推廣的F-展開法在求解BBM方程精確解中的應(yīng)用匯總

1、2012年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）推廣的F-展開法在求解BBM方程精確解中的應(yīng)用院一系：數(shù)學(xué)學(xué)院_專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級：2008級_學(xué)生姓名：唐榮貴_學(xué)號：200805050215導(dǎo)師及職稱：李紹林（副教授）HONGHE UNIVERSITY2012年6月2012A nnual Graduati on Thesis (Project) of the College Un dergraduateThe applicati on of F-expa nsion method forsolv ing the exact traveli ng wave soluti onsof BBM equat

2、io nDepartment: College of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2008Student No.: 200805050215Tutor: Li Shaolin( Associate Professor )Students NamTa ngRongguiJune,2012畢業(yè)論文（設(shè)計）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進行的研 究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外, 本論文（設(shè)計）不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本 論文（設(shè)計）的

3、研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明 確說明并表示謝意。作者簽名：_ 日期：_畢業(yè)論文（設(shè)計）授權(quán)使用說明本論文（設(shè)計）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文 （設(shè)計）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計）并向相關(guān)部門送交論文 （設(shè)計）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計）用于非贏利目的的 少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計）進入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)?？梢怨?論文（設(shè)計）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計）在解密后適用 本規(guī)定。作者簽名：指導(dǎo)教師簽名：日期：_日期：_唐榮貴 畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯委員會（答辯小組）成員名單姓名職稱單位備注芮偉國教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院組長李紹林副教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院何

4、振華副教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院林羽講師紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）摘要本文利用推廣的 F 展開法，通過引入三個輔助方程對 BBM 方程進行了研究，得到方程的一些精確行波解這些精確解的類型主要包括：有理函數(shù)，三角函數(shù)， 指數(shù)函數(shù)，Jacobi橢圓函數(shù)，雙曲函數(shù)和 Weierstrass 橢圓函數(shù)六種類型.為了解這 些精確解的性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)軟件（Mathematical對部分精確解進行圖象模擬 關(guān)鍵詞：BBM 方程；推廣的 F 展開法；輔助方程；精確解紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）ABSTRACTUsing exte nd F-expa nsion method and in trodu

5、c ing three auxiliary equati on s,thenonlinear partial differential BBM equation is studied,some exact traveling wave soluti onsare obta in ed.Accordi ng to fun cti on types,these exact soluti ons are classified as thefollowingsixtypes:therationaltype,triangulartype,exponentialtype,Jacobielliptictyp

6、e,hyperbolic type and Weierstrass elliptic type.Understanding the properties of the exacttraveli ng wave solutio n,the images of some exact soluti ons are simulated by themathematical software- Mathematica.Keyword: BBM equation; Extend F-expansion method; Auxiliary equation; Exact soluti on紅河學(xué)院本科畢業(yè)論

7、文（設(shè)計）目錄第一章引言.1第二章預(yù)備知識.32.1 預(yù)備知識一 .32.2 預(yù)備知識二.52.3 預(yù)備知識三.6第三章 BBM 方程的精確行波解.83.1 結(jié)合輔助方程（2.1 ）求解 BBM 方程的精確行波解 . 83.2 結(jié)合輔助方程（2.2 ）求解 BBM 方程的精確行波解 .123.3 結(jié)合輔助方程（2.3 ）求解 BBM 方程的精確行波解 .143.4 圖象模擬.16第四章小結(jié).18參考文獻.19致謝.21紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）1第一章引言一個系統(tǒng)，如果輸出與輸入不成正比，貝尼是非線性的，在實際現(xiàn)象中，彈 簧受力伸長（產(chǎn)生位移），當(dāng)位移較小時，力與位移成正比，力與位移的關(guān)系為

8、線 性關(guān)系，即 Hooke定律F =kx，當(dāng)位移很大時，Hooke 定律失效，彈簧變?yōu)榉蔷€ 性振子；又如一個介電晶體，當(dāng)輸入光強不再與輸出光強成正比時，都是非線性 的.眾所周知，自然科學(xué)或社會科學(xué)幾乎所有的已知系統(tǒng)，當(dāng)輸入較大時，都是非線性的因此，非線性系統(tǒng)遠比線性系統(tǒng)多得多可以說，客觀世界本來就是非線 性的，線性只是一種近似.描述這些非線性系統(tǒng)行為的方式就是非線性微分方程， 非線性方程很多，如非線性常微分方程（組），非線性偏微分方程（組），函數(shù)方 程與差分方程（組）等.非線性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，無論在理論中還是在實際應(yīng)用中，非線性偏微分方程均被用來描述力學(xué)、控制過程、生態(tài)與經(jīng)

9、濟系 統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學(xué)等領(lǐng)域的問題利用非線性偏微分方程描述上述問題并充分考慮到空間、時間等因素的影響，因而更能準(zhǔn)確的反映實際.20 世紀(jì) 60 年代以來，非線性科學(xué)得到了飛速的發(fā)展，在非線性偏微分 方程中一方面研究偏微分方程解的存在性，精確解2，穩(wěn)定性3，唯一性等；另一方面研究非線性偏微分方程的求解方法，探索解的不同結(jié)構(gòu)與演化規(guī) 律是非線性研究中的重要內(nèi)容在此期間專家學(xué)者在求解非線性發(fā)展方程的精確 解方面做了大量而有效的工作，構(gòu)造了很多有效的求解方法，如指數(shù)展開法5-6， Jacobi 橢圓函數(shù)展開法7-8，Hirota 方法，齊次平衡法10-11，F(xiàn) 展開法11-13等.但 由于非

10、線性方程的復(fù)雜性，這些方法都只適用某些類型的方程，沒有一種方法能 求解普遍的非線性偏微分方程，所以尋找更加行之有效的解法，成為人們關(guān)注的 熱點問題.本文將研究如下的非線性偏微分方程， 即 Benjamin- Bona-Mahony 方程冋（簡 稱為BBM 方程）UtUxUUx：Uxxt=0.該方程由 Benjamin，Bona 和 Mahony 于 1972 年研究非線性水波時建立的，他們的研 究結(jié)果表明 KdV 方程作為流體中長波單向傳播模型方程的缺點，進而提出了另一個更合適的非線性色散介質(zhì)中長波單向傳播的模型方程(BBM 方程)15.對于 BBM第一章引言2方程的研究，據(jù)查閱文獻，王明亮1

11、6通過給出 Lagrange 密度函數(shù),由變分原理引出 了 BBM方程,解析地研究了該方程的孤立波解及其互相作用.尚亞東，鈕鵬程17用行波方法研究了BBM 方程,求出了方程的一些精確孤立波解.黃正洪，夏莉18利用橢圓函數(shù)積分法求出了BBM 方程的橢圓余弦波解等精確解尚亞東19研究了 一類廣義 BBM 方程的基本守恒律.在文獻20，21和22的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)用推廣的 F-展開法結(jié)合三個輔助 方程來求解 BBM 方程.接下來的內(nèi)容里，我們作如下安排，在第二章中介紹本文需要用到的三個輔 助方程及輔助方程解的情況；在第三章中具體利用推廣 F-展開法并結(jié)合三個輔助 方程對 BBM 方程進行求解，借助于數(shù)

12、學(xué)軟件(Mathematics)對方程的部分行波 解的圖像進行模擬；最后對我們所做的工作做了小結(jié)，并提出了一些可以進一步 深入研究的方面紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)3第二章預(yù)備知識在本章中，我們介紹一下在論文中所需要的三個輔助方程20-22()2 C( ) C22() C33( ) C4( )， (2.1)=k0k0, C4 0. .C4(2.4)(2.5)(2.6)2c(2)當(dāng) C3二&=0，C0-時，(2.1 )有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理4C4函數(shù)解: =、； _ 怕門 hg _ 匕)，C20 .；2C42國彳話 ta 門(驢，C20,C4 0 時,sniI sin1，cni：

13、 cos1，dnI；I1.sni ：tanhi：j, cn 11 sechi1.數(shù)解:sech2-)， C2 0.C3 2當(dāng) C2二 C3=C4 =0時，（2.1 ）具有如下解:C0土1F2cCi， 0=0.c14（7）當(dāng) c。=C2=0 時，（2.1 ）具有如下有理函數(shù)和指數(shù)函數(shù)解:c2m2-2sn(.C4(m21),C22m21)，C。C4(m21)2，C2：0.(2.11)C2|-= dn(jY c4(2 m ) r2 mCoc；m2(m2_1)2，C20.(2.12)c4(2m2_1)2當(dāng)C4 -C0=0 時,（2.1 ）有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)周期解和有理函(2.13)C2C3sec-

14、f2)， C20.(2.14)(5)-2 ?C3C2= 0.(2.15)當(dāng) C4=0，C30 時，（2.1）有 Weierstrass 橢圓函數(shù)解: Qg3)，g2二4c1C3C3(2.16)(6)=c，& = 0， C00 .(2.17)(2.18)第二章預(yù)備知識62.2預(yù)備知識二據(jù)文獻21，輔助方程（2.2 ）式的解有以下幾種情況:(1)當(dāng) k=0，匕=1， k2- -1 時,111tanh().(8)當(dāng) c3= c4=0時，(9)當(dāng) c “ =0，c22-4C4 C3C3e，2C4C4= 0.C4: 0.(2.19)(2.20 )（2.1 ）具有如下指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)解

15、:2C24C2(2.21 )亠.旦 sin(, y )，2c22c22c22C2旦 sinh(2. C2)，c2: 0，c0= 0 .(2.22 )(2.23)、-sin(J -C2=)，G=0， 0，C20，c 0. C2(2.25 )0 時，（2.1 ）具有如下形式的解:c2sec ( J-c2-)- 1 -,2c2c4tang . -c2) c3，c2：(2.26)c2sech2(1v;c -)- 1 .2, C2C4tanh.o )-C3，c20， c3= 2. c2c4.(2.27 )1C22 匕tanhC2)，C2 0,44.(2.28 )(2.29 )紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）

16、72 22當(dāng) k= 0，匕-1， k2= 1 時,第二章預(yù)備知識8111coth( ).(2.30)2 222.3預(yù)備知識三據(jù)文獻22，輔助方程（2.3 ）的精確行波解有如下五種情況:(2.40)(3)當(dāng)仏晶，k = 0， k - - 2 時，=coth二csch，或-tanh二isech.(2.31 )(4)當(dāng)當(dāng)k0 =1， =0，k2-1 時，=tanh，或=coth.(2.32 )(5)當(dāng)2 = 0， k =時，2=ta n sec，或=csc - cot.(2.33)(6)當(dāng)當(dāng)k。一12，匕=0，k? - -1時，2=sec - tan，或=csc cot.(2.34 )當(dāng) 當(dāng)k0 /

17、， = 0，k2= 1 時，(2.36)(2.38 )(1)_40，J-0 時，22-4-. -4Jtanh() - ).-ln(22J(2.39)(2)當(dāng)2-40，=0 時,(3)當(dāng)2_4 二-0，1紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)9(5)當(dāng)一 4：0 時,2_ 2- .4 丄；tan()-=ln(2).24一從2；4).扎匚(2.41 )(4)當(dāng).2-0，門 -0 , =0 時,(2.42)(2.43 )第三章 BBM 方程的精確行波解10第三章BBM方程的精確行波解3.1結(jié)合輔助方程（2.1）求解BBM方程的精確行波解 考慮如下BBM方程UtUxuUx：Uxxt=0 ,（3.1 ）其中，u

18、=u（x, t），:-為任意常數(shù).引入行波變換，令u（x,t） = U （ J，= x ct，則方程（3.1 ）可以轉(zhuǎn)換為cU U UU : cUJ0，（3.2）其中u丄巴，c 為常數(shù)，表示行波的波速.d假設(shè)（3.2 ）的解為nU =xa.i，（3.3）i =0其中;T： ：（），且滿足如下的輔助方程r（ ）2八 Cj j（ ），（ 3.4）j =0其中 n 和 r 都為待定的正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡（3.2 ）中最高階非線性項UU與最高階線性項 U_, 得n = r -2. 取定不同的 r，由上式即可確定相應(yīng) n的取值.結(jié)合預(yù)備知識一，特別地取r =4，相應(yīng)地n = 2，則（3.3 ）可

19、化為U 二 a。a 0時，（3.20 ）和（3.22 ）退化為常數(shù)解，（3.21 ）退化為2Iu/x,t） - -1-c-4c：c212c：c2sin Cc2（x ct），Q：0.（3.23 ）（3）把（3.10）代入（3.5 ）得U = -1 - c - 3cc：（） .（3.24 ）根據(jù)（3.10 ）和（3.24 ），為得到（3.1 ）的非常數(shù)解，輔助方程（2.1 ）的參數(shù)滿足如下：Cg=0，C1=0，C4=0， C3，:-，c 為任意非零常數(shù)，C2為任意常數(shù).f2 V C2u12(x,t)二 -1 -c -c- c23c- c2sech (x ct)， c20.2(3.25)12C2u1

20、3(x,t) = T -c-c- c23c c2sec (x ct)，:0.(3.26)由（2.13 ）、（2.14 ）、（ 2.15 ）可知，方程（3.1 ）具有如下解:U14(X,t)-1 c 3c：(3.27)U8(x,t) = -1 - c -4c：C212c：2c?m2m2-1叫品皿），(3.20)2 2/2其中-認(rèn)，c20.u9(x,t) = _1c4c：c212c：C2m21叫為（X+ct），(3.21 )(3.22)其中 c二c；(1 -m2)C4(2 -m2)2c20.1(x Ct)2第三章 BBM 方程的精確行波解16根據(jù)（3.10 ）和（3.24 ）,為得到（3.1 ）的

21、非常數(shù)解，輔助方程（2.1 ）的 參數(shù)滿足如下：C4=0，C3.0，Cl，Co， C 為任意非零常數(shù)，C2為任意常數(shù).由（ 2.16 ）可知，方程（3.1 ）具有Weierstrass橢圓函數(shù)解U15（x,t） = 1 - c -c：C2-3c：C3、：（x Ct）, g2,g3），（3.28）24C14C0其中 g2，g3.C3C33.2結(jié)合輔助方程（2.2）求解BBM方程的精確行波解假設(shè)（3.2 ）的解為nu八 a- （）i，（3.29）i：其中二.（），且滿足如下的輔助方程r川kj j（ ），（3.30）j =0其中的 r 和 n 都為正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡（3.2 ）中最高階非線

22、性項UU與最高階線性項 U_, 得n 2 = 2r.取定不同的 r，由上式即可確定相應(yīng) n 的取值.結(jié)合預(yù)備知識二，特別地取r = 2，相應(yīng)地n = 2，則（3.29 ）可化為U -a0a（ ） a22 3（ ），（3.31 ）（3.30 ）式可化為22+2a2a0a2+2a2H8a2ck1 +16a2ck0k2a +6a1ck1k2。= 0,33a1a2+30a2ck1k+6a1ck2a=0,2 22a2+24a2ck2a=0.=k0ki( ) k/2().(3.32)紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）17把（3.31 ）和（3.32 ）代入（3.2 ），將（3.2 ）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項式,令，的各

23、次幕系數(shù)為零，得到如下的方程組：嚴(yán)2aha0aHa1H6a2ck0k+a1ck +2a1ck0k2。=0,求解（3.33 ），得到如下解:_2 2a- -1 -c-ckr8ck0k2二，a!- -126：蟲水2, a2- -12ck2二,c = 0,G式0,k= ko, ki= ki, k?鼻0.把（3.34）代入（3.31 ）得U =-1-c-ck；口-8ck0k2口-12ck(k2Gco()-12ck；口co3 4(匕).(3.35)結(jié)合（3.34 ）、（ 3.35 ）和（2.29）-（ 2.38 ）可知，方程（3.1 ）具有如下的 精確解：（1）當(dāng) k=0， ki= 1， k：-1 時，

24、11u16(x,t) - -1 -c -ct113c：(1tanh(- (x ct)( 1 -tanh( (x ct).(3.36)22(2)當(dāng) k= 0，人-1， k?= 1 時，11u17(x,t)二 一1 -cc篇川2c：(1coth(-(x ct)(2coth(-(x ct).(3.37 )2211(3)當(dāng)k 二一，匕=0，k2 -時，22u18(x,t) = -1- c 2c：-3c：(coth(xct)二 csch(x ct)，( 3.38)u19(x,t) = -1-c 2c：-3c：(tanh(x ct)二 isech(x ct).(3.39)(4) 當(dāng) k = 1， = 0，

25、k：- -1 時，31(6) 當(dāng)k - -一，匕=0，k2 -時，42u24二 T -c-2c：-3c：(sec(xct) - tan(xct)2，(3.44)2u25二 T -c-2c：-3c：(csc(xct) cot(xct) .( 3.45)(3.33)(3.34)第三章 BBM 方程的精確行波解18U20= -1 -c8g 12c tanh(x ct)(1 -tanh(x ct)，(3.40)u21= -1-c8cJ 12c：coth(x ct)(1 -coth(x ct) .(3.41 )11(5) 當(dāng)k =一，k0，k2二一時，22u22- -1 - c - 2c：- 3c：(t

26、an(xct) sec(xct)2，( 3.42)2u23二 T 一 c - 2c：-3c(csc(xct) - cot(xct) .( 3.43)當(dāng) ko= 1， k = 0， k2= 1 時，2u26- -1 - c -8c：- 12c：tan (x ct).(3.46)(8) 當(dāng) k = -1， k = 0， k = -1 時，2u27= 1 c 8c：- -12c 二 cot (x ct).(3.47)(9) 當(dāng) k。=0， =0，k2=0 時，1U28(x,t) -1-c 12c2.(x + ct)(3.48)3.3結(jié)合輔助方程（2.3）求解BBM方程的精確行波解假設(shè)（3.2 ）的解

27、為Uai（ ）i,（3.49）i z0其中二.（），且滿足如下的輔助方程r川 J 為 bj（e）j.（3.50）j=-r其中 n 和 r 都為待定的正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡（3.2 ）中最高階非線性項UU與最高階線性項U得n = 2r.取定不同的 r，由上式即可確定相應(yīng) n 的取值.結(jié)合預(yù)備知識三，特別地取r =1，相應(yīng)地n = 2,考慮到計算時的方便，取八1， b，b| =1，則（3.49）式化為紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）19U 二 a0a1（）a2e（ ），（ 3.51 ）（3.50）可化為.丄 e）（）.（3.52）把（3.51 ）和（3.52 ）代入（3.2 ），將（3.2 ）轉(zhuǎn)

28、化為關(guān)于的多項式，令怕的各次幕系數(shù)為零，得到如下的方程組紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）2202 卩- 1 - 22a224a2c：- 0,3a1a26a1 亠 30a2c：- 0,2 2a12a22a0a22a2c 6 恥工.丨 8a2ct. 16a2cZ = 0,2(3.53)求解（3.51 ），得到如下解: 2a = 1 c c。 丸一 8CQA, = 12 c。扎,a 12 ,*九=k, A =巴C式0,G #0.把( 3.54)代入(3.2)得U結(jié)合(3.54)、( 3.55)和(2.39)-( 2.43 )可知，方程(3.1)精確解：(1)當(dāng)2 一40,-0時，u29(x,t)-1-c

29、-c2-8c-12cK(x,t)-12c：K2(x,t)（3.54）（3.55）具有如下的,(3.56)其中 K(x,t)-站丸2_44tanh(當(dāng).20，二=0 時,(2)(3)(4)(5)-2J2-4(x ct) 2AHU30(x,t) =-1-c-c：-12c?,(xct)(1e -1當(dāng),2一 4=0 ,=0 ,.飛。時，3U31(x,t)1-c 心2-8c6c(x ct) (x ct)(x ct) 2(V2(x ct) 4).當(dāng) 2_4 亠=0，.二-0，=0 時,“，12cU32(X,t) = -1 - C 2當(dāng)* _4 ：0 時，2 2U33(x,t)二 T cpi8c-12c：

30、D(x,t)-12c：D (x,t)，(3.57)(3.58)(3.59)(3.60)其中 D(x,t)第三章 BBM 方程的精確行波解21- 24Atan(：f24(x ct) 3.4圖象模擬為理解這些精確行波解的函數(shù)性質(zhì)，我們選取部分精確解（U1,u2,U3 ,U5, Ui6，U22， U31， U33），利用數(shù)學(xué)軟件（Mathematical對它們進行了圖像的模擬. 在圖像模擬的過程中，我們選取如下參數(shù)的取值：圖 3-1 中的參數(shù)取為c =0.9，：二0.3，c2=0.08，c3=4, c4二0.02.圖 3-2到圖 3-4 中的參取為c = 0.9，：= 0.3，c2=0.08 .在圖

31、 3-5 至圖 3-8 中的參數(shù)取 為c=0.9，:; =0.3.圖 3-9 中的參數(shù)取為c = 1，:; =0.2怎=2，二-0.4.圖 3-10 中取參數(shù)為c = -1，:=0.2， =0.2，亠=0.4.圖 3-4U3的三維波形圖圖 3-4U5的三維波形圖紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）22圖 3-5 Ui6的三維波形圖圖 3-6 上2的三維波形圖圖 3-7 U23的三維波形圖圖 3-10 U31的三維波形圖圖 3-8 U26的三維波形圖第四章小結(jié)23第四章小結(jié)本文利用推廣的 F 展開法，并結(jié)合以下的三個輔助方程，( )2G () C2 2( ) C3 3( ) C4 .4()，=k0ki(

32、 ) k22()，；=e()e()，得到了 BBM 方程的 33 個解.其中有 11 個雙曲函數(shù)解，11 個三角函數(shù)解，6 個 有理數(shù)解，3 個Jacobi 橢圓函數(shù)解，1 個指數(shù)函數(shù)解，1 個 Weierstrass 橢圓函數(shù) 解.通過對部分精確行波解所進行的圖像模擬，以便于我們進一步了解這些行波 解的函數(shù)性質(zhì).在本文中，我們認(rèn)為可在以下方面進行擴展：(1) 擴展方程所設(shè)的解(3.2 )為nnU( J八3iC( )v bi( ()1i =Si呂(2) 輔助方程(2.1)，( 2.2)，( 2.3 )進一步擴展為r )2=送 c$，其中r =5,r =6，i =Qr八心)，其中r =3，r =

33、4，i =0=瓦 bi(e 知)，其中r =2，r=3.i二-r據(jù)查文獻，上述輔助方程的研究結(jié)果較少，因此，這是一個值得繼續(xù)深入研 究的問題.由文中的求解過程不難發(fā)現(xiàn)，輔助方程的形式在求解過程中至關(guān)重要.因此， 我們打算把其它方法(如指數(shù)函數(shù)法，G G 方法)等用于考上述輔助方程的擴 展形式上，期望得到它們的更多解，以進一步豐富F 展開法的內(nèi)容.參考文獻1王廣西,許又軍.一類 P-Laplace 方程正解的存在性.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用 2007, 27(3) :65-69.紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)242李志斌，姚若俠.非線性耦合微分方程組的精確解析解J.物理學(xué)報，2001,50(11):2062

34、-2066.3從福仲，李通.廣義 Hamilton 系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性J.中國科學(xué):A 輯，2004，34(4):407-417.4王定江，非線性年齡結(jié)構(gòu)種群發(fā)展方程解的存在唯一性J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報，1994,9(2):39-42.5劉玉堂,李富志.指數(shù)函數(shù)法及其在非線性發(fā)展方程中的應(yīng)用.計算機工 程與應(yīng)用,2009,45(2):65-70.6徐桂瓊,李志斌.構(gòu)造非線性發(fā)展方程孤波解的混合指數(shù)方法.物理學(xué)報,2002,51 (5):946-950.7劉式適.Jacobi 橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應(yīng)用.物理學(xué)報,2001,50(11):2068-2073.8李德生.若干非線性演化方

35、程精確求解法的研究D.大連：大連理工，20049Hirota R. Exact solutions of the Korteweg-de Vries equation for multiplecollisions of solitons J. Phys Rev Lett1971,27:1192-1194.10 范恩貴，張鴻慶.非線性孤子方程的齊次平衡法J.物理學(xué)報,1998,47(3):353-361.11 Wang Min glia ng. Homoge neous bala nee method and application?. Phys Lett.A,1993,213(2):279-284.12 李向正,王明亮，李曉燕.應(yīng)用 F 展開法求 Kdv 方程的周期