概率論假設檢驗

1、數理統(tǒng)計 第八章第八章 假假 設設 檢檢 驗驗 這類問題稱作假設檢驗問題 . 在本節(jié)中，我們將討論不同于參數估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題. 這就是根據樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.一、假設檢驗的基本思想和方法一、假設檢驗的基本思想和方法 生產流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運. 怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？例1:罐裝可樂的標準容量是355毫升例2(醫(yī)療領域)為了檢驗某種新療法是否比傳統(tǒng)療法更有效，對40名患者進行實驗。把病人分成兩組，每組20人，第一組采用新療法，第二組采用傳統(tǒng)療法。從治療結果表中，我們能否認為新療法比傳統(tǒng)療法更有效？即第一組的康復人數比第二組多的

2、原因是因為新療法效果更好，還是由隨機因素引起的？療法康復未康復新療法128傳統(tǒng)療法911例3 從某校2004年250名應屆畢業(yè)生的高考成績中隨機抽取了50個，問能否根據這50個成績判斷該校在2004年高考成績服從正態(tài)分布？ 以上實際例子的解決都需要我們根據問題本身提出假設，然后根據樣本的信息對假設進行檢驗，最后作出“是”與“否”的判斷。假設檢驗參數假設檢驗非參數假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題 .總體分布已知，檢驗關于未知參數的某個假設總體分布未知時的假設檢驗問題 在本節(jié)中，我們將討論不同于參數估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題. 這就是根據樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.一、假設檢驗的

3、基本思想和方法一、假設檢驗的基本思想和方法讓我們先看一個例子.這一章我們討論對參數的假設檢驗 . 生產流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運. 怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯, 看看容量是否合于標準. 這樣做顯然不行！罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間. 每隔一定時間，抽查若干罐 . 如每隔1小時，抽查5罐，得5個容量的值X1，X5，根據這些值來判斷生產是否正常. 如發(fā)現不正常，就應停產，找出原因，排除故障，然后再生產；如沒有問題，就繼續(xù)按規(guī)定時間再抽樣，以此監(jiān)督生產，保證質量.通常的辦法是進行抽樣檢查. 很明顯，不能由5罐容量的數據，在把握不大

4、的情況下就判斷生產 不正常，因為停產的損失是很大的. 當然也不能總認為正常，有了問題不能及時發(fā)現，這也要造成損失. 如何處理這兩者的關系，假設檢驗面對的就是這種矛盾. 在正常生產條件下，由于種種隨機因素的影響，每罐可樂的容量應在355毫升上下波動. 這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位. 因此，根據中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現在我們就來討論這個問題.罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.它的對立假設是：稱H0為原假設（或零假設，解消假設）；稱H1為備選假設（或對立假設）.在實際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設. 0 H0：（ = 355）0 H1：

5、0 這樣，我們可以認為X1,X5是取自正態(tài)總體 的樣本，),(2 N是一個常數. 2 當生產比較穩(wěn)定時，現在要檢驗的假設是：那么，如何判斷原假設H0 是否成立呢？較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處？應由什么原則來確定？由于 是正態(tài)分布的期望值，它的估計量是樣本均值 ，因此 可以根據 與 的差距X 0 來判斷H0 是否成立.X- |0 較小時，可以認為H0是成立的；當X- |0 生產已不正常.當較大時，應認為H0不成立，即- |X|0 問題歸結為對差異作定量的分析，以確定其性質.差異可能是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差”或 隨機誤差這種誤差反映偶然、非本質的因素所引起的隨機波動.

6、 然而，這種隨機性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個限度，則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認為這個差異反映了事物的本質差別，即反映了生產已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差” 問題是，根據所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產確實不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個量的界限 .問題是：如何給出這個量的界限？這里用到人們在實踐中普遍采用的一個原則：小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生 . 現在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設H0后，如何作出接受和拒絕H0的結論呢？ 在假設檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水平，用 表示. 常

7、取 的選擇要根據實際情況而定。 .05. 0,01. 0, 1 . 0 下面，我們再結合例子，進一步說明假設檢驗的一般步驟 .二、假設檢驗的一般步驟二、假設檢驗的一般步驟提出H0在H0成立時構造統(tǒng)計量和小概率事件A 進行1次試驗或抽樣若A發(fā)生推翻H0 若A沒發(fā)生接受H0基本步驟： 罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間. 一批可樂出廠前應進行抽樣檢查，現抽查了n 罐，測得容量為 X1,X2,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？(1) 提出假設(2) 選檢驗統(tǒng)計量nXU0 N(0,1)|uUPH0： = 355 H1： 355由于 已知， 它能衡量差異大小且分布已知 .|0 X(3)對

8、給定的顯著性水平 ,可以在N(0,1)表中查到分位點的值 ，使u (4)故我們可以取拒絕域為：也就是說,“uU |”是一個小概率事件.W：uU |(5)如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入區(qū)域W，則拒絕H0 ；否則，不能拒絕H0 .|uUP 如果H0 是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計量落入區(qū)域 W(拒絕域) 是個小概率事件. 如果該統(tǒng)計量的實測值落入W，也就是說， H0 成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認為H0不可信而否定它. 否則我們就不能否定H0 （只好接受它）.這里所依據的邏輯是： 不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度 .所以假設檢驗又叫

9、“顯著性檢驗” 如果顯著性水平 取得很小，則拒絕域 也會比較小. 其產生的后果是： H0難于被拒絕.如果在 很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異.01. 0基于這個理由，人們常把 時拒絕H0稱為是顯著的，而把在 時拒絕H0稱為是高度顯著的.05. 0 下面，我們再結合另一個例子，進一步說明假設檢驗的一般步驟 .二、假設檢驗的一般步驟二、假設檢驗的一般步驟提出H0在H0成立時構造統(tǒng)計量和小概率事件A 進行1次試驗或抽樣若A發(fā)生推翻H0 若A沒發(fā)生接受H0基本步驟：設總體),(2 N關于總體參數2,討論4種假設檢驗：1. 方差已知，檢驗假設 00:H2.方差未知，檢驗假設

10、00:H3.期望已知，檢驗假設2020:H4.期望未知，檢驗假設2020:H三、一個正態(tài)總體的假設檢驗三、一個正態(tài)總體的假設檢驗 例2 某工廠生產的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米. 實際生產的產品，其長度X 假定服從正態(tài)分布 若 =1.21，現從該廠生產的一批產品中抽取6件, 得尺寸數據如下:),(2 N2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03問這批產品是否合格?(0.05)若 未知，問這批產品是否合格？2 (0.01)提出原假設和備擇假設 5 .32:5 .32:10 HH第一步：第二步：取一檢驗統(tǒng)計量，在H0成立下求出它的分布32.5(0,

11、1)1.16XUN 已知 X21.21 2( ,),N 第三步： 對給定的顯著性水平 = =0.05，查表確定 |P Uu 可得否定域 W: |U |1.961.96u 其中第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量 U 的實測值, , 最后可以下結論否定H0，即認為這批產品是不合格的。31.1332.50|3.051.961.1/6u 提出原假設和備擇假設 5 .32:5 .32:10 HH第一步：已知 X),(2 N2 未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗統(tǒng)計量，在H0成立下求出它的分布)5(65 .32tSXt(0,1)/XUNSn大大樣樣本本利利用用= = (1)/Xtt nSn小小樣樣

12、本本利利用用 = =第三步：即“ ”是一個小概率事件 . )5(|2 tt 對給定的顯著性水平 = =0.01，查表確定臨界值 0322. 4)5()5(005. 02 tt , ,使)5(|2ttP得否定域 W: |t |4.0322故不能拒絕H0 ，即認為是合格品。第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量 t 的實測值, ,| t |=2.9971.645故拒絕H0 ，即認為這批推進器的燃料率較以往生產的有顯著的提高。 落入否定域解: :提出假設: : 0100:40:HH645. 105. 00UnxU取統(tǒng)計量否定域為 W :05. 0UU =1.645 某織物強力指標X的均值 =21公斤. 改進

13、工藝后生產一批織物，今從中取30件，測得 =21.55公斤. 假設強力指標服從正態(tài)分布 且已知 =1.2公斤， 問在顯著性水平 =0.01 下，新生產織物比過去的織物強力是否有提高?0 X ),(2 N 四、課堂練習四、課堂練習代入 =1.2, n=30，并由樣本值計算得統(tǒng)計 量 U 的實測值U=2.512.33故拒絕原假設H0 ，即新生產織物比過去的織物的強力有提高。落入否定域解: :提出假設: : 21:21:10 HH) 1 , 0(21NnXU 取統(tǒng)計量否定域為 W :01. 0uU =2.33 提出假設 根據統(tǒng)計調查的目的, 提出原假設H0 和備選假設H1作出決策抽取樣本檢驗假設 對

14、差異進行定量的分析，確定其性質(是隨機誤差還是系統(tǒng)誤差. 為給出兩者界限，找一檢驗統(tǒng)計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(T W)= -犯第一類錯誤的概率，W為拒絕域五五、小小 結結六、布置作業(yè)六、布置作業(yè) 生產流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運. 怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？例1:罐裝可樂的標準容量是355毫升 然而，這種隨機性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個限度，則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認為這個差異反映了事物的本質差別，即反映了生產已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差” 問題是，根據所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性

15、在起作用，還是生產確實不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個量的界限 .(4)故我們可以取拒絕域為：也就是說,“uU |”是一個小概率事件.W：uU |(5)如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入區(qū)域W，則拒絕H0 ；否則，不能拒絕H0 .|uUP 如果顯著性水平 取得很小，則拒絕域 也會比較小. 其產生的后果是： H0難于被拒絕.如果在 很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異.01. 0基于這個理由，人們常把 時拒絕H0稱為是顯著的，而把在 時拒絕H0稱為是高度顯著的.05. 0設總體),(2 N關于總體參數2,討論4種假設檢驗：1. 方差已知，檢驗假設 00:H2.方差未知，檢驗假設00:H3.期望已知，檢驗假設2020:H4.期望未知，檢驗假設2020:H三、一個正態(tài)總體的假設檢驗三、一個正態(tài)總體的假設檢驗 某織物強力指標X的均值 =21公斤. 改進工藝后生產一批織物，今