解析幾何專題02直線與圓

1、解析幾何專題02直線與圓學(xué)習(xí)目標 （1）正確理解圓的標準方程與一般方程；能規(guī)范地運用“待定系數(shù)法”求圓的方程；（2）明確直線與圓的位置關(guān)系，并能夠熟練地利用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系；（3）能夠根據(jù)具體條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ_求解圓的弦長、切線以及有關(guān)最值問題。知識回顧及應(yīng)用1圓的方程(1)圓的標準方程(2)圓的一般方程2直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系的判斷(2) 直線與圓相交產(chǎn)生的弦長問題的一般處理思路(3) 直線與圓相切產(chǎn)生的切線問題的一般處理思路(4) 直線與圓相離產(chǎn)生的最值問題的一般處理思路3應(yīng)用所學(xué)知識解決問題：【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線x2y24，直線1

2、2x5y300，則曲線與直線的位置關(guān)系是 相離 ?！咀兪?】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線x2y24和直線12x5yc0有且只有一個公共點，則實數(shù)c的值是_【變式2】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_(13,13)【變式3】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線上有且只有三個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_問題探究（請先閱讀課本，再完成下面例題）【類型一】求圓的方程以及圓的弦長問題三個獨立條件確定一個圓。在求圓的方程時，常采用“待定系數(shù)法”：根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)膱A的方程形式（與圓心有關(guān)的問題常

3、常設(shè)“圓的標準方程”；三點圓問題常常設(shè)“圓的一般方程”），再根據(jù)條件列方程（組）并解之。圓的弦長問題一般都利用“垂徑定理”求解：圓的半徑、弦長的一半以及圓心到弦的距離滿足勾股定理。例1根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)經(jīng)過P(2,4)、Q(3，1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；(2)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點P(3，2)解(1)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q點的坐標分別代入得又令y0，得x2DxF0.設(shè)x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80，或x2y26x8

4、y0.(2)方法一如圖，設(shè)圓心(x0，4x0)，依題意得1，x01，即圓心坐標為(1，4)，半徑r2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.方法二設(shè)所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，根據(jù)已知條件得解得因此所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.練習(xí)：(1)在平面直角坐標系xOy中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上則圓C的方程是(2)若圓上一點A(2,3)關(guān)于直線x2y0的對稱點仍在圓上，且圓與直線xy10相交的弦長為2，則圓的方程是_答案：(1) (2)(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244【類型二】 圓的切線問題 過圓上一點作圓的切線有且只有一條，常利用“圓心與切點連線

5、垂直于切線”求切線斜率；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，常利用“圓心到切線距離等于半徑”求切線斜率。注意：不能漏掉切線斜率不存在的情況！例2已知點M(3,1)，直線axy40及圓(x1)2(y2)24(1)求過M點的圓的切線方程；(2)若直線axy40與圓相切，求a的值解(1)圓心C(1,2)，半徑為r2，當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為x3.由圓心C(1,2)到直線x3的距離d312r知，此時，直線與圓相切當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為y1k(x3)，即kxy13k0.由題意知2，解得k.方程為y1(x3)，即3x4y50.故過M點的圓的切線方程為x3或3x4y50.(2)由題意有2，解得a0或

6、a.練習(xí)：已知圓：.（）設(shè)圓與軸交于 、兩個點，求線段的長;() 過點作圓的切線，求切線的方程.（）圓的標準方程為，設(shè)為的中點，則,則在直角三角形中，,則 . ()易知點在圓的外部，故所求切線有兩條，畫圖可知，過作圓的切線一條為 . 設(shè)過的圓的另一條切線方程為，根據(jù)點到直線距離公式，解得，整理得切線方程為【類型三】圓的最值問題 圓的最值問題主要有兩種處理方式：（1）三角代換：如，根據(jù)圓的方程可設(shè)；（2）幾何轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為“與圓心有關(guān)”的問題。例3已知實數(shù)x、y滿足方程x2y24x10(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值解圓的標準方程為(x2)2y23.(1)【方法一】y

7、x可看作是直線yxb在y軸上的截距，當(dāng)直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2.所以yx的最大值為2，最小值為2.【方法二】設(shè)，則所以yx的最大值為2，最小值為2.(2)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.練習(xí)：已知M為圓C：x2y24x14y450上任意一點，且點Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值答案：(1)|MQ|max6，|MQ|min2(2)的最大值

8、為2，最小值為2檢測1直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是(A )(A)(B)(C)(D)2若點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是( B)（A）相離 （B）相交（C）相切 （D）不確定3過坐標原點且與圓相切的直線方程為( C )(A)或(B)或(C)或(D)或4（2014東城期末）已知直線與圓相交于，兩點，若，則的取值范圍為(A )（A）（B）（C）（D）5過點直線與圓交于兩點，若，則直線的方程為.6方程x2+y2+4x2y4=0，則x2+y2的最大值是.7設(shè)，若直線與圓相切，求m+n的取值范圍?！窘馕觥繄A心為，半徑為1.直線與圓相切，所以圓心到直線的距離滿足，即，設(shè)，即，解得或【能力提升】8已知圓

9、C：，是否存在斜率為1的直線，使以被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在求出直線的方程，若不存在說明理由解：圓C化成標準方程為:假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）由于CM，kCMk=1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直線的方程為yb=xa，即xy+ba=0 CM=以AB為直徑的圓M過原點，把代入得，當(dāng)此時直線的方程為：xy4=0；當(dāng)此時直線的方程為：xy+1=0故這樣的直線是存在的，方程為xy4=0 或xy+1=09.設(shè)平面直角坐標系xoy中，設(shè)二次函數(shù)的圖像與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C。求：（1）當(dāng)時，求圓C的方程；（2）求實數(shù)b的取值范圍； （3）求圓C的方程；（4）圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關(guān)）？如果你認為它經(jīng)過定點，請求出定點坐標；如果你認為它不經(jīng)過定點，請說明理由。答案：（1）x2+ y2+2x+2y-3=0（2）令x=0，得拋物線于y軸的交點是（0，b）令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由題意b0且0，解得b1且b0（3）設(shè)所求圓的一般方程為x2