初等因子的定義

1、一、初等一、初等因子的定義因子的定義二、初等因子與二、初等因子與不變因子的關(guān)系不變因子的關(guān)系三、初等三、初等因子的求法因子的求法第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）把矩陣把矩陣 的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子n nAC 稱為稱為A的初等因子的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一、一、初等因子的定義初等因子的定義第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 222221,1,1,(1), (1) (1),

2、(1) (1)(1) 9個(gè)個(gè) 則則A的初等因子有的初等因子有7個(gè)，它們是個(gè)，它們是222(1) , (1) , (1) , (1), (1),例例1、若若12級(jí)復(fù)矩陣級(jí)復(fù)矩陣A的不變因子是的不變因子是:22() , ()ii第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 設(shè)設(shè)n級(jí)矩陣級(jí)矩陣A的不變因子為已知：的不變因子為已知：12( ),( ),( )ndxdxdx將將 分解成互不相同的一次因式分解成互不相同的一次因式( )(1,2, )idxin 二、二、初等因子與不變因子的關(guān)系初等因子與不變因子的關(guān)系的方冪的乘積的方冪的乘積:11121112( )()()(),rkkkrdx212222

3、12( )()()(),rkkkrdx1212( )()()().nnnrkkknrdx分析分析: :第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 則其中對(duì)應(yīng)于則其中對(duì)應(yīng)于 的那些方冪的那些方冪 :1i jk ()(1)i jkji jk就是就是A的全部初等因子的全部初等因子. 注意到不變因子注意到不變因子 滿足滿足12( ),( ),( )ndxdxdx1( )|( ),1,2,1iidxdxin 從而有從而有1,()|(),1,2,1,1,2,i jijkkjjinjr 因此有因此有,12,1,2,jjnjkkkjr第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 即同一個(gè)一次因式的方

4、冪作成的初等因子中，即同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必出現(xiàn)在方次最高的必出現(xiàn)在 的分解式中，次高的必的分解式中，次高的必( )nd 出現(xiàn)在出現(xiàn)在 的分解式中的分解式中. 1( )nd 如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的唯一確定的.第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 設(shè)級(jí)矩陣的全部初等因子為已知設(shè)級(jí)矩陣的全部初等因子為已知.nA在全部初等因子中，將同一個(gè)一次因式在全部初等因子中，將同一個(gè)一次因式 (),1,2,jjr的

5、方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初等因子的個(gè)數(shù)不足等因子的個(gè)數(shù)不足n個(gè)時(shí)，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)個(gè)時(shí)，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的的1，使其湊成，使其湊成n個(gè)，設(shè)所得排列為個(gè)，設(shè)所得排列為1,1(),(),(),1,2, .n jnjjkkkjjjjr 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 于是令于是令1212( )()()(),1,2,iiirkkkirdxin則則12( ),( ),( )ndxdxdx就是就是A的不變因子的不變因子. 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 例例1、已知、已知3級(jí)矩陣級(jí)矩陣A的初等因子為：的

6、初等因子為： 2(1) ,2.求求A的不變因子的不變因子. 解：作排列解：作排列2(1) ,1,1 2,1,1 得得A的不變因子為：的不變因子為：23( )(1) (2),dx21( )( )1.dxdx第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 結(jié)論結(jié)論1、若兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣有相同的不變因子，、若兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣有相同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；則它們就有相同的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論結(jié)論2、兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣相似、兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣相似可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量可見：初等因子和不變因子都是矩

7、陣的相似不變量.相同的不變因子相同的不變因子.它們有相同的初等因子它們有相同的初等因子.第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 1、(引理引理1)若多項(xiàng)式若多項(xiàng)式 都與都與 12( ),( )ff12( ),( )gg互素，則互素，則三、三、初等因子的求法初等因子的求法 11221212( )( ),( )( )( ),( )( ),( )fgfgffgg 證：令證：令 1122( )( ),( )( )( ),fgfgd 121( ),( )( ),ffd 122( ),( )( ),ggd 顯然，顯然，12( )( ),( )( ).dddd第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因

8、子初等因子 由于由于 11( ),( )1,fg 故故 12( ),( )1.dd 因而因而 12( )( )( )ddd另一方面，由于另一方面，由于11( )( )( ),dfg可令可令( )( ) ( ),dfg 其中其中11( )|( ),( )|( )ffgg又又 12( ),( )1,fg 由由22( )|( )( ),ffg又得又得2( )|( ).ff 2( ),( )1.fg第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 同理可得同理可得2( )|( ).gd12( ) ( )|( )( ),fgdd即即 12( )|( )( )ddd1( )|( ).fd故故12( )|(

9、 )( )ddd第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 1122( )( )0( )0( )( )fgAfg 2112( )( )0( )0( )( )fgBfg 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式 都與都與 互素，互素，12( ),( )ff12( ),( )gg2、(引理引理2) 設(shè)設(shè)則則 與與 等價(jià)等價(jià).( )A ( )B 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 證：首先，證：首先，( )( ) ,AB 從而從而 二階行列式因子相同二階行列式因子相同.( ),( )AB其次，由引理其次，由引理1，有，有 1122( )( ),( )( )fgfg 1212( ),( )( ),(

10、)ffgg 從而從而 的一階行列式因子相同的一階行列式因子相同.( ),( )AB所以，所以， 與與 等價(jià)等價(jià).( )A ( )B 2112( )( ),( )( )fgfg 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 3、(定理定理9) 設(shè)設(shè) 將特征矩陣將特征矩陣 進(jìn)行進(jìn)行,n nAC EA 初等變換化成對(duì)角形初等變換化成對(duì)角形12( )( )( )( )nhhDh 然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算

11、）就是A的全部初等因子的全部初等因子. 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 證：設(shè)證：設(shè) 經(jīng)過初等變換化成對(duì)角形經(jīng)過初等變換化成對(duì)角形EA 12( )( )( )( )nhhDh 其中其中 皆為首皆為首1多項(xiàng)式，多項(xiàng)式，( )ih 1,2,in 將將 分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積:( )ih 1212( )()()(),iiirkkkirh1,2,in 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 下證，對(duì)于每個(gè)相同的一次因式的方冪下證，對(duì)于每個(gè)相同的一次因式的方冪12(),(),()1,2,jjn jkkkjjjjr在在 的主對(duì)角

12、線上按升冪排列后，得到的新對(duì)角的主對(duì)角線上按升冪排列后，得到的新對(duì)角( )D 矩陣矩陣 與與 等價(jià)等價(jià).( )D ( )D 此時(shí)此時(shí) 就是就是 的的( )D EA 且所有不為且所有不為1的的 就是就是A的全部的全部()i jkj 初等因子初等因子.標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形，第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 為了方便起見，先對(duì)為了方便起見，先對(duì) 的方冪進(jìn)行討論的方冪進(jìn)行討論.1 于是于是 11( )()( ),1,2,ikiihgin且每一個(gè)且每一個(gè) 都與都與 互素互素.11()ik ( ) (1,2, )jgjn 如果相鄰的一對(duì)指數(shù)如果相鄰的一對(duì)指數(shù) 11,1,iikk 則在則在 中將中

13、將 與與 對(duì)調(diào)位置，對(duì)調(diào)位置，( )D 11()ik 1,11()ik 而其余因式保持不動(dòng)，而其余因式保持不動(dòng)，2323( )()()(),iiinkkkirg x令令1,2,in 由引理由引理2第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 11,1111()( )00()( )iikikig xgx 與與 1,11111()( )00()( )iikikig xgx 等價(jià)等價(jià). 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 111,111111111()( )()( )()( )()( )iinkkikikng xg xgxg x 等價(jià)等價(jià). 然后對(duì)然后對(duì) 重復(fù)上述討論重復(fù)上述討論.

14、1( )D 1( )D 從而從而 與對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣( )D 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含1 的方冪是按逆升冪次排列為止的方冪是按逆升冪次排列為止.再依次對(duì)作同樣處理再依次對(duì)作同樣處理.2,r最后便得到與最后便得到與 等價(jià)的對(duì)角陣等價(jià)的對(duì)角陣 ( )D ( ).D 都是按升冪排列的，都是按升冪排列的，的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式的方冪的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式的方冪( )D 即為即為 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形. EA ( )D 第八章第八章 矩陣矩陣 5 5 初等因子初等因子 例例2、求