高一數(shù)學(xué)必修1-函數(shù)的概念及基本性質(zhì)

1、§1·函數(shù)的概念（一）函數(shù)的有關(guān)概念設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的函數(shù)，記作， xA其中叫自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合（B）叫做函數(shù)y=f(x)的值域.函數(shù)符號(hào)表示“y是x的函數(shù)”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù). (1)函數(shù)實(shí)際上就是集合A到集合B的一個(gè)特殊對(duì)應(yīng) 這里 A, B 為非空的數(shù)集.（2）A：定義域，原象的集合；：值域，象的集合,其中 Í B ；：對(duì)應(yīng)法則 ， ÎA ， ÎB（3）函數(shù)符號(hào)：

2、 是 的函數(shù)，簡(jiǎn)記 （二）已學(xué)函數(shù)的定義域和值域1一次函數(shù):定義域R, 值域R;2反比例函:定義域, 值域;3二次函數(shù):定義域R值域：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)的值：關(guān)于函數(shù)值 例：=+3x+1 則 f(2)=+3×2+1=11注意：1°在中表示對(duì)應(yīng)法則，不同的函數(shù)其含義不一樣 2°不一定是解析式，有時(shí)可能是“列表”“圖象” 3°與是不同的，前者為變數(shù)，后者為常數(shù)（四）函數(shù)的三要素： 對(duì)應(yīng)法則、定義域A、值域 只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)（五）區(qū)間的概念和記號(hào)：在研究函數(shù)時(shí),常常用到區(qū)間的概念，它是數(shù)學(xué)中常用的述語(yǔ)和符號(hào).設(shè)a,bR

3、,且a<b.我們規(guī)定：滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b；滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為（a,b）；滿足不等式ax<b 或a<xb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別表示為a，b) ,(a，b.這里的實(shí)數(shù)a和b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).這樣實(shí)數(shù)集R也可用區(qū)間表示為(-,+),“”讀作“無(wú)窮大”，“-”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“+”讀作“正無(wú)窮大”.還可把滿足xa，x>a，xb，x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為a，+，（a，+）,(- ,b,(- ,b).【例題解析】例1 判斷下列各式，哪個(gè)能確定y是x的函數(shù)？為什么？(1)x

4、2y1 (2)xy21 (3) (4)y=例2 求下列函數(shù)的定義域：（1） (2)例3 已知函數(shù)=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).例4 已知 ，求，討論：函數(shù)y=x、y=()、y=、y=、y=有何關(guān)系？例5 下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？ 練習(xí)：下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？ = ； = 1. = x； = . = x 2； = . = | x | ；= .例6 已知函數(shù)=4x+3，g(x)=x,求ff(x)，fg(x)，gf(x)，gg(x).復(fù)合函數(shù)：設(shè) f(x)=2x-3，g(x)=x2+2，則稱 fg(x) =2(x2+2)-3=2x2+1（或gf

5、(x) =(2x-3)2+2=4x2-12x+11）為復(fù)合函數(shù)例7求下列函數(shù)的值域（用區(qū)間表示）：（1）yx3x4； （2）；（3）y； （4）.例8 動(dòng)手試試1. 若，求.2. 一次函數(shù)滿足，求.練習(xí) 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a0）滿足條件f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式.函數(shù)的概念習(xí)題：1如下圖可作為函數(shù)的圖像的是( )（A） （B） （C） （D） 2.對(duì)于函數(shù)，以下說(shuō)法正確的有 （ ）是的函數(shù)；對(duì)于不同的的值也不同；表示當(dāng)時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量；一定可以用一個(gè)具體的式子表示出來(lái)。A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3在下

6、列四組函數(shù)中，f（x）與g（x）表示同一函數(shù)的是（）Af（x）x1，g（x）Bf（x）x1，g（x）Cf（x）x1，xR，g（x）x1，xZDf（x）x，g（x）4擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)由f（m）1.06×（0.5·m1）（元）決定，其中m0，m是大于或等于m的最小整數(shù)，則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5分鐘的電話費(fèi)為（）A3.71元B3.97元C4.24元D4.77元5.設(shè)，若，則 。6. 求下列函數(shù)的定義域，要求把結(jié)果寫(xiě)成區(qū)間形式（1）；（2）；（3）7設(shè)的定義域是-3，求函數(shù)的定義域8已知f(x)是一次函數(shù), 且ff(x)=4x-1, 求f(x)的解析式9已知

7、函數(shù)f（x）（1）求f（x）+的值（2）f（1）f（2）f（）f（3）f（）f（4）f（） §2·函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)要點(diǎn)】1增函數(shù)與減函數(shù)1x2x)(1xf)(2xf)(xf圖3yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf圖1 yx對(duì)于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，若當(dāng)時(shí)，都有,則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（如圖1）；若當(dāng)時(shí)，都有,則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（如圖2）.1x2x)(1xf)(2xf)(xfyx圖2 說(shuō)明：函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)（圖1），當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)在時(shí)

8、是減函數(shù).2單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.【例題解析】例1.利用圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性1.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在該區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性xy0-55xy-55-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 2.作出下列函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）+2|x+1|； （2）例2.單調(diào)函數(shù)的定義1.根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。2.利用定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性.3.求證的(0,1)上是減函數(shù)，在是增函數(shù)

9、.4討論二次函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義對(duì)其中一種加以證明例3.二次函數(shù)1.已知二次函數(shù)yf(x)(xR)的圖像是一條開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為x3的拋物線，試比較大小：(1)f(6)與f(4) (2)f(2)與f()2.討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.3.二次函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍例4.分式函數(shù)已知，指出的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的單調(diào)性練習(xí)1在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）ABC D2函數(shù)f（x）x22（a1）x2在（，4）上是增函數(shù)，則a的范圍是（）Aa5 Ba3 Ca3 Da53函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的遞增區(qū)間是（ ）AB CD4函數(shù)在和都是增函數(shù)，若，且

10、那么（ ）A B C D無(wú)法確定 5函數(shù)在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，則（ ）A B CD 6已知在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，若，則下列正確的是（ ）AB CD7畫(huà)出函數(shù)的圖像，并寫(xiě)出其單調(diào)減區(qū)間.8.利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)在（,-2）上的單調(diào)性.§3·單調(diào)性與最大（?。┲堤骄咳蝿?wù)：函數(shù)最大（小）值的概念思考：先完成下表，函數(shù)最高點(diǎn)最低點(diǎn),【知識(shí)要點(diǎn)】：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M. 那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（Maximum Value）.試試：仿照最大值定義，給出最小值（Minim

11、um Value）的定義 典型例題例1一枚炮彈發(fā)射，炮彈距地面高度h（米）與時(shí)間t（秒）的變化規(guī)律是，那么什么時(shí)刻距離地面的高度達(dá)到最大？最大是多少？變式：經(jīng)過(guò)多少秒后炮彈落地？試試：一段竹籬笆長(zhǎng)20米，圍成一面靠墻的矩形菜地，如何設(shè)計(jì)使菜地面積最大？例2求在區(qū)間3，6上的最大值和最小值.變式：求的最大值和最小值.試試：1函數(shù)的最小值為 ，最大值為 . 如果是呢？2.已知函數(shù)在區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是A、 1，+） B、0，2 C、（-，2 D、1，2 動(dòng)手試試練1. 用多種方法求函數(shù)最小值.變式：求的值域.練2. 一個(gè)星級(jí)旅館有150個(gè)標(biāo)準(zhǔn)房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)，經(jīng)

12、理得到一些定價(jià)和住房率的數(shù)據(jù)如右：房?jī)r(jià)（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的營(yíng)業(yè)額最高，應(yīng)如何定價(jià)？ 知識(shí)拓展求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，需根據(jù)對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行研究. 例如求在區(qū)間上的值域，則先求得對(duì)稱軸，再分、等四種情況,由圖象觀察得解.當(dāng)堂檢測(cè)1. 函數(shù)的最大值是（ ）. A. 1 B. 0 C. 1 D. 22. 函數(shù)的最小值是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 33. 函數(shù)的最小值是（ ）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 4. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，有最小值3，則在區(qū)間上，當(dāng) 時(shí)，有最 值

13、為 .5. 函數(shù)的最大值為 ，最小值為 .單調(diào)性與最大（小）值課后作業(yè)1. 作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，研究當(dāng)自變量x在下列范圍內(nèi)取值時(shí)的最大值與最小值 （1）； （2） ；（3）.2. 如圖，把截面半徑為10 cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形一邊長(zhǎng)為，面積為，試將表示成的函數(shù)，并畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，并判斷怎樣鋸才能使得截面面積最大？ 3求下列函數(shù)的值域（1） （2） （3）（4）4若函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）A B C D數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)哲學(xué)函數(shù)的故事之一對(duì)閉眼打轉(zhuǎn)問(wèn)題的探討公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝爾對(duì)閉眼打轉(zhuǎn)的問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究。他收集了大量事例后分析說(shuō)：這一切都是由于人

14、自身兩條腿在作怪！長(zhǎng)年累月養(yǎng)成的習(xí)慣，使每個(gè)人一只腳伸出的步子，要比另一只腳伸出的步子長(zhǎng)一段微不足道的距離。而正是這一段很小的步差X，導(dǎo)致了這個(gè)人走出一個(gè)半徑為y的大圈子！現(xiàn)在我們來(lái)研究一下x與y之間的函數(shù)關(guān)系：假定某個(gè)兩腳踏線間相隔為d。很明顯，當(dāng)人在打圈子時(shí)，兩只腳實(shí)際上走出了兩個(gè)半徑相差為d的同心圓。設(shè)該人平均步長(zhǎng)為1。那么，一方面這個(gè)人外腳比內(nèi)腳多走路程另一方面，這段路程又等于這個(gè)人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，即：化簡(jiǎn)得對(duì)一般的人，d0.1米，10.7米，代入得（單位米）這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式。今設(shè)迷路人兩腳差為0.1毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內(nèi)繞圈子

15、！上述公式中變量x，y之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上稱為反比例函數(shù)關(guān)系。所彎曲的曲線，數(shù)學(xué)上稱為等邊雙曲線，在工業(yè)、國(guó)防、科技等領(lǐng)域都很有用場(chǎng)。下面我們看一個(gè)有趣的游戲：在世界著名的水都威厄斯，有個(gè)馬爾克廣場(chǎng)。廣場(chǎng)的一端有一座寬82米的雄偉教堂。教堂的前面是一片開(kāi)闊地。這片開(kāi)闊地經(jīng)常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場(chǎng)的一端向另一端教堂走去，看誰(shuí)能到達(dá)教堂的正前面！奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒(méi)有一名游客能幸運(yùn)地做到這一點(diǎn)！全都走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！為什么是這樣呢？我們就先來(lái)計(jì)算一下，當(dāng)人們閉起眼睛，從廣場(chǎng)一端中央的M點(diǎn)抵達(dá)教堂CD的最小的弧半徑是多少。

16、如下圖，注意到矩形ABCD邊BC=175（米），AMMB= 41（米）。那么上述問(wèn)題，無(wú)疑相當(dāng)于幾何中BC2=R2-（R-MB）2=MB（2R-MB）1752=41×（2R-41）R=394這就是說(shuō)，游人要想成功，他所走的弧線半徑必須不小于 394米。那么就讓我們?cè)儆?jì)算一下，要達(dá)到上述要求，游人的兩腳的步差需要什么限制。根據(jù)公式：這表明游人的兩只腳的步差必須小于0.35毫米，否則是不可能成功的！然而，在閉上眼睛的前提下，使兩腳的步差這么小一般人是辦不到的，這便是在游戲中為什么沒(méi)有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。§4·函數(shù)的奇偶性【知識(shí)要點(diǎn)】一.函數(shù)的奇

17、偶性定義偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有，那么f(x)就叫做偶函數(shù)奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有，那么f(x)就叫做奇函數(shù) 注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）所以判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先要看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如函數(shù)，則此函數(shù)即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).二具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【例題解析】例1 判別下列

18、函數(shù)的奇偶性：（1）； （2）； （3）f(x)x, x-2,3. (4).小結(jié)：判別方法，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算，并與進(jìn)行比較.試試：判別下列函數(shù)的奇偶性： （1）f(x)x； （2）f(x)|x1|+|x1|； (3)例2.已知函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),求證:.例3.（1）已知是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的解析式為 . （2）已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的解析式為 .例4. 若，且，求.例5已知f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+)上是減函數(shù)，判斷f(x)的(-,0)上的單調(diào)性，并給出證明.變式：已知f(x)是偶函數(shù)，且在a,b上是減函數(shù)，試判斷f(x)在-b,-a上的單調(diào)性，并給出證明

19、. 知識(shí)拓展由圖象對(duì)稱性可以得到，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反. 知識(shí)拓展：奇函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)證明：奇函數(shù)在處有定義，則，即圖象一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn).【隨堂檢測(cè)】1. 對(duì)于定義域是R的任意奇函數(shù)有（ ）.A BCD2. 已知是定義上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù). 下列關(guān)系式中正確的是（ ）A. B.C. D.3. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）. A. 是奇函數(shù) B. 是偶函數(shù) C. 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)4下列說(shuō)法偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0

20、(xR)其中正確的數(shù)是 5. 函數(shù)的奇偶性是 .6. 已知f(x)是奇函數(shù)，且在3,7是增函數(shù)且最大值為4，那么f(x)在-7,-3上是 函數(shù)，且最 值為 .函數(shù)的奇偶性課后練習(xí)1函數(shù)的奇偶性是 （ ）A奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)2.已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)，且最小值是5，那么f(x)在區(qū)間-7,-3上是( )A.增函數(shù)且最小值是-5 B. 增函數(shù)且最大值是-5 C.減函數(shù)且最小值是-5 D. 減函數(shù)且最大值是-5 3.若函數(shù)為奇函數(shù)，則必有A B .C. D. 4已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0，f（x）=x（1-x），則當(dāng)x0時(shí)，f（x）等于（ ）A

21、x（x+1） B. x（x-1）Cx（1-x） D . -x（1+x）5.已知是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋瑒t_，_6.判斷下列函數(shù)的奇偶性： ； ； （） 7.已知函數(shù)對(duì)一切，都有，（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示9.若函數(shù)在上是奇函數(shù),試確定的解析式.§5·函數(shù)的基本性質(zhì)習(xí)題課問(wèn)題1：如何從圖象特征上得到奇函數(shù)、偶函數(shù)、增函數(shù)、減函數(shù)？問(wèn)題2：如何從解析式得到奇函數(shù)、偶函數(shù)、增函數(shù)、減函數(shù)的定義？【例1】已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）討論的單調(diào)性，并證明.【例2】利用函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖像. 知識(shí)拓展對(duì)勾函數(shù)：形如這樣的函數(shù)，稱作對(duì)勾函數(shù)，由圖像得名。性

22、質(zhì)：（1）奇函數(shù)（2）增區(qū)間：和，；（3）減區(qū)間：和 變化趨勢(shì)：在y軸左邊，增減，在y軸右邊，減增，是兩個(gè)勾。【例3】 作出函數(shù)yx2|x|3的圖象，指出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.小結(jié)：利用偶函數(shù)性質(zhì)，先作y軸右邊，再對(duì)稱作.變式：y|x2x3| 的圖象如何作？反思：如何由的圖象，得到、的圖象？ 知識(shí)拓展形如與的含絕對(duì)值的函數(shù)，可以化分段函數(shù)分段作圖，還可由對(duì)稱變換得到圖象. 的圖象可由偶函數(shù)的對(duì)稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對(duì)折到左側(cè). 的圖象，先作的圖象，再將x軸下方的圖象沿x軸對(duì)折到x軸上方.【例4】1.已知是定義上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù). 下列關(guān)系式中正確的是 A. B. C. D.2.已知是定義上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù). 下列關(guān)系式中正確的是 A. B. C. D.3若是偶函數(shù)，其定義域?yàn)椋以谏鲜菧p函數(shù)，則的大小關(guān)系是（ ）A> B< C D4.設(shè)函數(shù)是定