必修五課件：1.1.1《正弦定理》

1、教學重點教學重點 通過對于三角形的邊角關系的通過對于三角形的邊角關系的探究，證明正弦定理并用它解決有關問題。探究，證明正弦定理并用它解決有關問題。教學難點教學難點 在某一些條件下怎樣選擇解在某一些條件下怎樣選擇解三角形的途徑，特別是在已知兩邊及其三角形的途徑，特別是在已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，解的個數(shù)的中一邊的對角解三角形時，解的個數(shù)的確定和求解確定和求解A AB BC C 設點設點B B在河的岸邊，點在河的岸邊，點A A在對岸那邊，為了測量在對岸那邊，為了測量A A、B B兩點間的距離，你有何好辦法呢？（給定你米尺和量器）兩點間的距離，你有何好辦法呢？（給定你米尺和量器）引入：引入

2、：A AB BC C設問設問 若將點若將點C C移到如下圖所示的位置，你還能求移到如下圖所示的位置，你還能求出出A A、B B兩點間的距離嗎？兩點間的距離嗎？正弦定理是什么？有哪些證明方法？正弦定理是什么？有哪些證明方法？探究活動一：探究活動一：討論一：討論一： 直角三角形中邊角關系有直角三角形中邊角關系有哪些？你能總結出一個式子哪些？你能總結出一個式子嗎？這個式子對所有三角形嗎？這個式子對所有三角形都適用嗎？都適用嗎？在RtABC中,各角與其對邊的關系:caA sincbB sin1sinC不難得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc數(shù)學建構數(shù)學建構在非直角三角形在非直角三角形A

3、BC中有這樣的關系嗎中有這樣的關系嗎?AcbaCB正弦定理在一個三角形中在一個三角形中,各邊和它所對角的各邊和它所對角的正弦的比相等正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即討論二：討論二：正弦定理有哪些推導方法？正弦定理有哪些推導方法？(1) 若直角三角形若直角三角形,已證得結論成立已證得結論成立.bADcADCBsin,sin所以所以AD=csinB=bsinC, 即即,sinsinCcBb同理可得同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB圖1過點過點A作作ADBC于于D,此時有此時有證法1(2)若三角形是銳角三角形若三角形是銳角三角形, 如圖如圖1,

4、由由(1)(2)(3)知，結論成立知，結論成立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿仿(2)可得可得D(3) 若三角形是鈍角三角形若三角形是鈍角三角形,且角且角C是鈍角如圖是鈍角如圖2 此時也有此時也有cADB sin交交BC延長線于延長線于D,過點過點A作作ADBC，CAcbB圖2AcbCBDa利用向量的數(shù)量積，產生邊的長利用向量的數(shù)量積，產生邊的長與內角的三角函數(shù)的關系來證明與內角的三角函數(shù)的關系來證明.討論三：討論三： 以上證明方法體現(xiàn)了一種以上證明方法體現(xiàn)了一種什么樣的數(shù)學思維規(guī)律？什么樣的數(shù)學思維規(guī)律？ 答答 體現(xiàn)了由特殊到一般的體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學思維規(guī)

5、律。數(shù)學思維規(guī)律。1.利用正弦定理可以解決哪一些解利用正弦定理可以解決哪一些解斜三角形的問題？斜三角形的問題？探究活動二：探究活動二：sinsinsinabcABC2.在在“已知兩邊及其中一邊對角已知兩邊及其中一邊對角”解三解三角形問題中解的情況有幾種？角形問題中解的情況有幾種？討論四：討論四： 什么叫解三角形？利用正什么叫解三角形？利用正弦定理可以解決哪兩類三角弦定理可以解決哪兩類三角形的問題？形的問題？提醒提醒：三角形是由：三角形是由3條邊和條邊和3個角組成的，那么我們在運用個角組成的，那么我們在運用“正弦定理正弦定理”解三角形時，只需知道其中幾個量，就可解三角形時，只需知道其中幾個量，就

6、可求出余下的幾個量？有沒有前提條件？求出余下的幾個量？有沒有前提條件？結論結論 正弦定理的運用條件正弦定理的運用條件：1.已知三角形的兩角及任一邊；已知三角形的兩角及任一邊；2.已知三角形的兩邊已知三角形的兩邊及其一邊所對的角及其一邊所對的角。已知三角形的的某些邊和角，求其他邊和角的過程叫做已知三角形的的某些邊和角，求其他邊和角的過程叫做解三角形解三角形。數(shù)學建構數(shù)學建構正弦定理有哪些方面的應用？正弦定理有哪些方面的應用？探究活動三：探究活動三：例例1.,sinsinsinabcABC又15.3215.32sin30sin3010sin5010sin50sinAsinAasinBasinBb

7、b0 00 0c(精確到0.01)c(精確到0.01)求b,求b,10,10,a a, ,100100C C, ,3030A A在在 ABC中,ABC中,19.7019.70sin30sin3010sin10010sin100sinAsinAasinCasinCc c0 00 02和19.702和19.70c的長分別為15.3c的長分別為15.3因此b,因此b,ABCbc1010030數(shù)學應用：數(shù)學應用：3010050AB 解：，C練習練習1 ： 在在 中，已知中，已知 ，求求b（保留兩個有效數(shù)字）（保留兩個有效數(shù)字）. . ABC 30,45,10CAc解：解： 且且CcBbsinsin 1

8、05)(180CAB1930sin105sin10sinsin CBcbCBAabc已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角例例 2 在在ABC中，中，已知已知 a=16， b= ， A=30 解這個三角形。解這個三角形。解：由正弦定理解：由正弦定理sinBsinBb bsinAsinAa a得得2 23 31616sin30sin303 31616a absinAbsinAsinBsinB所以所以6060, ,或或120120當當 時6060C=9032.32.c c C=30. .1616sinAsinAasinCasinCc c3 31616當當120120時

9、時B16300ABC16316變式變式:在在ABC中，中， 已知已知a=30, b=26, A=30求求角角B，C和邊和邊c300ABC2630解：由正弦定理解：由正弦定理sinBsinBb bsinAsinAa a得得30301313303026sin3026sin30a absinAbsinAsinBsinB所以所以25.725.70 0, ,C=180C=1800 0-A-B=124.3-A-B=124.30 0,49.5749.57sinAsinAasinCasinCc ca b A B ,三角形中大邊對大角練習練習2：在：在ABC中，已知中，已知 20,a b=28 , A=40 ,

10、 求求B (精確到精確到1 )和和c（保留兩個有效數(shù)字）（保留兩個有效數(shù)字）8999.02040sin28sinsin0aAbB解：.116,640201BB.76)4064(180)(180,64000010101ABCB時當.3040sin76sin20sinsin0011ACac.24)40116(180)(180,116000020202ABCB時當.1340sin24sin20sinsin0022ACacACB1abB2D已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角討論五：討論五： 為什么在為什么在 “已知兩邊及已知兩邊

11、及其中一邊對角其中一邊對角”解三角形問解三角形問題中有一解、兩解和無解三題中有一解、兩解和無解三種情況？種情況？ACababsinA 無解無解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b兩解兩解BB1B2BACbaab一解一解a若若A為銳角時，各種情況如下為銳角時，各種情況如下已知已知a，b和和A，用正弦定理求用正弦定理求B時解的情況時解的情況數(shù)學建構數(shù)學建構討論六：討論六： 已知兩邊及夾角，怎樣求已知兩邊及夾角，怎樣求三角形面積？三角形面積？證明：證明：acsinBacsinB2 21 1bcsinAbcsinA2 21 1absinCabsinC2 21 1S SABCABCB

12、ACDabca aABCABCahah2 21 1S S而而bsinCbsinCsinBsinBc cADADh ha aabsinCabsinC2 21 1acsinBacsinB2 21 1S SABCABC同理同理acsinBacsinB2 21 1bcsinAbcsinA2 21 1absinCabsinC2 21 1S SABCABChabcsinAbcsinA2 21 1S SABCABC數(shù)學建構數(shù)學建構三角形面積公式：三角形面積公式：討論七：討論七： 正弦定理有哪些方面的應正弦定理有哪些方面的應用？用？1m)1m)到到求山的高度BC(精確求山的高度BC(精確, ,5 5又測得山頂

13、的仰角為6又測得山頂?shù)难鼋菫?后到達D處,后到達D處,的斜坡前進1000m的斜坡前進1000m沿傾斜角為20沿傾斜角為20, ,3535角為角為下A處測得山頂B的仰下A處測得山頂B的仰例3.某登山隊在山腳例3.某登山隊在山腳0 01000DACEB2065數(shù)學應用：數(shù)學應用：1000DACEB6520解解：過點過點D作作DE/AC交交BC于于E,1 16 60 0A AD DE E, ,2 20 0DDA AC C于是，于是，1351356565160160360360ADBADB151520203535BADBAD又又3030ABDABD 定定理理得得：在在 A AB BD D中中，由由正正

14、弦弦(m).(m).2 210001000sin30sin301000sin1351000sin135ABDABDsinsinADBADBADsinADsinABAB在在R Rt t A AB BC C中中，811(m)811(m)sin35sin352 210001000ABsin35ABsin35BCBC答：山的高度約為答：山的高度約為811米。米。. .試判斷試判斷 ABC的形狀ABC的形狀, ,cosCcosCc ccosBcosBb bcosAcosAa a已知已知例4.在例4.在 ABC中,ABC中,解解：由由正正弦弦定定理理，得得k k, ,s si in nA Aa a令令ks

15、inCksinCc cksinB,ksinB,b bksinA,ksinA,a a代入已知條件，得：代入已知條件，得：cosCcosCsinCsinCcosBcosBsinBsinBcosAcosAsinAsinA即即tanCtanCtanBtanBtanAtanAC C, ,B BA A ) ), ,( (0 0, ,C CB B, ,又又A A, ,形形。從從而而 A AB BC C為為正正三三角角 1 1、在、在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. C C隨堂練習隨堂練習 2、在ABC中 已知a=18，B=60，C=75， 求b=9 63、已知c ，A45，B75，則a=_，32D4、ABC中，B=30，c=150，b=50 ，則ABC的形狀是（ ）3A 等邊三角形 B