河南理工大學(xué)課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)基本任務(wù)就是通過對從總體中抽取的就是通過對從總體中抽取的 一部分個(gè)體一部分個(gè)體(稱為總體的樣本稱為總體的樣本)進(jìn)行觀察進(jìn)行觀察,根據(jù)所記錄的根據(jù)所記錄的 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)(樣本值樣本值)經(jīng)整理與加工經(jīng)整理與加工,以推斷總體的某些性質(zhì)以推斷總體的某些性質(zhì). “從總體中抽取一個(gè)個(gè)體從總體中抽取一個(gè)個(gè)體”就是對總體進(jìn)行一次觀就是對總體進(jìn)行一次觀 察察(試驗(yàn)試驗(yàn)),并記錄其數(shù)據(jù)結(jié)果并記錄其數(shù)據(jù)結(jié)果. 在相同條件下對總體在相同條件下對總體X進(jìn)行進(jìn)行n次獨(dú)立、重復(fù)的觀察次獨(dú)立、重復(fù)的觀察, 將將n次試驗(yàn)結(jié)果依次記為次試驗(yàn)結(jié)果依次記為 ,則稱之為來自則稱之為來自 總體總體X的容量為的容

2、量為n的一個(gè)的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本;n次試驗(yàn)完成后次試驗(yàn)完成后 所得樣本的一組觀察值所得樣本的一組觀察值 稱為稱為樣本值樣本值.nXXX,21nxxx,21 顯然顯然,若若X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x),則則 的聯(lián)合的聯(lián)合 分布函數(shù)為分布函數(shù)為nXXX,21).(),(121*niinxFxxxF獨(dú)立nxxx,21 特別的特別的,若若X的概率密度為的概率密度為f(x),則則 的聯(lián)合的聯(lián)合 概率密度為概率密度為nXXX,21).(),(121*niinxfxxxf 若若X的概率分布為的概率分布為p(x),則則 的聯(lián)合概率分的聯(lián)合概率分 布為布為nXXX,21).(),(121*nii

3、nxpxxxp總總 體體 X樣本X1,X2,Xn樣本值x1,x2,xn隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣 獲得樣本獲得樣本完成試驗(yàn)完成試驗(yàn) 獲得數(shù)據(jù)獲得數(shù)據(jù)整理加工整理加工 統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì) 工作工作),(21nXXXg),(21nxxxgniiXnX11樣本均值樣本均值(修正修正)樣本方差樣本方差212)(11XXnSnii(修正修正)樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差212)(11XXnSSnii樣本樣本k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩),2, 1(11kXnAnikik樣本樣本k階中心矩階中心矩),2, 1()(11kXXnBnikik(修正修正)樣本方差還可表示為樣本方差還可表示為112122XnXnSnii212)(11

4、XXnSnii21112112nininiiiXXXXn2112122XnXnXnnii11212XnXnnii【推導(dǎo)【推導(dǎo)】)2(11212XXXXnniii樣本方差樣本方差212*)(1XXnSnii21Snn 樣本均值是樣本一階原點(diǎn)矩；樣本方差是樣本二階樣本均值是樣本一階原點(diǎn)矩；樣本方差是樣本二階 中心矩。中心矩。 上述各統(tǒng)計(jì)量的觀察值為上述各統(tǒng)計(jì)量的觀察值為niixnx11212)(11xxnsnii),2, 1(11kxnanikik),2, 1()(11kxxnbnikik 重要結(jié)論：重要結(jié)論：樣本矩樣本矩(的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù))依概率收斂依概率收斂 于總體矩于總體矩(的連續(xù)函數(shù)的

5、連續(xù)函數(shù))矩估計(jì)的理論基礎(chǔ)矩估計(jì)的理論基礎(chǔ)。),2, 1()(kXEkk 總體總體k階階(原點(diǎn)原點(diǎn))矩矩 總體的總體的期望期望就是其一階矩就是其一階矩:1)(XE 總體的總體的方差方差:22221)()()(XEXEXD定義定義)0()(10 xdttexxt性質(zhì)性質(zhì));0()() 1(xxxx; 1) 1 ()2(; !) 1(nn);1(212102 xxdttext.2212102dtet重要積分重要積分222212nXXX).(22n -分布的分布的概率密度概率密度為為)(2n., 0, 0,)2/(21)(2122/其它xexnxfxnnxO)(xf1n5n15n -分布的分布的性質(zhì)

6、性質(zhì)與與數(shù)字特征數(shù)字特征)(2n -分布的分布的可加性可加性:)(2n)(,),(),(2122212nnYXYXnYnX獨(dú)立且 -分布的分布的期望期望與與方差方差為為:)(2n.2)(,)(22nDnE 上上分位點(diǎn)分位點(diǎn)(雙側(cè)雙側(cè)/2分位點(diǎn)分位點(diǎn))(2n)(2n).10()(22nP查查附表附表5P.299:.156. 2)10(,304. 6)12(2995. 029 . 0)(),(22/22/1nn雙側(cè)分位點(diǎn)雙側(cè)分位點(diǎn)查查附表附表5:,262. 6)15()15(,025. 02,05. 02975. 022/1488.27)15()15(2025. 022/),(),1 , 0(2n

7、YNXnYXt/ ).(ntt122(1)/2( )1()( /2)nnxf xxnnn xO)(xf1n10nn 上上分位點(diǎn)分位點(diǎn)(雙側(cè)雙側(cè)/2分位點(diǎn)分位點(diǎn))(nt)(nt).10()(nttP查查附表附表4P.298:.6041. 4)4(,3060. 2)8(005. 0025. 0ttxO)(xf)(2/nt2/)(2/1nt2/雙側(cè)雙側(cè)/2分位點(diǎn)分位點(diǎn):)(),(2/2/1ntnt顯然顯然,)()(2/2/1ntnt),(),(2212nYnX21/nYnXF ).,(21nnFF., 0, 0,)/(1)2/()2/()/(2/ )()(2212112221212111其它xnxn

8、nnxnnnnxfnnnnxO)(xf25,1021nn5,1021nn),(1),(1221nnFFnnFFxO)(xf),(21nnF),(21nnF),(21nnF).10(),(21nnFFP查查附表附表6P.301:F分布上分布上分位點(diǎn)分位點(diǎn)有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)：),(1),(12211nnFnnF357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(05. 095. 0FF:分位點(diǎn)具有如下性質(zhì)分位點(diǎn)具有如下性質(zhì)分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 證明證明),(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(

9、111211 nnFFP ),(21nnFF因?yàn)橐驗(yàn)?),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因?yàn)橐驗(yàn)?),(1 12 nnFFP所以所以, ),(),(11221-1nnFnnF 比較后得比較后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 28. 01 .357. 0 . 分位點(diǎn)分位點(diǎn)的一些上的一些上用來求分布表中未列出用來求分布表中未列出 ,)(,)(2XDXEnXXX,21.)(,)(2nXDXE).,(2nNX ),(2NXnXXX,21);1() 1(222nSn).,(2nNX2,SX);1(/ntnS

10、X),1(221nXXnii).(221nXnii即即2卡方分布定義卡方分布定義).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 則有則有方差方差分別是樣本均值和樣本分別是樣本均值和樣本樣本樣本的的是總體是總體設(shè)設(shè)證明證明),1 , 0(/NnX 因?yàn)橐驗(yàn)?,1()1(222 nSn 且兩者獨(dú)立且兩者獨(dú)立, 由由 t 分布的定義知分布的定義知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt定理定理22,YXSSYX) 2(11)()(212121nntnnSYXw.2) 1() 1(2122212nnSnSnSYXw 上面介紹的上面介紹的3個(gè)重要分布個(gè)重要分布與與4個(gè)重要公式個(gè)重要公式在數(shù)

11、理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的統(tǒng)計(jì)的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)與與假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)中有著重要應(yīng)用，必須中有著重要應(yīng)用，必須牢記牢記! （1）樣本均值與總體均值之差的絕對值大于）樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概的概 率；率； （2）;15)(max51iiXP （3）.10)(min51iiXP 解正態(tài)總體樣本均值的分布解正態(tài)總體樣本均值的分布 (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 ),5 , 4 , 3 , 2 , 1)(4 ,12(kNXk) 8 . 0 ,12( NX112XP 于是于是, 1121XP13111XP8 . 012118 . 0121318686. 01 2 .2628. 0 (2). 15)(max

12、51kkXP51212151k (3). 10)(min51kkXP51151kkXP15)(max151kkXP55 . 1159332. 01.292260149. 010)(min151kkXP51101kkXP51101 1kkXP5212101 1511 1 51158413. 01.578542862. 0)(),1 , 0(2nZNY.nZYX )(),1 (222nZY), 1 (22nFnZYX 再由再由F-分布定義得分布定義得: )(ntX), 1 (2nFX解因?yàn)榻庖驗(yàn)閄iP(),所以所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n),niiXnEXE11)(niiXEn1)

13、(1nin112,SX).(),(),(2SEXDXEniiXnDXD11)()(112niiXDnnnni121niiXXnESE122)(11)(niiXnXEn12211ninnn122)()(11)()(1122nnnn例例3-13-1niiXXnESE122)(11)(niiXnXEn12211niiXnEXEn122)()(11niiiXEXDnXEXDn122)()()()(11解卡方分布及其數(shù)字特征解卡方分布及其數(shù)字特征 。)15(15222S) 1(2) 1(22nSnD于是于是,由卡方分布數(shù)字特征知：由卡方分布數(shù)字特征知：由定理由定理1知知: 【例【例4 4】 設(shè)在總體設(shè)在總體 中抽取一容量為中抽取一容量為1