共軛變換同心光束的共軛變換等光程是指等光程是指L(QM1N1Q)=L(QM2N2Q)= 即即: : L(QMiNiQ)=const。與。與i無關(guān)。無關(guān)。可取反證法證之可取反證法證之 一、推論：一、推論：物像之間各條光線的光程是相等的物像之間各條光線的光程是相等的物物像等光程性。像等光程性。同心光束

12、：各光線本身或其沿長線交于同一點的光束。同心光束：各光線本身或其沿長線交于同一點的光束。意義：意義：嚴(yán)格等光程嚴(yán)格等光程嚴(yán)格成像嚴(yán)格成像近似等光程近似等光程近似成像近似成像不等光程不等光程不成像不成像表明：有了這個推論，便將成像的理論，推進到現(xiàn)實表明：有了這個推論，便將成像的理論，推進到現(xiàn)實的可操作的理論分析的境界。的可操作的理論分析的境界。 物像等光程性將是否成像與是否等光程兩者對應(yīng)物像等光程性將是否成像與是否等光程兩者對應(yīng)起來。起來。 二、費馬原理應(yīng)用于球面反、折射系統(tǒng)二、費馬原理應(yīng)用于球面反、折射系統(tǒng)由費馬原理導(dǎo)出球面鏡傍軸成像及其物像公式由費馬原理導(dǎo)出球面鏡傍軸成像及其物像公式物點物點

13、Q(s),待求待求“像像點點”Q(x)鏡面半徑鏡面半徑(-r),鏡鏡心于左心于左r0。L(QMQ )= L(QOQ )在同一介質(zhì)中，即要求在同一介質(zhì)中，即要求QM+MQ =QO+OQ ，其中，其中QO=s，OQ =xdrssdrddsdshdsQM22222222221sdrss同級近似同級近似,泰勒展開泰勒展開,互略互略d2項項.傍軸傍軸:d0,s 0物像點在右物像點在右,s0, s0傍軸是指傾角傍軸是指傾角u0或或r0或或0分別對應(yīng)物點分別對應(yīng)物點在球心的左方或右方；像距的在球心的左方或右方；像距的正負號約定與物距的相反正負號約定與物距的相反顯微鏡物鏡顯微鏡物鏡 五、阿貝正弦定理五、阿貝正

14、弦定理uynunysinsin0sinsinsiru0sinsinsiru00sinsinsinsinssiiuuyynnuusinsinVyyWuusinsinnnWV阿貝正弦定理是普遍成立的，也適用阿貝正弦定理是普遍成立的，也適用于復(fù)合透鏡，它是傍軸小物很好成像，于復(fù)合透鏡，它是傍軸小物很好成像，以消球差和慧差所必須滿足的必要條以消球差和慧差所必須滿足的必要條件，因此也稱為件，因此也稱為阿貝正弦條件阿貝正弦條件。例題：如圖所示，一寬平例題：如圖所示，一寬平行光束入射于一透鏡，要行光束入射于一透鏡，要求被嚴(yán)格聚焦于求被嚴(yán)格聚焦于F F點，試問點，試問透鏡的第二曲面應(yīng)當(dāng)是何透鏡的第二曲面應(yīng)當(dāng)是

15、何形狀：形狀：解解: :設(shè)動點為設(shè)動點為M, ,取極坐標(biāo)取極坐標(biāo)r()描述動點的軌跡描述動點的軌跡,它應(yīng)當(dāng)滿足等光程性它應(yīng)當(dāng)滿足等光程性,即即L(NMF)=L(OHOF) 00cosrrrnr cos111cos1100nrnnnrnr解出解出 cos1 eepr設(shè)計要求設(shè)計要求:n=1.5,R=5.0cm,D=10.00cm 2cos3cos5 . 115 . 1100rrr6 .26arctanDRMcmDRrM2 .1122cmrrMM64. 72cos30cmrDd36. 20/0612182426r/cm7.647.778.178.9510.3111.0 一、海市蜃樓一、海市蜃樓寒冷

16、海面上空：寒冷海面上空：高度高度y ，T ，n ypoennyn222mnnpo/303. 2,45836. 0,000233. 11.6 自然變折射率自然變折射率大氣光學(xué)現(xiàn)象大氣光學(xué)現(xiàn)象 二、沙洲神泉二、沙洲神泉熾熱地面上空：熾熱地面上空：高度高度y ，T ，n ypoennyn1222 三、大氣電離層（三、大氣電離層（D層）層） 222ynyno22ony 22221oonynyn被用于研究電磁波被電離層反射。被用于研究電磁波被電離層反射。 四、大氣中聲線的彎曲四、大氣中聲線的彎曲地面附近空氣中，聲速地面附近空氣中，聲速smtv/61. 045.3311.7 人工變折射率人工變折射率 一、

17、階越型光纖一、階越型光纖01n1n0n2222100sin.nnnAN 二、梯度型光纖二、梯度型光纖20211)(rnrn厚度厚度da，d10m,a100 madnfo1qonnaf22 用途用途：制成微透鏡列陣，用于集成光學(xué)中的光耦：制成微透鏡列陣，用于集成光學(xué)中的光耦合或光互連，也可以與光電元件搭配實現(xiàn)圖像的光電轉(zhuǎn)合或光互連，也可以與光電元件搭配實現(xiàn)圖像的光電轉(zhuǎn)換。換。 三、微透鏡三、微透鏡 四、強光變折射率四、強光變折射率強光強光 108W/cm2 n(I) n(r)自聚焦（類似于正透鏡）自聚焦（類似于正透鏡）在信息光學(xué)中，用于光存儲；在信息光學(xué)中，用于光存儲；“讀出讀出”、“寫寫入入”。自散焦（類似于負透鏡）自散焦（類似于負透鏡）1.8 光線方程光線方程441100sinsinsinnnn 1 折射率分層均勻折射率分層均勻222dydxds 2 折射率連續(xù)變化折射率連續(xù)變化任意小弧元任意小弧元,微分線段微分線段ds,有有122dxdsdxdysin1dxds 1sin022022nyndxdy dyndnxdyd2022022sin21一、特殊情形一、特殊情形n(y)rndsrdndsd 二、普便情形二、普便情形n(x,y,z)例題例題夏日夏日,機場跑道機場跑道,地勤人員能見到的最遠的跑道地勤人員能見到的最遠的跑道?分析