第八節(jié)-直線與圓錐曲線的位置關系

1、欄目索引第八節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系欄目索引總綱目錄總綱目錄教材研讀1.直線與圓錐曲線位置關系的判斷考點突破2.直線與圓錐曲線相交的弦長問題3.弦AB的中點與直線AB斜率的關系考點二弦長問題考點一直線與圓錐曲線位置關系的判定及應用考點三中點弦問題欄目索引教材研讀1.直線與圓錐曲線位置關系的判斷直線與圓錐曲線位置關系的判斷判斷直線l與圓錐曲線r的位置關系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓錐曲線r的方程F(x,y)=0聯立,消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的方程,即聯立消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當a0

2、時,若0,則直線l與曲線r相交;若=0,則直線l與曲線r相切;若b0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是+=1.(2)過橢圓+=1(ab0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦所在直線方程是+=1.(3)橢圓+=1(ab0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2+B2b2=C2.22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb圓錐曲線的切線方程圓錐曲線的切線方程欄目索引教材研讀2.雙曲線的切線方程(1)雙曲線-=1(a0,b0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是-=1.(2)過雙曲線-=1(a0,b0)外一點P(x0,y0)所引兩

3、條切線的切點弦所在直線方程是-=1.(3)雙曲線-=1(a0,b0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是A2a2-B2b2=C2.22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb02x xa02y yb22xa22yb欄目索引教材研讀3.拋物線的切線方程(1)拋物線y2=2px(p0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是y0y=p(x+x0).(2)拋物線y2=2px(p0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦所在直線方程是y0y=p(x+x0).(3)拋物線y2=2px(p0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是pB2=2AC.欄目索引教材研讀2.直線與圓錐曲線相交的弦長問題直

4、線與圓錐曲線相交的弦長問題直線l:f(x,y)=0,圓錐曲線r:F(x,y)=0,l與r有兩個不同的交點A(x1,y1),B(x2,y2),則A、B兩點的坐標是方程組的兩組解,方程組消元后化為關于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判別式=b2-4ac,應有0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的兩個根.由根與系數的關系得x1+x2=-,x1x2=,以此結合弦長公式可整體代入求值.A、B兩點間的距離|AB|=|x1-x2|=(其中k為直線l的斜率),也可以寫成關于y的形式,即|AB|=|y1-y2|=(k0).

5、特殊地,如果( , )0,( , )0f x yF x ybaca1212,bcyyy yaa 或21k21k21212()4xxx x211k211k21212()4yyy y直線l過拋物線的焦點,拋物線方程以y2=2px(p0)為例,那么|AB|=x1+x2+p.欄目索引教材研讀3.弦弦AB的中點與直線的中點與直線AB斜率的關系斜率的關系(1)已知AB是橢圓+=1(ab0)的一條弦,其中點M的坐標為(x0,y0).運用點差法求直線AB的斜率,設A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在橢圓上,兩式相減得+=0,+=0,=-=-,故kAB=-.(2)已知AB是雙曲線-=1(a

6、0,b0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x122xa22yb2211222222221,1,xyabxyab22122xxa22122yyb12122()()xxxxa12122()()yyyyb1212yyxx212212()()bxxayy2020b xa y2020b xa y22xa22yb欄目索引教材研讀x 2,弦中點M(x0,y0),則與(1)同理可知kAB=.(3)已知AB是拋物線y2=2px(p0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中點M(x0,y0).則兩式相減得-=2p(x1-x2),(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2

7、),=,即kAB=.2020b xa y2112222,2,ypxypx21y22y1212yyxx122pyy0py0py欄目索引教材研讀1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定29x24yA答案答案A由于直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過定點(1,1),(1,1)在橢圓內,故直線與橢圓必相交.欄目索引教材研讀2.直線y=x+3與雙曲線-=1的交點個數是()A.1B.2C.1或2D.0ba22xa22ybA答案答案A因為直線y=x+3與雙曲線的漸近線y=x平行,所以它與雙曲線只有1個交點.baba欄目索引教材研讀3.過點(0,1)作直線,使

8、它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條C答案答案C當過點(0,1)的直線的斜率不存在時,方程為x=0,與拋物線y2=4x僅有一個公共點,符合題意.當過點(0,1)的直線的斜率存在時,設為k,此時直線為y=kx+1,由得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)21,4ykxyx當k=0時,方程(*)只有一解,即直線與拋物線只有一個公共點,符合題意,當k0時,由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線y=x+1與拋物線相切,綜上,符合條件的直線有3條.欄目索引教材研讀4.過點的直線l與拋物線y=-x2交于A、B兩點,O為坐標原點,則的值為()A

9、.-B.-C.-4D.無法確定10,2OAOB1214B答案答案B由題意知直線l的斜率存在.設A(x1,y1)、B(x2,y2),直線l的方程為y=kx-,代入拋物線方程得2x2+2kx-1=0,由此得=x1x2+y1y2=x1x2+=(k2+1)x1x2-k(x1+x2)+=-(k2+1)-k(-k)+=-.故選B.121212,1,2xxkx x OAOB112kx212kx121412121414欄目索引教材研讀5.若直線y=kx與雙曲線-=1相交,則k的取值范圍是.29x24y2 2,3 3答案答案2 2,3 3解析解析雙曲線-=1的漸近線方程為y=x,若直線與雙曲線相交,數形結合,得

10、k.29x24y232 2,3 3欄目索引教材研讀6.過點A(1,0)作傾斜角為的直線,與拋物線y2=2x交于M、N兩點,則|MN|=.4答案答案26解析解析過A(1,0)且傾斜角為的直線方程為y=x-1,代入y2=2x得x2-4x+1=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x2=4,x1x2=1,所以|MN|=|x1-x2|=2.421k1 121212()4xxx x21646欄目索引考點突破典例典例1(2018河南洛陽質檢)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:+=1(ab0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程;(2)設直線l同時與

11、橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.22xa22yb考點一直線與圓錐曲線位置關系的判定及應用考點一直線與圓錐曲線位置關系的判定及應用考點突破考點突破欄目索引考點突破解析解析(1)由題意得a2-b2=1,b=1,則a=,橢圓C1的方程為+y2=1.(2)易得直線l的斜率存在且不為零,則可設l的方程為y=kx+b(k0).由222x221,2,xyykxb消去y整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1.由消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,24 ,yxykxb欄目

12、索引考點突破即2k4+k2-1=0.令t=k2,則2t2+t-1=0,解得t1=或t2=-1(舍),或直線l的方程為y=x+或y=-x-.122,22kb2,22.kb 2222222=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1,由得b=,代入得=2k2+1,2221,1.bkkb1k21k欄目索引考點突破規(guī)律總結規(guī)律總結(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數時,可直接求解相應方程組得到交點坐標,也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數不為0.(2)依據直線與圓錐曲線的交點個數求參數時,聯立方程并消元,得到一元方程,此時注意觀察方程的二次項

13、系數是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個數轉化為判別式與0的大小關系求解.欄目索引考點突破1-1(2016課標全國,20,12分)在直角坐標系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p0)于點P,M關于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H.(1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由.|OHON欄目索引考點突破解析解析(1)由已知得M(0,t),P.2,2ttp又N為M關于點P的對稱點,故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.所以N為OH的中點,即=2.

14、(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點.理由如下:直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).2,ttppt22tp22,2ttp|OHON2pt2tp代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點.欄目索引考點突破典例典例2如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓+=1(ab0)的離心率為,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB的斜率為0時,|AB|=4.(1)求橢圓的方程;(2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程.22xa22yb12487考點二弦長問題考點二弦長問題欄目索引考點突

15、破解析解析(1)由題意知e=,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,所以橢圓方程為+=1.(2)當兩條弦中的一條弦所在直線的斜率為0時,另一條弦所在直線的斜率不存在,由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件.當兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0時,設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線CD的方程為y=-(x-1).ca12324x23y1k欄目索引考點突破將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=.同理,|CD|=,所以|AB|+|C

16、D|=+=,解得k=1,所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.22834kk2241234kk21k 21k 21212()4xxx x2212(1)34kk22112143kk2212(1)34kk2212(1)34kk2212(1)34kk222284(1)(34)(34)kkk487欄目索引考點突破方法技巧方法技巧弦長的計算方法求弦長時可利用弦長公式,根據直線方程與圓錐曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程,利用根與系數的關系得到兩根之和、兩根之積的代數式,然后整體代入弦長公式求解.注意兩種特殊情況:(1)直線與圓錐曲線的對稱軸平行(重合)或垂直;(2)直線過圓錐曲線的焦點.

17、欄目索引考點突破2-1(2017貴州貴陽模擬)設橢圓C1的中心和拋物線C2的頂點均為原點O,C1、C2的焦點均在x軸上,在C1、C2上各取兩個點,將其坐標記錄在表格中:x3-24y-20-4-3332(1)求C1、C2的標準方程;(2)過C2的焦點F作斜率為k的直線l,與C2交于A、B兩點,若l與C1交于C、D兩點,=,求直線l的方程.|ABCD53欄目索引考點突破解析解析(1)由題意知點(-2,0),在橢圓上,點(3,-2),(4,-4)在拋物線上,設C1的方程為+=1(ab0),則=1,+=1,解得a=2,b=,C1的標準方程為+=1.設拋物線C2的方程為y2=2px(p0),則(-4)2

18、=2p4,解得p=2,C2的標準方程為y2=4x.33,2322xa22yb22( 2)a23a234b324x23y欄目索引考點突破(2)由(1)知F(1,0)是拋物線的焦點,也是橢圓的右焦點,由題意知l:y=k(x-1),k0,設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),將l:y=k(x-1)代入拋物線方程y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,=-(2k2+4)2-4k2k2=16k2+160恒成立,x1+x2=,x1x2=1,|AB|=.將l:y=k(x-1)代入橢圓方程+=1,2224kk21k222244kk224(1)kk24x23y

19、欄目索引考點突破整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,=(-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+1440恒成立,x3+x4=,x3x4=,|CD|=,=,=+=,k2=3,即k=,直線l的方程為y=(x-1).22834kk2241234kk21k22222841243434kkkk 2212(1)34kk|ABCD5322224(1)12(1)34kkkk22343kk21k435333欄目索引考點突破考點三中點弦問題考點三中點弦問題典例典例3已知雙曲線x2-=1上存在兩點M,N關于直線y=x+m對稱,且MN的中點在拋物線y2=18x上,則實數m的值為.

20、23y0或或-8答案答案0或-8解析解析設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點P(x0,y0),則221122221201201,31,32,2,yxyxxxxyyy欄目索引考點突破由-得(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),顯然x1x2,=3,即kMN=3,M,N關于直線y=x+m對稱,kMN=-1,y0=-3x0.又y0=x0+m,P,132121yyxx2121yyxx00yx3,44mm代入拋物線方程得m2=18,解得m=0或-8,經檢驗都符合題意.9164m欄目索引考點突破規(guī)律總結規(guī)律總結處理中點弦問題的常用方法(1)點差法:設出弦的兩端點坐標后,代入

21、圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接將中點和直線的斜率聯系起來了,借用中點公式即可求得斜率.(2)根與系數的關系:聯立直線與圓錐曲線的方程,將其轉化為一元二次方程后由根與系數的關系求解.1212yyxx欄目索引考點突破同類練同類練(1)拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點,若P(1,1)為線段AB的中點,則拋物線C的方程為()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x(2)已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點,則l的方程是.236x29y欄目索引考點突破答案答案(1)B(2)x+2y-8=0解析解析(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px(p0),則兩式相減可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1,拋物線C的方程為y2=2x.2112222,2,ypxypx1212yyxx欄目索引考點突破故直線l的方程為y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.12(2)設直線l與橢圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,且+=1,兩式相減得=-.又x1+x2=8,y1+y2=4,所以=-,2136x219y2236x229y1212yyxx1212