經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型_《數(shù)學(xué)模型》(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉__俊編制

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)模型模型 描述對(duì)象特征隨時(shí)間描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài)預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài) 研究控制對(duì)象特征的手段研究控制對(duì)象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型型增加生產(chǎn)增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟(jì)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增

2、加投資增加投資 增加勞動(dòng)力增加勞動(dòng)力 提高技術(shù)提高技術(shù) 建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系 研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大 調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率，使經(jīng)濟(jì)調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長(zhǎng)增長(zhǎng)1. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值產(chǎn)值 Q(t)(),()(0tLtKFftQF為待定函數(shù)為待定函數(shù)資金資金 K(t)勞動(dòng)力勞動(dòng)力 L(t)技術(shù)技術(shù) f(t) = f0)(/0ygfLQz10,)(yyg0,LQKQ模型假設(shè)模型假設(shè)靜態(tài)模型靜態(tài)模型),(),(0LKFfLKQ

3、每個(gè)勞動(dòng)每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值力的產(chǎn)值LQz 每個(gè)勞動(dòng)每個(gè)勞動(dòng)力的投資力的投資LKy z 隨著隨著 y 的增加而增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度遞減的增加而增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度遞減yg(y)01. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)含義？含義？0,2222LQKQ)/(0LKLfQ Douglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)10),(LKfLKQ10),(LKfLKQQK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL 單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值 資金在產(chǎn)值中的份額資金在產(chǎn)值中的份額1- 勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)0, 1,0,

4、),(00fLKfLKQ1. Douglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)1,QLQQKQLKQLQKQLK0,0LSKS1,QLQQKQLKrwLK1w , r , K/L 求資金與勞動(dòng)力的分配比例求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(每個(gè)每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金勞動(dòng)力占有的資金) ，使效益，使效益S最大最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益wLrKQS資金來自貸款，利率資金來自貸款，利率 r勞動(dòng)力付工資勞動(dòng)力付工資 w 2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）1KLQQLKwrQQLKLyKLKy,3) 經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長(zhǎng)的條件增長(zhǎng)的條件 (動(dòng)態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型)要

5、使要使 Q(t) 或或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長(zhǎng)增長(zhǎng), K(t), L(t)應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件模型模型假設(shè)假設(shè) 投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)) 勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù))(0yLgfQ yyg)(LyfdtdK00,QdtdKLdtdLteLtL0)(LydtdyLdtdKLyfdtdK0LydtdyLdtdKyfydtdy0Bernoulli方程方程11)1(0100)()(tefyfty0010000000,/QKLKfQLKy00010KKfy11)1(000)1(1)(teKKfty)(11/10)1(00AeKKdtdQt成立當(dāng)AKKt),/1)(1ln()1 (1000yygyLgfQ)()(0dtdLygfdtdyygLfdtdQ)()(00成立A 0產(chǎn)值產(chǎn)值Q(t)增長(zhǎng)增長(zhǎng)dQ/dt 03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時(shí)當(dāng)BKK,1/000勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投