五年級下數(shù)學思維訓練教材

1、第一講 立體圖形及展開同學們在五年級所學習的立體圖形主要是長方體和正方體，從這一講開始我們將一起研 究數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的有關(guān)長方體和正方體的問題，幫助大家提高觀察能力和空間想像能 力，以及掌握解答問題的技巧和方法。這一講我們進一步研究長方體和正方體的特征及展開 圖例題選講例 1:圖 1 所示的是一個正方體紙盒拆開后平攤在桌面 上的形狀。如果將這個展開圖恢復成原來的正方體， 圖中的點 F、點 G 分別與哪個點重合？【分析與解答】為了研究方便，我們將正方體六個面分別標上序號 1、2、3、4、5、6,如果將 I 作為底面, 那么 4 就是后面，5 為右面，6 為前面，2 則是左面，3 就是上面，（

2、如圖 2）。從圖中不難看出點 F與點 N,重合，點 G 與點 S 重合。還有一種方法就是動手制作一張展開圖，折一折，結(jié)果就一目 了然了，同學們不妨試試吧例 2: 一只小蟲從圖 I 所示的長方體上的 A 點出發(fā)， 沿長 方體的表面爬行，依次經(jīng)過前面、上面、后面、底面， 最后到達 P 點。請你為它設(shè)計一條最短的爬行路線?！痉治雠c解答】因為小蟲在長方體的表面爬行，所以我們可以將長方體的前、后、上、下西個面展開成平面圖形（如圖 2）。又因為在平面上“兩點之間的線段長度最短”，所以連接 AP,則線段 AP 為小蟲爬行的最短路線2.如圖所示的是一個棱長 3 厘米的正方體木塊，一只螞蟻從 A 點沿表面爬向

3、B 點。請畫出螞蟻爬行的最短路線。問：這樣的路線共有幾條？3.將一張長方形硬紙片，剪去多余部分后，折疊成一個棱長為I 厘米的正方體。這張長方形硬紙片的面積最小是多少平方厘米？4.一塊長方形的鐵皮，長 28 厘米，在這塊鐵皮的四角各剪下一個邊長為 4 厘米的小正方形，然后通過折疊、焊接做成一個無蓋的長方體盒子。已知這個盒子的容積是 960 立方厘米，求原來長方形鐵皮的面積。5.如圖所示的是一個正方體木塊的表面展開圖，若在正方體的各面填上數(shù)， 使其對面兩數(shù)之和為7，則 A、B、c處填的數(shù)各是多少？6.如圖所示的 10 個展開圖中，哪些可以做成完整的正方體？(1)33605

4、251o ，即石最大，127 最小2171一【分析與解答】根據(jù)題意，將題目轉(zhuǎn)化成如下移式 - 40 ，而 4o 4i ，所以 40 410練習與思考1.把下面各組中的分數(shù)按從大到小的 順序排列:3015201227、13、17、113.比較下列兩個分數(shù)的大小：6 知 8也和 18501 1自然數(shù)。我們可以采用通分子的方法，把上式轉(zhuǎn)化為343434 1 ，（）中可以填人的最大整數(shù)是多少？最小整數(shù)是多少？4.比較444443444445和555554555556的大小。5.寫出三個大于 6 而小于 5 的最簡真分數(shù)。258206在分數(shù) 5、11、17、41 中，最大的是哪一個分數(shù)？最小的是哪一個分

5、數(shù)？7.把下列分數(shù)按從小到大的順序排列:842112281489、23、13、31、158. 比較下列兩個分數(shù)的大?。? 工 104342（1萬和也（2）莎和訝9. 在下列方框中填上適當?shù)淖匀粩?shù)，使不等式成立。6109 5 -11910 要使24773型要使 31 A 409成立，那么 A 代表什么自然數(shù)?5911.如果 9 1，那么中應填的整數(shù)有那些?12.分子是 3,比二小,但與 丄 最接近的分數(shù)是哪一個?6565t一 21819 15234713.比較 654321 和 456789的大小。14 設(shè) A=29與 B=29303162 626160 比較 A 和 B 的大小。第十二講分數(shù)求

6、和的解題技巧在數(shù)學競賽中，常常遇到一些分數(shù)求和的問題。當然，這些求和的問題并不是只用一般 通分的方法就能解決的。這一講我們來研究一些特殊的分數(shù)求和的解題技巧。例題選講例 1:先觀察下列各式的特點，找出規(guī)律再解答下列各題。11+ + -8 16【分析與解答】仔細觀察這兩組算式，不難發(fā)現(xiàn)從第二個分數(shù)開始，每個分數(shù)都是前一個分數(shù)的一半，如果加上與它相同的分數(shù)就得到前面的分數(shù)了。因此我們可以借一個分數(shù)先加，1 1 1最后再減去。如第(1)小題借 16 逐次往左遞加就得到 2 個 2，最后第(1)題結(jié)果就是 2X211516 = 16 同學們想一想，第題該如何解答例 2:從計算了前五道算式的結(jié)果中找出規(guī)

7、律，填寫出第六道算式的結(jié)果。1 2 2 + - =1 = 3 321+2+3+ 4 + 5 =21 = 566 6 6 6 2 212 313+ _ + =1 =4 4 4 2 212 3 4 5 667+7+7+7+7+7 =3=212344+ _ + + =2=_5 5 5 521234567+ 一 + + + + + = ?8888888【分析與解答】上面六道算式是求分母為 3、4、5、& 7、8 的所有真分數(shù)的和。觀察計算結(jié)1果，不難發(fā)現(xiàn)分母增加 1,結(jié)果就遞增，如果每題結(jié)果都用 2 做分母，于是我就可以看出, 分母是幾的所有真分數(shù)的和都可以寫成以 2 為分母，分子是比分母少

8、1 的分數(shù)。因此第六道算(1)12 24 48式的結(jié)果為 7。練習與思考1 計算下列各題:iX3X24+2X6X48+3X9X72iX2X4+2X4X8+3X6Xi2(1) + + + - + +)2 4 8 i6 32 64(2) ii6322計算:i+ioo+1+ioo ioo991003計算:i i+25i2+4256i i+2564+5i22i i i i4(一+一+(2 23 32Q2Q2 2 2 2+ +一2o2o3 32o2o)i8i8 i8i8(T9(T9+2o2o)1919+ +2020i iiiiiiii -(4 i)-(i-i6 八-(i6 -一32)-(32-64)5.7計算:2004200