高考導數(shù)題的解題技巧-----絕版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導數(shù)題的解題技巧導數(shù)命題趨勢：（1）多項式求導（結合不等式求參數(shù)取值范圍）,和求斜率（切線方程結合函數(shù)求最值）問題.（2）求極值,證明不等式， 函數(shù)單調(diào)性,應用題,與三角函數(shù)或向量結合.【考點透視】1了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念2熟記基本導數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)3理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系；了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰

2、函數(shù)）的最大值和最小值【例題解析】考點1 導數(shù)的概念對概念的要求：了解導數(shù)概念的實際背景，掌握導數(shù)在一點處的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念. 例1（2007年北京卷）是的導函數(shù)，則的值是考查目的 本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和計算等基礎知識和能力.解答過程 故填3.例2. ( 2006年湖南卷）設函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和集合等基礎知識的應用能力.解答過程由綜上可得MP時, 考點2 曲線的切線（1）關于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，

3、即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率.（2）關于兩曲線的公切線 若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.（2007年湖南文）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經(jīng)過點時，從的一側進入另一側），求函數(shù)的表達式思路啟迪：用求導來求得切線斜率.解答過程：（I）因為函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點，所以在，內(nèi)分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖

4、象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故例4.（2006年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為.故選A.例5 ( 2006年重慶卷)過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+

5、=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程解法1：設切線的方程為又故選A.解法2:由解法1知切點坐標為由故選A.例6.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導數(shù).解答過程：函數(shù)的導數(shù)為，曲線在點P()處的切線方程為，即 曲線在點Q的切線方程是即 若直線是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即時，解得，此時點P、Q重合.當時，和有且只有一條公切線，由

6、式得公切線方程為 .考點3導數(shù)的應用中學階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導函數(shù)，導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導數(shù)”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數(shù)學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3.解決單調(diào)性問題; 4.求函數(shù)的極值（最值）;5.構造函數(shù)證明不等式.典型例題例7（2006年天津卷）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（）A1個 B2個 C3

7、個D 4個考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎知識的應用能力.解答過程由圖象可見,在區(qū)間內(nèi)的圖象上有一個極小值點.故選A.例8 . （福建省2008年普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查）已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2-x在x = 0處取得極值(I)求實數(shù)a的值；()若關于x的方程，f(x)= 在區(qū)間O，2上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；()證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln 都成立考查目的本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)、單調(diào)性、極值和不等式等基礎知識；考查化歸及數(shù)形結合的思想方法；考查分析問題、解決問題的能力。解答過程：解：() = x=0時，f(x)取得極值，=0，故 =0，

8、解得a=1.經(jīng)檢驗a=1符合題意. ()由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x，由f(x)= +b,得ln(x+1)-x2+ x-b=0，令(x)= ln(x+1)-x2+ x-b，則f(x)= +b在0，2上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于(x)=0在0，2恰有兩個不同實數(shù)根 ，當x(O，1)時， O，于是(x)在(O，1)上單調(diào)遞增；當x(1，2)時， 0，于是(x)在(1，2)上單調(diào)遞減 依題意有 ln3 -1b -1， 由()知， 令=0得，x=0或x= -(舍去)， 當-1x0，f(x)單調(diào)遞增； 當x0時，0得，ln(+1) +，故ln().例9.函數(shù)的值域是_.思路啟迪：求函

9、數(shù)的值域，是中學數(shù)學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數(shù)法求解較為容易。解答過程：由得，即函數(shù)的定義域為.，又，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.例10（2006年天津卷）已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且（1）當時，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍考查目的本小題主要考查運用導數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學思想方法.解答

10、過程（）當時，則在內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論. 當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.綜上，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。由題設，函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組 或 由（II），參數(shù)時時，.要使不等式關于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例1

11、1(2006年山東卷)設函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考查目的本題考查了函數(shù)的導數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)的定義域為，且（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當時，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.例12（2006年北京卷）已知函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的極值

12、的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設又所以由即得所以例13（2006年湖北卷）設是函數(shù)的一個極值點.（）求與的關系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）設，.若存在使得成立，求的取值范圍.考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.解答過程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得

13、b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點，所以x+a+10，那么a4.當a3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)4時，x23x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f

14、 (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）0，解得0a.故a的取值范圍是（0，）.例14 （2007年全國二）已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過程求函數(shù)的導數(shù)（）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根所以當時，為增函數(shù)，由，得（）在題設下，等價于即化簡得此不等式組表示的區(qū)域為平面上三條直線：所圍成的的內(nèi)部，其三個頂點分別為：ba2124O在這三點的值依次為所以的取值范圍為考點

15、4導數(shù)在不等式的證明及解決不等式中求參數(shù)的問題中的應用.一、構造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)證明不等式1.直接由所證不等式構造函數(shù)， 討論構造函數(shù)單調(diào)性,達到證明不等式的目的把要證明的不等式通過構造函數(shù)轉化為 再通過求的最值,從而實現(xiàn)對不等式的證明.例1（2010年全國理科卷2）設函數(shù) 證明：當時，, 設當時，求的取值范圍證明： 當時，當且僅當構造函數(shù)：，則對求導得： .當時，在上是增函數(shù), 當時，在上是減函數(shù).于是在處達到最小值，因而當時，即 ， 所以當時， . 略.2.常系數(shù)變易法 對形如(或可化為）的不等式，根據(jù)題意可適當選擇（或）為主元，構造函數(shù)（或）.例2（2004年全國理科卷2）已知函數(shù)，

16、 求函數(shù)的最大值； 設，證明：.解: 略 由 ，則. 首先選擇為主元，構造函數(shù)：，則對求導得： .當時，因此在內(nèi)為減函數(shù)，當時，因此在上為增函數(shù). 從而，當時，有極小值，因為，由, 所以，即,其次構造函數(shù)：，則對求導得：. 當時,因此在上為減函數(shù)，因為,，所以 ， 即 ：,綜上所述，原不等式成立.二、利用導數(shù)求出函數(shù)的極值、最值(或值域) 后,再證明不等式 最值證明在不等式中的應用,一般將不等式通過移項，構造一個函數(shù)，然后求這個函數(shù)的極(最)值,應用恒成立關系就可以證明.例3（2009年全國理科卷2）設函數(shù)有兩個極值點，且， 求的取值范圍，并討論的單調(diào)性, 證明： .w.w.w.k.s.5.u

17、.c.o.m 解: 對求導得：令，其對稱軸為.由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得.當時，所以在內(nèi)為增函數(shù)；當時，所以在內(nèi)為減函數(shù)；當時，所以在內(nèi)為增函數(shù).由可知，有 ，所以.設，則.當時，所以在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減. 所以，當時，故W.三、利用導數(shù)解決不等式中求參數(shù)的問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，有些往往把變量分離后可以轉化為(或)恒成立,于是大于 的最大值(或小于 的最小值),從而把不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題.但是有些不能把變量分離或者分離之后求解非常麻煩的，要通過適當?shù)淖儞Q來求解，在求解的過程中往往都要結合函數(shù)的性質(zhì)通過分類討論的

18、思想進行求解.總之，利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法.1.變量分離后，不等式可以轉化為(或）的恒成立問題例4（2008年安徽理科卷20題）設函數(shù) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 已知對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.解: 對求導得： 若 則 列表如下 +0-單調(diào)增極大值單調(diào)減單調(diào)減 在 兩邊取對數(shù), 得 ,由于所以，由 的結果可知,當時, , 為使對所有成立,當且僅當,即 .2.通過適當?shù)淖儞Q，構造函數(shù)解決不等式恒成立問題例5（2008年全國理科卷2）設函數(shù) 求的單調(diào)區(qū)間, 如果對任何，都有，求的取值范圍.解：對求導得：當（）時，即,當（）時，即因此在每一個區(qū)間（）是增函數(shù)，在每一個區(qū)間（）是減函數(shù) 構造函數(shù)，設，則 從而，當時，又，所以當時，即當時，令，則.由，有，因此在上單調(diào)增加，又，即 于是，當時，有因此，的取值范圍是 總之，導數(shù)是解決不等式問題的一個很有用的工具，利用導數(shù)解決不等式的問題其實就是要適當?shù)臉嬙旌瘮?shù)，運用導數(shù)來研究所構造函數(shù)的單調(diào)性，進而解決不等式中的問題.考點5 導數(shù)的實際應用建立函數(shù)模型,利用導數(shù)研究最值典型例題例15. （2007年重慶文）用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？考查目的本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)及其應用等基本知識，考查