應(yīng)力波理論復(fù)習(xí)資料

1、復(fù)習(xí)內(nèi)容：概念：應(yīng)力波；物質(zhì)坐標(biāo)，空間坐標(biāo)，物質(zhì)微商，空間微商，物質(zhì)波速；特征線；強(qiáng)間斷，弱間斷，沖擊波，波的彌散效應(yīng)；層裂；彈性卸載假設(shè)；卸載邊界；應(yīng)變間斷面；應(yīng)力松弛；蠕變；粘性彌散；Hugoniot彈性極限；固體高壓狀態(tài)方程；沖擊絕熱線；主要內(nèi)容：一、Lagrange方法推導(dǎo)一維應(yīng)力縱波的波動(dòng)方程。解: X+dXXF(X+dX,t)F(X,t)XdX在Lagrange坐標(biāo)中建立圖示一維應(yīng)力波長(zhǎng)度為dX的微元的受力圖,截面X上作用有總力F(X,t),截面X+dX上作用有總力F(X+dx,t),有根據(jù)牛頓第二定律,有解之,有而,故上式可以化為 (a)對(duì)于一維應(yīng)力縱波, 連續(xù)可微,記則 代入(

2、a)式,可得 (b)因?yàn)?代入(b)式,則得到了一維應(yīng)力波在Lagrange坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程:二、 用方向?qū)?shù)法求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關(guān)系(1)解:對(duì)一階偏微分方程組進(jìn)行線性組合, ×+其中為待定系數(shù),整理可得: (a)根據(jù)特征線求解方法,特征線特征方程為解之,得, ,即特征線的微分方程為:將其積分即可得到特征線方程。由(a)式,整理有即 將值代入上式,可得特征線上的相容關(guān)系為:(2)解: 對(duì)一階偏微分方程組進(jìn)行線性組合,×+，其中為待定系數(shù),整理可得: (a)根據(jù)特征線求解方法,特征線特征方程為解之,得, ,即特征線的微分方程為:將其積分即可得到特征線方

3、程。由(a)式,整理有即 將值代入上式,可得特征線上的相容關(guān)系為:(3) 對(duì)一階偏微分方程組進(jìn)行線性組合,+ ×，其中為待定系數(shù),整理可得: (a)根據(jù)特征線求解方法,特征線特征方程為解之,得, ,即特征線的微分方程為:將其積分即可得到特征線方程。由(a)式,整理有即 將值代入上式,可得特征線上的相容關(guān)系為:(4) 解: 對(duì)一階偏微分方程組進(jìn)行線性組合,+×，其中為待定系數(shù),整理可得: (a)根據(jù)特征線求解方法,特征線特征方程為解之,得, ,即特征線的微分方程為:將其積分即可得到特征線方程。由(a)式,整理有即 將值代入上式,可得特征線上的相容關(guān)系為:三、 用特征線法求解波

4、的傳播。設(shè)半無(wú)限長(zhǎng)彈性桿初始狀態(tài)為t=0時(shí)刻桿左端X=0處受到一沖擊載荷,即邊界條件為,用特征線法求解(X,t)平面上AOX和Aot區(qū)域的物理量。解:OA為經(jīng)O(0,0)點(diǎn)作的右傳波的特征線,將(X,t)平面劃分為外加載荷產(chǎn)生的彈性波尚未到達(dá)的AOX區(qū)和彈性波已傳到的Aot區(qū)。對(duì)于彈性波,特征線和特征線上相容條件對(duì)應(yīng)于:引入積分常數(shù)、后,可寫(xiě)成右行波有: 左行波有: (1) AOX區(qū)在該區(qū)任一點(diǎn)P,作正向特征線PQ和負(fù)向特征線PR,分別交OX軸于Q點(diǎn)和R點(diǎn),沿著特征線PQ和PR分別有 由（1）（2）可得：由初始條件,有,則可解得由于P點(diǎn)位AOX區(qū)域中的任意點(diǎn),因此該解適合用于整個(gè)AOX區(qū)。(2

5、) 對(duì)于Aot區(qū)該區(qū)任一點(diǎn)B,作正向特征線BC交Ot軸于C點(diǎn),負(fù)向特征線BD,交OX軸于D點(diǎn),再過(guò)C點(diǎn)作負(fù)向特征線CE交特征線OA于E點(diǎn),沿著特征線BC、BD和CE分別有 沿著特征線OA,其上各點(diǎn)與AOX區(qū)具有相同的參數(shù)值,即有,此外,由邊界條件已給出,即于是可解得可以看出,在時(shí)刻,施加于桿端部的擾動(dòng)和以的速度沿桿傳播,并且沿著特征線BC,對(duì)應(yīng)的參數(shù)值保持不變。特征線BC的特征方程可表示為,則有。由于B點(diǎn)Aot區(qū)中任意選取的,那么,對(duì)于Aot區(qū)任意一點(diǎn),其解為四、 波形曲線和時(shí)程曲線一線性硬化材料半無(wú)限長(zhǎng)桿，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖所示，其中。在桿的左端處施加如圖所示的載荷。（1）畫(huà)出圖；（2）畫(huà)出時(shí)

6、刻的波形曲線；（3）畫(huà)出m位置的時(shí)程曲線。 解：半無(wú)限長(zhǎng)桿中彈性波波速： 塑性波速：產(chǎn)生塑性波的速度，時(shí)間。（圖上把關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)表示清楚，圖、波形圖和時(shí)程圖盡量畫(huà)在一起） 五、 彈性波的相互作用處理原則：在撞擊面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料彈性桿的共軸撞擊圖如圖所示,作出X-t圖和-v圖,并確定其撞擊結(jié)束時(shí)間及兩桿脫開(kāi)時(shí)間.(做a、b)(c)(b)(a)解: 作圖說(shuō)明:兩彈性桿材料相同,故在X-t圖中,由于兩桿波速相等,同方向的特征線斜率相同;在-v狀態(tài)圖中同方向的波傳播-v關(guān)系曲線斜率相同。（a）2(5)(7)v(4) 17MNt5231AB46X63由波系圖和狀態(tài)圖可得，兩桿

7、撞擊結(jié)束時(shí)間為,對(duì)應(yīng)于M點(diǎn)，此時(shí)兩桿在撞擊界面上質(zhì)點(diǎn)速度均為0，此后一直到時(shí)間時(shí)（N點(diǎn)），兩桿界面上質(zhì)點(diǎn)保持靜止，并未相互脫離。而應(yīng)力波在被撞擊桿右端反射后，使該桿逐漸獲得了正向速度，當(dāng)時(shí)，被撞桿的左端面得介質(zhì)速度由0躍為，與早已處于靜止?fàn)顟B(tài)的撞擊桿脫離，向右飛出。（b）3 6 v1 2 512342t3桿2桿1桿6N54X由波系圖和狀態(tài)圖可得,2桿和3桿撞擊結(jié)束時(shí)間，對(duì)應(yīng)于M點(diǎn)，此后,2桿和3桿都保持靜止?fàn)顟B(tài)，但不相互脫離。而1桿由于應(yīng)力波在右端面的反射，桿內(nèi)逐漸獲得了正向速度。當(dāng)時(shí)，1桿和2桿界面對(duì)應(yīng)于N點(diǎn)，1桿的左端面的介質(zhì)速度由提高至，而此時(shí)2桿右端面的介質(zhì)速度剛好由下降為0，1桿和2

8、桿脫離（之前，1桿和2桿界面兩端的介質(zhì)始終保持相同的質(zhì)點(diǎn)速度）。2、已知兩種材料質(zhì)的彈性桿A和B的Young模量，密度和屈服極限分別為：、,試對(duì)圖中所示情況分別畫(huà)出X-t圖和圖，并確定其撞擊結(jié)束時(shí)間、兩桿脫開(kāi)時(shí)間。以及分離之后各自的整體飛行速度。解：，可見(jiàn)A、B兩桿彈性波速相同，但波阻抗值不同，即兩桿在波系圖中特征線的斜率相同，而在狀態(tài)平面上關(guān)系曲線斜率不相等。(MPa)v(m/s)-7245 (1)62231AB6t(ms)M4-50100X(cm)2.0 4.0 8.03-4.05如圖示波系圖及狀態(tài)平面圖，由于A、B兩桿均為彈性桿，故在桿中傳播的為彈性波。A桿撞擊B桿后由界面處向左傳播一彈

9、性波，對(duì)于被撞的B桿，向右傳播一彈性波，在碰撞面處兩端應(yīng)力相等，質(zhì)點(diǎn)速度相等。由圖可知，當(dāng)時(shí)，A桿中應(yīng)力波由自由界面反射至兩桿界面處，使界面處質(zhì)點(diǎn)速度小于零（-0.4m/s），A將脫離B桿向左飛離，B桿左端變?yōu)樽杂啥嗣?，從而B(niǎo)桿左端應(yīng)力卸為0，速度也減為0，兩桿碰撞也結(jié)束了。兩桿分離后，A桿的速度為-0.4m/s，B桿的平均速度為2.0m/s。根據(jù)碰撞界面上速度相等、應(yīng)力相等條件，波陣面上的守恒條件，求解方程及結(jié)果為：1區(qū)：自然靜止區(qū)2區(qū)：3區(qū)： 4區(qū)： 5區(qū)： 6區(qū)： 3、假定A和B均為線性硬化材料，已知其材料常數(shù)分別為：、。試確定圖A所示兩種情況下使圖中被撞擊桿1屈服的最低打擊速度為多大？

10、 解：，A、B兩桿彈性波速相同，則兩桿在波系圖中的特征線的斜率相等。B桿撞擊A桿，如圖（1）所示，撞擊桿B屈服極限值較大，要使被撞擊的A桿屈服，只需圖3區(qū)解對(duì)應(yīng)于和即可，這是一種臨界狀態(tài)。Xt123圖（1）則應(yīng)有可解得，使得被撞擊桿的A桿屈服，最小打擊速度為。（c）A桿撞擊A桿，兩桿會(huì)同時(shí)達(dá)到屈服，仍如圖（1）所示，有可解得：。5、相同材料的彈性桿,A桿以的速度撞擊初始靜止靠在一起的B,C,D桿,如圖所示，試作出圖，確定撞擊結(jié)束時(shí)間,脫開(kāi)時(shí)間及撞擊后各桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。解:作出圖和如下圖所示.1(4)2(5)3(b)(a)圖中各區(qū)域中的狀態(tài)量可得:1區(qū):B,C,D桿初始狀態(tài)為,在波陣面未達(dá)到之前,為未擾動(dòng)區(qū)域, 應(yīng)有;2區(qū):A桿初始狀態(tài);對(duì)應(yīng)圖上3區(qū): 4區(qū):左行壓縮波在A桿左端自由面反射，反射波經(jīng)過(guò)后桿的狀態(tài)5區(qū):右行壓縮波在D桿右端自由面反射, 反射波經(jīng)過(guò)后桿的狀態(tài)或者從圖也可以得到各桿最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 撞擊結(jié)束時(shí)間,A桿處于靜止自然狀態(tài); B桿左端從開(kāi)始,應(yīng)力卸載到零,速度也卸載到零;到時(shí)B桿整體處于應(yīng)力為零,速度為零的狀態(tài);D桿在時(shí)整體處于應(yīng)力為零,以8m/s的速度向右飛出; C桿在時(shí)整體處于應(yīng)力為零,以8m/s的速度向右飛出.6、彈性波在自由端和固定端的反射；7、彈性波在不同界面處的反射和透射；分析反射波