三中值定理應(yīng)用

1、第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§1內(nèi)容提要一、介值定理1、定理1(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)：O，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使f()=02、定理2(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)=A及f(b)=B,A=B那么對于A與B之間的任一個常數(shù)C，開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使f(HC,(a：b)二、微分中值定理1、定理3(費(fèi)馬(fermat)引理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的某鄰域U(xo)=(x)-、：，xo*)內(nèi)有定義，并且在Xo處可導(dǎo)，如果對任意的XU(Xo)，有f(x)wf(xo)(f(X)3f(Xo),那么f&qu

2、ot;(Xo)=O。注：費(fèi)馬引理函數(shù)的極值點(diǎn)若可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)為o。一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。2、定理4(羅爾(Rolle定理)如果函數(shù)f(X)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a：b)，使得f)=o。3、定理5(拉格朗日(Lagrange定理)如果函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a：:b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)。4、定理6如果函數(shù)f(X)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么函數(shù)f(X)

3、在區(qū)間I上是一個常數(shù)。5、定理7(柯西(Cauchy定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)對任一(a,b),F(x)=o,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ab)，使得f(b)-f(a)_f()。F(b)-F(a)F()6、定理8(泰勒(Tayloi)定理)畀(XX°)nRn(X)n!畀(XX°)nRn(X)n!如果函數(shù)f(x)在含有X)的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n1階的導(dǎo)數(shù)，則對(a,b),有f(X)二f(Xo)f(Xo)(X-Xo)冷嚴(yán)(X-X。)1,(0,1)，使f(J=f(2)=0。(提示：同例3)題

4、型二證明存在，使f(n)=0(n=1,2,川)解題提示：用羅爾定理(或多次利用羅爾定理)例5、設(shè)函數(shù)f(x)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)f(1)，f(2)=3,f(3)=1o試證必存在：(0,3)，使f()0。(提示：只需證明存在一點(diǎn)0,3)，使f(c)=f(3)=1然后應(yīng)用羅爾定理即可。由條件f(0)叨f二1，問題轉(zhuǎn)|Hf(n+)其中Rn(X)(X-Xo)1，這里是X與Xo之間的某個值，此公式也稱為帶有拉格(n+1)!朗日型余項的n階泰勒公式。(1)當(dāng)Rn(x)|=0(x-Xo)n時，f%)n!f%)n!(X-X°)n*0|_(X-Xo)nf(x)f(xrf(xo

5、)f(xo)(xxo)寸(x*2川稱為帶有皮亞諾(Peano)余項的n階泰勒公式。(2)在泰勒公式中，如果取怡=0，則二在x與0之間，此時可令上=日x(0日cl)下面兩公式分別稱為帶有拉格朗日余項的n階麥克勞林公式和帶有皮亞諾余項的n階麥克勞林八式一、彳心"(0)2川|(0)f(n*)(日x)冷公式：f(x)=f(0)f(0)xxxx2!n!(n+1)!f(xHf(0)f(0)x-x2川fxno(xn).2!n!§2典型題型與例題分析題型一證明存在E使f()=0解題提示：用介值定理。唯一性由f(X)0(或f(xh：0)確定。例1、設(shè)f(x)在a,：)上連續(xù)，當(dāng)xa時，f(x

6、)K0(K為常數(shù))。試證明：若f(a)<0，則方程f(x)=0在a,af(a)<0，則方程f(x)=0在a,a詈上有且僅有一個實根。(提示：由拉格朗日中值定理在a,二：中先找到一點(diǎn)，使f()0，然后再用介值定理，注意唯一性)例2、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(x)0,證明在(a,b)內(nèi)存在唯一的，使得直線x二將曲線y二f(x)和直線x二a,x二b以及y=0所圍成的平面圖形分成面積相等的兩部分。例3、設(shè)函數(shù)f(x)在0,二上連續(xù)，且；f(x)dx=0,(x)cosxdx=0。試證：在(0,二)內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn)1,2，使f(l)=f(2)=0.分析：證明介值問題，一般兩種情形：

7、(1)要證的結(jié)論與某函數(shù)在一點(diǎn)的函數(shù)值f)有關(guān),但與其導(dǎo)數(shù)值無關(guān)，可考慮用連續(xù)函數(shù)的介值定理(如例1，例2)；(2)要證的結(jié)論與某函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值f)或更高階導(dǎo)數(shù)值有關(guān)，則應(yīng)考慮微分中值定理(包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式)(題型二將詳述)。本題要證的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)無關(guān)，但用連續(xù)函數(shù)的介值定理又解決不了，是隱含介值問題，實際Fxx上應(yīng)用微分中值定理解決，根據(jù)af(t)d；=f(X)，利用變限積分的函數(shù)玄f")dt作輔助函數(shù)。本題提示：本題直接用連續(xù)函數(shù)的介值定理比較困難，可考慮作輔助函數(shù)：xF(x)f(t)dt。顯然有F(0)=F(二)=0，但要證本題結(jié)論，還需要找F(x)

8、的一個零a點(diǎn)，這要由第二個條件o'f(x)cosxdx=0來實現(xiàn)，為了與F(x)聯(lián)系起來，可將其變換為0二r"f(x)cosxdx二"cosxdF(x)再通過分部積分和積分中值定理就可達(dá)到目的。1例4、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，pf(x)dx=0,g(x)在0,1上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且在可以三次用羅爾定理)例7、設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，且f(a)二g(a),f(b)二g(b)，證明：存在(a,b)，使得f(g()。(本題綜合考查介值定理和羅爾定理。提示：令F(x)=f(x)-g(x)，只需對F(x)用羅爾定理。

9、)題型三證明存在，使f(n)(J二k(k=0)解題提示：構(gòu)造輔助函數(shù)，利用中值定理)步驟：(1)將換為x；(2)恒等變形，便于積分；(3)積分并分離常數(shù)：F(x,f(x)乂，則F(x,f(x)即為所需的輔助函數(shù)。例8、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足11xf(1)=k°kxef(x)dx(k1)，證明至少存在一點(diǎn)(0,1)，使得f(1-=)f()。(提示：將要證關(guān)系式f徉)=(1-纖)f©中的”奐為x，并作恒等變形得饞=11兩邊積分后得f(x)x，xe»f(x)=C故可作出輔助函數(shù)F(x)二xe»f(x)，對已知條件使用積分中值定理，

10、然后對輔助函數(shù)應(yīng)用羅爾定理即可。)例9、設(shè)f(x)在0,1內(nèi)上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，但當(dāng)x(0,1)時,f(x)0，求證對任意自然數(shù)n，在(0,1)內(nèi)存在，使nf()f()f(1-)f(1-)(提示：將所證結(jié)論中改為x，兩邊積分后，可作出輔助函數(shù)F(x)二f(x)nf(1-x)。例10、設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo)，且a,b同號，證明：至少存在一點(diǎn)(a,b)，使af(b)-bf(af(f()。(提示：令f(x)=3,G(x)二，注意到時同a-bxx號，故用柯西中值定理)。1例11、設(shè)f(x)在0,1內(nèi)上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0,f()=1，1證明：(i

11、)存在(2,1)，使f()二；(2)對任意自然數(shù)，必存在：(0,)，使f)-«)-(提示：(1)直接用介值定理即可；(2)令F(x)二e-'xf(x)-x利用羅爾定理)例12、假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在a,b存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g(x)=O,f(a)二f(b)=g(a)二g(b)=0，試證:(1)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)g(x)=0；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)'，使丄Q。g(®g®(提示：對f(x)g(X)_g(x)f(x)=0等式積分可令輔助函數(shù)為F(x)二f(x)g(x)-g(x)f(x)。再利用羅爾定理即可)題型四雙介值問題，要證存在

12、兩個中值,滿足某種關(guān)系的命題解題提示：先用一次中值定理轉(zhuǎn)化為單介值問題，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。例13、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=1，試證：存在,(a,b)，使得e一f()f()丨-1.(提示：將要證結(jié)論改寫為ef(口)+f和.即證甘心)1日=。令F(x)二exf(x)，對其應(yīng)用拉格朗日中值定理。)評注：對雙介值問題(證明',(a,b)，使H，)=0)般按以下步驟證明：(1)與，化H(,)=0為f()二f()。(2) 若容易找到F(x)，使F'(x)=f(x)(或g(x)，則對F(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，得F(b

13、)_F(a)=卩(j=仁)。b-a(3) 應(yīng)用微分中值定理，證明F(b)_F(a)吋)。ba例14、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=0，試證：存在',-(a,b)，bae一e使得e；(提示：應(yīng)用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。ba例15、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1,試證(1)存在：(0,1)，使得f()=1-(2)存在兩個不同的點(diǎn)，二(0,1)，使得f()f)=1(提示：第一問用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二問為雙介值問題，考慮用拉格朗日中值定理，并注意用第一問已得結(jié)論。)題型五不等式的證明解題提示：不等式的證

14、明方法很多，一般有：利用單調(diào)性證明不等式；利用極值與最值證明不等式；利用凹凸性證明不等式；利用拉格朗日中值定理證明不等式；利用泰勒展開式證明不等式。這里只簡要敘述兩種方法，應(yīng)用拉格朗日中值定理的難點(diǎn)在于找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)名，將其在某兩點(diǎn)的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來，如果輔助函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不能確定符號，需要二階甚至二階以上的導(dǎo)數(shù)信息才能證明不等式，此時也可考慮用泰勒公式證明。類型一利用微分中值定理證明不等式例16、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)<1,又f(0)=f(1),求證：對11任意x-i,x2亡0,1,必有f(xj-f(x2)<-.(提示：當(dāng)X2X1

15、2在x1,x2上利用拉格1朗日中值定理證明。當(dāng)X2-X1在0,X與X2,1上分別利用拉格朗日中值定理證明)例17、設(shè)f(X)在0,a上二階可導(dǎo)，且在(0,a)內(nèi)達(dá)到最小值，又在f"(x)蘭M。證明：f(0)|+|f(a)蘭Ma.(提示：存在c(0,a)使(c)=0在0,c與c,a上分別使用|f"(x)蘭M)類型二利用泰勒公式證明不等式適用于二階以上可導(dǎo)的情形。例18、設(shè)f(x)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件f(x)蘭a,f“(x)Eb，其中a,b都是非負(fù)常數(shù)，證明：對任意(0,1),必有f"(x)蘭2a+.f"(E)(提示：f(tf(x)f(x)(t

16、-x)(t-x)2x(0,1),(1-x)x<1.)例19、設(shè)f(X)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f(1)=0,f(x)在0,1上的最小值等于-1，試證：至少存在一點(diǎn)(0,1),使f()8.(提示:a(0,1),f(a)=-1,f(a)=0,再將t=0,t=1分別代入相減。并注意2!在點(diǎn)a處泰勒展開，并將x=0,x=1分別代入。)題型六中值定理的綜合應(yīng)用例20、設(shè)f(x)在(_L,L)內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0.(1) 求證：對任意給定的0:x：L,存在01,使x.x(t)dt°f(t)dt=xfGx)-f(7X).(2) 求極限lim'.心0十x_

17、x(提示：(1)令F(x)=f(t)dt+Lf(t)dt,對其應(yīng)用拉格朗日中值定理；(2)由(1)得x仝0"0第、遁二土衛(wèi)U"r再令兩邊分別取極限)2x2rx例21、設(shè)f(x)在-1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(_1)=0,f(1)=1,f(0)=0,證明在(-1,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得=3.(提示：將f(x)在x=0展成二階麥克勞林公式，令x=-1,x=1得到兩式相減，對f“(X)用介值定理。)附：01-07年天津市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中與該部分內(nèi)容有關(guān)的題目1、設(shè)f(x)在區(qū)間a,：具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(x)蘭M。，0f"(x)|蘭M2,(a蘭xv址)證明：f&

18、quot;(X)蘭2VM0M2.(01年試題)12、設(shè)f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且4f(x)dx二f(0)，求證：在(0,1)內(nèi)至4少存在一點(diǎn)在，使得f(J=00(01年試題)3、設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,f(00,f(0)0.在曲線y=f(x)上任意取一點(diǎn)(x,f(x)(x=0)作曲線的切線，此切線在x軸上的截距記作丄，求：limxf()T卩f(X)(03年試題)4、設(shè)f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1，試證明：對于任意給定的正數(shù)a和b，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)存在不同的和，使得一a-ab.f)f?)(03年試題)5、

19、設(shè)正整數(shù)n.1,證明方程x2n-a!x2n-5、設(shè)正整數(shù)n.1,證明方程x2n-a!x2n-111a2n二x-1=0至少有兩個實根。(04年試題)6、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在(a,b)，使得fa+b'TI+fb)I2丿b4”(a)2fb-a|=f(。(05年試題)7、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間-2,2上具有二階導(dǎo)數(shù)，f(x)cl且，證明：存在一點(diǎn)'(一2,2)，使得f()f()=0。(05年試題)x_2x28、證明：當(dāng)x2時，(x-2)e2-xe2e：0。(07年試題)H19、設(shè)f(x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且有02ef(x)arcta

20、nxdx二刁，f二。，則至少存在一點(diǎn)二二(0,1)，使(12)arctanf()=-1。(07年試題)答案提示1、對f(x)進(jìn)行泰勒展開。2、先利用積分中值定理，再利用羅爾定理。3、過點(diǎn)(x,f(x)的曲線y二f(x)的切線方程為：Y-f(x)二f(x)(X-x),注意到：由于f(00,f(0)0，在x=0的鄰域內(nèi)當(dāng)x=0時f(x)=0。因此，此直線在x軸上的截距為"二x-f(x)，且limlimx-limf(X)=0。(X)Txt0tf&)利用泰勒公式將f(x)在x=0點(diǎn)展開，得到f(x)二f(0)f(0)x丄f(Jx2二丄f(；)X2；在0與X之間22f(J22在0與，之間2代入得二limx)0二limx)0m0-HX一一1-2ar2X2卩2/Vf(x)f(X)X二limx>0xf(x)-f(x)xf(X)Xf(X)f(x)xf(x)二limf(X)X：Sf(x)f(0)f(0)f(0)4、提示：取數(shù)一(0,1)，由介質(zhì)定理知，存在6(0,1)，使得f(C)二，在區(qū)間0,c