2016年全國高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學設(shè)計(人教A版必修4)

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學設(shè)計三門峽市第一高級中學張偉強一、內(nèi)容和內(nèi)容分析1 .內(nèi)容平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2 .內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數(shù)量積的概念、幾何意 義、性質(zhì)和運算律；第二課時主要研究數(shù)量積的坐標運算，本節(jié)課是第一課時。本節(jié)課首先通過一段“大力士”拉汽車的精彩視頻抽象出物理中“功”的事 例，之后拋開物理背景，將 F，s這兩個物理中的矢量，推廣到數(shù)學中一般的非零 向量，從而得到數(shù)學中平面向量數(shù)量積的概念， 體現(xiàn)了有特殊到一般的數(shù)學思想， 同時培養(yǎng)學生的抽象概括能力；然后從“形”的角度引入“投影”探究數(shù)量積的 幾何意義，使學生加深對數(shù)量積概

2、念的理解，同時體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想；“數(shù) 量積”和“投影”均為數(shù)量，對其正、負、零的討論過程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù) 學思想；然后又通過類比實數(shù)乘法的運算律研究了數(shù)量積的運算律，體現(xiàn)“類比” 的數(shù)學思想。本節(jié)課是在學生系統(tǒng)的學習了向量的概念和向量的加法、減法、數(shù)乘等線性 運算的基礎(chǔ)上，探索向量的又一種新的運算，它既是前面所學知識和方法的延續(xù)， 又是后繼學習解三角形、解析幾何以及空間向量等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容起 到了承上啟下的作用。平面向量數(shù)量積是一個很重要的數(shù)學概念，它是從物理中 功的概念抽象而來的，是溝通代數(shù)、幾何、三角的橋梁，是數(shù)形結(jié)合方法的典范。 這些都使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核

3、心概念，自然也是本節(jié)課教學的重點。二、目標與目標解析1 .目標(1)了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；(2)體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系， 掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律， 并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的運算和判斷；(3)體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能2目標分析普通高中數(shù)學課程標準對本節(jié)課的要求有以下三條：（1）通過物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（3）能用運數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。從以上的背景分析可以看出，數(shù)量積的概念既是本

4、節(jié)課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應(yīng)用過程中，物理中“功”的實例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質(zhì)和運算律，不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關(guān)計算和判斷的理論依據(jù)。最后，無論是數(shù)量積的性質(zhì)還是運算律，都希望學生在類比的基礎(chǔ)上，通過主動探究來發(fā)現(xiàn)，因而對培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體。三、教學問題診斷分析學生在這之前的物理課已經(jīng)認識了矢量和功，數(shù)學課系統(tǒng)地學習了向量定義、向量的線性運算，具備了一定能力去進行深入的研究。功的計算為平面向量數(shù)量積引入提供很好的背景，但對兩個有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算

5、后，形卻消失了成為一個數(shù)，學生對這一點是較難接受的。由于受實數(shù)乘法運算的影響，也會造成學生對數(shù)量積、性質(zhì)和運算律的理解上的偏差。從學生認知水平來看，學生的探究能力和用數(shù)學語言交流的能力還有待提高，本節(jié)課還要初步體會研究向量運算的一般方法；即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實數(shù)運算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運算律及運用，這種知識的整合提升對學生來說恰又是比較困難的。因而本節(jié)課教學的難點是：平面向量的數(shù)量積的定義及運算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。四、教學支持條件分析根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的要求，為了直觀、形象地突出重點，突破難點，利用視頻、動態(tài)演示，展示平面向量數(shù)量積的

6、物理背景，探究性質(zhì)、幾何意義以及運算律。五、教學過程分析（一）知識鏈接1.已經(jīng)學習了哪幾種向量運算?向量運算數(shù)學符號運算結(jié)果2.兩個非零向量與的夾角如何定義？其取值范圍是多少？【設(shè)計意圖】 通過知識鏈接的問題讓學生復習回顧向量運算，兩個非零向量 與的夾角，為平面向量數(shù)量積的學習奠定基礎(chǔ)。（二）創(chuàng)設(shè)情境多媒體播放中國大力士公開賽，中國選手的參賽視頻，之后動態(tài)演示他的比 賽過程，從中抽象出數(shù)量積的物理背景。問題1、大力士拉車，沿著繩子方向上的力為，車移動的位移是，力和位移的夾角為，大力士所做的功為多少？學生根據(jù)所學物理知識容易得到：w = |F|S|cose問題2、決定功大小的量有哪幾個？問題3、

7、力、位移及其夾角分別是矢量還是標量？功是向量還是數(shù)量？教師：明確物理中的矢量就是數(shù)學中的向量，物理中的標量就是數(shù)學中的數(shù) 量?！驹O(shè)計意圖】 從學生已有的認知水平出發(fā)，通過熟悉的生活實例，創(chuàng)設(shè)數(shù)量 積的物理背景，激發(fā)學生的學習熱情，同時，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。（三）探究定義師：物理中的F和S是兩個向量，用兩個一般的非零向量和來替換 F和S, 其夾角不變，則亞=| F |S |cosB =|a | b | cose。在數(shù)學中稱| a |b | cos日為非零向 量和的數(shù)量積，記作：a b = | a | b | cos日，從而得到平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量和，我們把| a |b

8、 | cos日叫做和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a七, 即5 b =苗|b| cose ,其中夾角是與的夾角。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0.學生活動：齊聲讀定義，并體會定義的要點定義要點：(1)與是非零向量;(2)是數(shù)量積的運算符號，不能省略也不能用“”代替；(3)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量。問題4：由數(shù)量積的定義a，b=iaiib|cos9可知，決定數(shù)量積大小的量有哪 些？問題5:數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，數(shù)量積的正、負、零有誰決定？日=0_ ji0 8 一2e =- 2JT一 8 0O日為直角| b | cos 0 =。| A | COS fl 0,則與的夾角為銳角；()(4)若 a ,c = b

9、c(c #0 ),則 a = b。()2、在等腰 AABC 中，AB = AC, BC = 4 , WJ BA，前=。3、已知|a|=6,向=4,與的夾角8=60 求|a-b|?！驹O(shè)計意圖】 通過鞏固練習，使學生對數(shù)量積的定義、性質(zhì)、幾何意義以及 運算律的理解更加深刻，形成系統(tǒng)的知識體系；同時培養(yǎng)了運用知識解決問題的 能力。(九)課堂小結(jié)今天你學到了什么？學生自主完成歸納小結(jié)，教師加以補充完善，同時形成本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)圖， 并完成思想方法的小結(jié)歸納。1 .平面向量數(shù)量積的定義： a b = |a |b |cos8 (a # 0,b# 0)2 .平面向量數(shù)量積的性質(zhì)： b-(1)垂直 a，bu a b=0；(2)長度 |2|=/兀=/7；(3)夾角85日=-a2,|a|b|3 .平面向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于的長度值|與在方向上的投影| b | cos 6的乘積。4 .平面向量數(shù)量積的運算律(類比)：(1)交換律：a b = b .a； (2)結(jié)合律: (九a) b = a Qb)=九Q b); (3)分配律：(a +b) c = a c+ b c?！驹O(shè)計意圖】 通過學生對本節(jié)所學知識、思想方法進行提煉、反思，加深對 知識、方法的理解，形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，并培養(yǎng)學生良好的學習