2020年高考文數(shù)二輪專題復(fù)習(xí)：題型2第8講第1課時(shí)坐標(biāo)系與參數(shù)方程含解析

1、第 8 講選修 4 系列第 1 課時(shí)坐標(biāo)系與參數(shù)方程考情分析坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考選考內(nèi)容之一， 要求考查：一是直線與 圓的極坐標(biāo)方程，以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；二是直線、圓與圓錐曲線的參 數(shù)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化.熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn) 1 極坐標(biāo)方程方法結(jié)論1.圓的極坐標(biāo)方程若圓心為 M(p, 0),半徑為 r， 則圓的極坐標(biāo)方程為 r2= 0.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1) 當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為 r 時(shí)，p=r;(2) 當(dāng)圓心為 M(a,0)，半徑為 a 時(shí)，p=2acos0;(3) 當(dāng)圓心為 M，n，半徑為 a 時(shí)，尸 2asin02.直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn) M(p

2、, 0)，且極軸與此直線所成的角為a則此直線的極坐標(biāo)方程為pin(0psin(0 a).幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過極點(diǎn)：A 0 和A n+ 0;直線過點(diǎn) M(a,0)且垂直于極軸：pcos0=a；(3)直線過點(diǎn) M ni 且平行于極軸：pi nA b.【題型分析】(2019 全國(guó)卷U)在極坐標(biāo)系中，O 為極點(diǎn)，點(diǎn) M(p，0)(p0)在曲線 C：尸 4sin0上，直線 I 過點(diǎn) A(4,0)且與 OM 垂直，垂足為 P.(1) 當(dāng))=n寸，求p及丨的極坐標(biāo)方程；(2) 當(dāng) M 在曲線 C 上運(yùn)動(dòng)且 P 在線段 OM 上時(shí)，求 P 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.解(1)因?yàn)?M(p，0)

3、在曲線 C 上,當(dāng)0= 3 時(shí)，p= 4sinf= 2 3.n由已知，得 |OP|= |OA|CO$3=2.2 2p2ppcos(00)+ p設(shè) Q(p為I 上除 P 外的任意一點(diǎn).在 RtAOPQ 中，pcos63 |0P|= 2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) P 2, 3 在曲線 pcos6扌2 上，所以 I 的極坐標(biāo)方程為posJn= 2.(2)設(shè) P(p, 6，在 RtAOAP 中，|OP|OA|cos64cos6,即p4cos6.因?yàn)?P 在線段 OM 上，且 APIOM ,所以6的取值范圍是n扌所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為p4cos6,6 n【通法指導(dǎo)】1.直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式

4、X pcos6和 ypin6直接帶 入并化簡(jiǎn)即可.2 .極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)時(shí)常通過變形，構(gòu)造形如pos6,pin6,p的形式，進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)p及方程兩邊平方是常用的 變形方法.但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意變形過程的檢驗(yàn).【針對(duì)訓(xùn)練】(2018 江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，直線 I 的方程為 psi ng 6 2,曲線 C 的方 程為p4cos6,求直線 l 被曲線 C 截得的弦長(zhǎng).解 因?yàn)榍€ C 的極坐標(biāo)方程為p4cos6,所以曲線 C 是以直角坐標(biāo)(2,0)為 圓心，直徑為 4 的圓.因?yàn)橹本€ l 的極坐標(biāo)方程為psi ng6 2,則直線 l

5、 過 A(4,0)(直角坐標(biāo))，傾斜角為才，所以 A 為直線 l 與 圓C的一個(gè)交點(diǎn).設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為 B,則/ OAB 6連接OB,因?yàn)镺A為直徑， 從而/ OBA2，所以 AB 4cos6 2 3.因此，直線 l 被曲線 C 截得的弦長(zhǎng)為 2,3.熱點(diǎn) 2 參數(shù)方程方法結(jié)論V1.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn) P0(x0,y0),且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為XX0+tcosa,yy+tsina(t 為參數(shù)).t 的幾何意義是直線上的點(diǎn) P 到點(diǎn) P0(X0,y0)的數(shù)量，即|t|= |PP0|(t 可正、可負(fù)、 可零).若 M1, M2是 l 上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為 t1, t2，則|M1M2|

6、= |t112| ;線 t1+ t2段 M1M2的中點(diǎn) M 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為一廠.2.圓的參數(shù)方程圓(x a)2+ (y b)2=r2的參數(shù)方程為Jx=a+rcos0,y=b+rsin0(0為參數(shù)).3.橢圓的參數(shù)方程2 2橢圓拿+ = 1(ab0)的參數(shù)方程為x= acos0,y= bsin0(0為參數(shù))；2 2橢圓拿+ b?= 1(ab0)的參數(shù)方程為Jx= bcos0,(0為參數(shù)).y=as in0【題型分析】(2018 全國(guó)卷川)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 O 的參數(shù)方程為x=cos0,滬sin0(0為參數(shù))，過點(diǎn)(0， 2)且傾斜角為a的直線 I 與。O 交于 A, B 兩點(diǎn).(1)

7、求a的取值范圍；(2)求 AB 中點(diǎn) P 的軌跡的參數(shù)方程.解(1)OO 的直角坐標(biāo)方程為 x2+ y2= 1.a=,I 與。O 交于兩點(diǎn).,記 tana=k，貝UI 的方程為 y= kx 2與OO交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).1+k21,解得 k1,即 an2.% a 24 -綜上，a的取值范圍是n，3n.x=tcosa ,y=邁+tsina設(shè) A, B, P 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 tA, tB, tP, tA+tB則 tP= -,且 tA, tB滿足 t2 2 , 2t sina+1 = 0.(2)1 的參數(shù)方程為t 為參數(shù)，4a3n.于是 tA+ tB= 22sin a, tp= 2sin ax=又點(diǎn)

8、P 的坐標(biāo)(x, y)滿足，cy=f罷xysi n2a,所以點(diǎn) P 的軌跡的參數(shù)方程是J2 亞y 2 cos2a【通法指導(dǎo)】將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有:(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個(gè)方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通 常用代入消參法；三角恒等消參法：利用 Sin2a+COS2尸 1 消去參數(shù)，圓和橢圓的參數(shù)方程都 是運(yùn)用三角恒等消參法；【針對(duì)訓(xùn)練】為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn) 0 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I 的極坐標(biāo)方程為 2pcos9+.3pinB+11 0.(1)求曲線 C 和直線 I 的直角坐標(biāo)方程；求曲線 C 上的點(diǎn)到直線 I 距

9、離的最小值.1 t2解因?yàn)橐?1石孑W1，2所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x2+才1(X1),tPCOS a,2 + tpsin常見的消參關(guān)系式：t = 1; t+12 t2 4；1.(2019 全國(guó)卷I)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為1 t2X1+12,4t(t且 x2+B余，2+?1+喬-1片2直線 I 的直角坐標(biāo)方程為 2x+ .3y+ 11 0.x=cos a由可設(shè)曲線 C 的參數(shù)方程為*(a為參數(shù)，一nn)y=2si na曲線 C 上的點(diǎn)到直線 I 的距離為故曲線 C 上的點(diǎn)到直線 I 距離的最小值為.7.熱點(diǎn) 3 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的

10、綜合應(yīng)用問題的一般思路：在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)、切線等幾何問題時(shí)，如果 不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩時(shí)，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角 坐標(biāo)方程解決轉(zhuǎn)化時(shí)要注意兩坐標(biāo)系的關(guān)系，注意p, B的取值范圍，取值范圍不同對(duì)應(yīng)的曲線不同；(2)解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時(shí)，首先要弄清參數(shù)是誰，代表的幾何意義是什 么；其次要認(rèn)真觀察方程的表現(xiàn)形式，以便于尋找最佳化簡(jiǎn)途徑.【題型分析】x=V 3cosa(2016 全國(guó)卷川)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 Ci的參數(shù)萬程為丿(a$=sina為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 X 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為pinJ+

11、才2竝(1) 寫出 Ci的普通方程和 C2的直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn) P 在 C1上，點(diǎn) Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí) P 的直角坐標(biāo).2解(1)C1的普通方程為號(hào)+ y2= 1，C2的直角坐標(biāo)方程為 x+ y 4= 0.(2) 由題意，可設(shè)點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為(/3cosa, sina.因?yàn)?C2是直線，所以|PQ| 的最小值即為P到 C2的距離 d(a的最小值，Kf3cosa+sina4| 匚.(n小d(a =2=寸 2 sin(a+3一2 .4cos5+ 11 取得最小值 7,|2cosa+23sina+11|V7當(dāng)且僅當(dāng)a=2kn+Z)時(shí)，d(M取得最小值，最小值為.2,此時(shí) P

12、 的直角【通法指導(dǎo)】解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問題時(shí)應(yīng)注意下面三點(diǎn)：(1) 在對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程的應(yīng)用不夠熟練的情況下，可以先化成普通 方程或直角坐標(biāo)方程，這樣思路可能更加清晰；(2) 對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)捷如利用直線 參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決與距離有關(guān)的問題；利用圓或橢圓參數(shù)方程中的 參數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)處理有關(guān)最值的問題；(3) 利用極坐標(biāo)方程解決問題時(shí)，要注意題目所給的限制條件和隱含條件.【針對(duì)訓(xùn)練】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 0 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知直2(t 為參數(shù)，OW(n)曲線 C 的極坐標(biāo)方程為pos9=8sin 9.(

13、1) 求直線 I 的普通方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；(2)直線I 與曲線 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求|AB|的最小值.2 + tsi n，得 xsin ycos+ 2cos= 0，所以直線 I 的普通方程為 xsin ycos+ 2cos = 0.由pos98sin9,得(pos9= 8pin9,把 x=pos9, y= psin9代入上式，得 x2= 8y， 所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x2= 8y.(2)將直線 I 的參數(shù)方程代入 x2= 8y，/口22得 t cos 8tsin 16= 0，設(shè) A，B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t1, t2，所以 |AB|= |t1 t2

14、| = p（t1+ t2 f4t1t2坐標(biāo)為3，2.線 I 的參數(shù)方程為x= tcoscy=2 + tsin j-X=tcos，解（1）由.消去 t，當(dāng)= 0 時(shí)，AB 的最小值為 8.專題作業(yè)1.（2019 南昌模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為x=2cosB,c. c（B為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X 軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. y=2sin0+2求曲線 C 的極坐標(biāo)方程；n2n若直線 11, 12的極坐標(biāo)方程分別為0=6（pR）,0二pR），設(shè)直線 11, 12與曲線 C 的交點(diǎn)為 O, M , ”，求厶 OMN 的面積.x=2cos0,2解（1）由曲線 C 的

15、參數(shù)方程（0為參數(shù)），得 C 的普通方程為 x2y=2sin0+2+ （y- 2）2= 4,所以曲線 C 的極坐標(biāo)方程為pcoV0+psin204pin = 0,即 尸 4si n0nn不妨設(shè)直線 11：0=6（pR）與曲線 C 的交點(diǎn)為 O,M,則PM= |OM| = 4sin6=2.2n2n又直線 12： =3（pR）與曲線 C 的交點(diǎn)為 O, N,貝U p=|ON|= 4sin3 = 2 3.n11又/MON = 2，所以 SOMN=2|OM|ON|=2x2X2,3= 2 3.x 2cos 02. （2018 全國(guó)卷U）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為.y4sin0 x1

16、+tcosa,（0為參數(shù)），直線 I 的參數(shù)方程為c . （t 為參數(shù)）.Ly2+tsina（1）求 C 和 I 的直角坐標(biāo)方程；若曲線 C 截直線 I 所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2），求 I 的斜率.2 2解（1）曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為+治一 1.當(dāng) cosaM0 時(shí)，I 的直角坐標(biāo)方程為 y tanax+ 2 tana,當(dāng) cosa0 時(shí)，I 的直角坐標(biāo)方程為 x 1.將 I 的參數(shù)方程代入 C 的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于 t 的方程（1 + 3cos2Mt2+4（2cosa+sin o）t80.因?yàn)榍€ C 截直線 I 所得線段的中點(diǎn)（1,2）在 C 內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為 t1,t

17、2,所以 X1+ X2 （1 + t1C0S” + （1 + t2cosa） 2,所以（t1+ t2）COSa0,又 COSaM0, 所以 t1+ t2 0.x=2C0Sa,y=. 3sina(a為參數(shù)).又由得 ti+12=2，故 2cosa+ sina=O,所以 tanF 2,于1+3cosa 是直線 I 的斜率 k=tana= 2.x= 2+1,3. (2017 全國(guó)卷川)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 li的參數(shù)萬程為，(tktx= 2+m,為參數(shù))，直線 I2的參數(shù)方程為m(m 為參數(shù)).設(shè) li與 I2的交點(diǎn)為 P,當(dāng) k 變化時(shí)，P 的軌跡為曲線 C.(1)寫出 C 的普通方程；

18、以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè) l3：Pcos + sin.2 = 0，M 為 l3與 C 的交點(diǎn)，求M的極徑.解 消去參數(shù) t，得 li的普通方程 li： y= k(x2)；i消去參數(shù) m，得 l2的普通方程 12： y= k(x+ 2).kx 2),設(shè) P(x，y)，由題設(shè)，得 i 廠卍+2)，消去 k，得 x2 y2= 4(yM0)，所以 C 的普通方程為 x2 y2= 4(yM0).C 的極坐標(biāo)方程為p(cos29-sin24(0v 02n片n)p(cosi29sin29=4，聯(lián)立廠kpcos9+sin9v2=0，得 cossin9=2(cos9+sin9.12921故 tan= 3，從而 cos9