第一章函數(shù)ppt課件

1、一元函數(shù)微積分學一元函數(shù)微積分學q一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限q微分學微分學q積分學積分學第一章第一章 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.2 函數(shù)的極限1.1 函數(shù)的概念1.3 函數(shù)的連續(xù)性1.1 函數(shù)的概念函數(shù)的概念1.1.1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義1.1.2 分段函數(shù)分段函數(shù)1.1.3 有界函數(shù)有界函數(shù)1.1.4 復合函數(shù)復合函數(shù)1.1.1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義數(shù)集數(shù)集D D 叫做這個函數(shù)的定義域叫做這個函數(shù)的定義域. .( )yf x，因變量因變量自變量自變量.)(00處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點點稱稱時時, ,當當0 0 xxfDx ( ),.Wy yf x xD數(shù)集稱為函數(shù)的值域定義定

2、義 設設 x x 和和 y y 是兩個變量是兩個變量,D,D是一個給定的數(shù)集，是一個給定的數(shù)集，如果對于每個數(shù)如果對于每個數(shù)x , x , 變量變量y y 按照一定法按照一定法則總有則總有D確定的數(shù)值和它對應，則稱確定的數(shù)值和它對應，則稱y y 是是x x 的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作 函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域、定義域、 對應法則對應法則. .()D0 xx對應法則對應法則f)(Wy)(0 xf自變量自變量因變量因變量約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有意定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值義的一切實數(shù)值. .21xy，例例如如 1 , 1 : D211xy，例例

3、如如)1 , 1(: D基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)類冪函數(shù)類)( 是常數(shù)是常數(shù) xy)1 , 1(oxyxy1 2xy xy xy 11)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0( 指數(shù)函數(shù)類指數(shù)函數(shù)類xyalog xya1log )1( a)1, 0(log aaxyaxyln )0 , 1(對數(shù)函數(shù)類對數(shù)函數(shù)類正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 三角函數(shù)類三角函數(shù)類.余弦函數(shù)余弦函數(shù)xycos xycos .正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan .余切函數(shù)余切函數(shù)xycot xycot .正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec .余割函數(shù)余割函數(shù)

4、xycsc xycsc .xyarcsin反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)xyarcsin 反三角函數(shù)類反三角函數(shù)類xyarccos反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarctan反反正正切切函函數(shù)數(shù)xyarctan xycotarc反反余余切切函函數(shù)數(shù)1.1.2 分段函數(shù)分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, , 對應法則用不同的對應法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù), , 稱為分段函數(shù)稱為分段函數(shù). . 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy1.1.3 有界函數(shù)有界函數(shù)則稱則稱 f (x )f (x )為有界函數(shù)為有界函數(shù). . ,f x

5、M定義定義 若存在若存在M 0,M 0,對任意的對任意的x x ，有，有fD例如，正弦函數(shù)例如，正弦函數(shù) 是有界函數(shù)是有界函數(shù).sinyx因為，有常數(shù)因為，有常數(shù) M = 1，,xR 使得使得sin1.xM 正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin .:sin ,1, 1 .y yxxR1.1.4 復合函數(shù)復合函數(shù),自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y ,f u 外層函數(shù) x內(nèi)層函數(shù).,arcsinuy 例如例如1;ux arcsin(1).yx例例1 12( ),1, ( )1, ( ).xf xe xxxfx設求及其定義域22( )1,( )1 1.xxRxRxx 解的定義域為

6、實數(shù)集 ，且有 2( )1( ).xxf xfxee由函數(shù)的定義知：21( ).xfxeR且的定義域為實數(shù)集初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限多次的由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限多次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)可用一個式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù).微積分研究的主要對象是初等函數(shù)微積分研究的主要對象是初等函數(shù). .1.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1 函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義2 極限四則運算法則極限四則運算法則3 復合函數(shù)的極限復合函數(shù)的極限lim1 .2.1極限概念極限概念 oxy1,0.yxxx x

7、1x0.x00 x1xlim. 0lim, lim,xxxf xAf xA一般地，記為.A其中 為實數(shù)或無窮小量、無窮大量無窮小量、無窮大量 的定義的定義的無窮小量的無窮小量. .即無窮小量是以零為極限的變量即無窮小量是以零為極限的變量. . 假設假設 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 是當是當 時時 lim0 xf x f xx 假設假設 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 是當是當 時時 0limxxf x f x0 xx的無窮大量的無窮大量. .即無窮大量是以即無窮大量是以 為極限的變量為極限的變量. . 例如例如, , 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù)xx1lim0,1xx1

8、.1xx函數(shù)是當時的無窮小量11lim.1xx 11.1xx函數(shù)是當時的無窮大量極限概念續(xù)）極限概念續(xù)）xysin x00limxsin x0 x0sin x0limx0.右極限右極限左極限左極限若函數(shù)的極限是一個有限數(shù)，則稱函數(shù)的極限存在若函數(shù)的極限是一個有限數(shù)，則稱函數(shù)的極限存在. .0limsinxxsin0左、右極限的定義左、右極限的定義假設假設 且且 時，函數(shù)時，函數(shù) 以以A A為極限，為極限， 0 xx f x0 xx假設假設 且且 時，函數(shù)時，函數(shù) 以以A A為極限，為極限， 0 xx f x0 xx則稱則稱A A 為函數(shù)為函數(shù) 在點在點 處的右極限處的右極限. .記為記為 f

9、x0 xx 0lim.xxfxA 0lim.xxfxA則稱則稱A A 為函數(shù)為函數(shù) 在點在點 處的左極限處的左極限. .記為記為 0 xx f x 0limxxf xA 0lim.xxf xA 0limxxf xA且且定理定理1極限不存在極限不存在極限概念的分類極限概念的分類 lim f x 0limxxf x limxf x 0limxxf x 0limxxf x 0limxxf x limxf x limxfx limxfx極限存在極限存在( ,)A( ,)A( ,)A( ,)A( ,)A ( ,)A注解注解4.若函數(shù)的極限存在，則其極限是惟一的若函數(shù)的極限存在，則其極限是惟一的.(2).

10、 函數(shù)的極限值僅與函數(shù)在自變量的極限點函數(shù)的極限值僅與函數(shù)在自變量的極限點附近的值有關！附近的值有關！(1). 一個極限問題由函數(shù)的極限和自變量的極一個極限問題由函數(shù)的極限和自變量的極限兩個部分構(gòu)成，函數(shù)的極限值依賴于自變量限兩個部分構(gòu)成，函數(shù)的極限值依賴于自變量的極限，因此函數(shù)的極限與自變量的極限有關！的極限，因此函數(shù)的極限與自變量的極限有關！(3). 函數(shù)在某點的極限存在的充分必要條件是函數(shù)在某點的極限存在的充分必要條件是函數(shù)在該點的左、右極限存在且相等，即函數(shù)在該點的左、右極限存在且相等，即1.2.2 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 limlimlimlimlimlimlim,.f

11、 xg xf xg xf xg xcf xcf xc定理2 設限與存在，則(1)線性性，其中 為常數(shù) 1212limlimlim.c f xc g xcf xcg x limlimlimf xg xf xg x，極限法則續(xù)）極限法則續(xù)） (2)limlimlim.f x g xf xg x lim(3)lim,lim0.limf xf xg xg xg x其中 limlim,.f xf xR limlim, lim0lim0.f xf xf xf x且無窮小量與無窮大量的性質(zhì)無窮小量與無窮大量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2 有限個無窮小量的積仍然是無窮小量有限個無窮小量的積仍然是無窮小量. .性質(zhì)性質(zhì)1

12、 1 有限個無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量有限個無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量性質(zhì)性質(zhì)3 3 有界量與無窮小量的積仍是無窮小量有界量與無窮小量的積仍是無窮小量. .性質(zhì)性質(zhì)4 4 無窮小量無窮小量 ( )( )的倒數(shù)是無窮大量的倒數(shù)是無窮大量. . 反之，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量反之，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量. .0例例3 322lim 322xxx求22lim 322xxx解22223lim2limlim2xxxxx23 22 2214. 00.xxx當時，多項式的極限等于它在點 處的函數(shù)值 101101,limlim.nnnnnnnnnxaxaPxa xa xaPxa xa xaP a即，

13、若則例例4 4342lim22xxx) 3(lim)42(lim222xxxx818例例5 5942lim23xxx)42(lim)9(lim323xxxx0100解解429lim23xxx942lim23xxx例例6 62211lim.2xxxx求2211lim2xxxx解111lim12xxxxx11lim2xxx11lim1lim2xxxx1.321lim20 xxx21lim10 xx00型例例7 7231lim.2xxxx求“”型2lim1xx 3lim2xxx 231lim2xxxx解23331lim2xxxxxx3211lim112xxxx1tx3020lim0.lim 12tt

14、ttt320lim12tttt例例8 83321lim2xxxx求3321lim2xxxx解333321lim2xxxxxx3212lim112xxx1tx3202lim12ttt3020lim 22.lim 12tttt“”型3lim 21xx 3lim2xxx 例例932lim.1xxxx求“”型1tx231limxxxx解23331limxxxxxx3211lim11xxxx320lim0.1tttt32lim1xxxx故231lim1xxxx. 2lim1xx 3limxxx 例例10sin2lim.xxx求,sin21,xRx 解 因為有1lim0.xx且所以sin2limxxx1l

15、imsin2xxx0.1.2.3 復合函數(shù)的極限復合函數(shù)的極限 00000,(1)lim,(2) lim.limlim.xxuuxxuuyf uuxxuf uAfxuxf uA定理3 設且則v兩個重要極限兩個重要極限0sin1l1im.xxx、1lim.12xxex、0“”型01 型例例11110sin2lim.xxx求0sin2limxxx解0sin2lim2uuuxu0sin2limuuu2.0sin2limxxx解法202sin coslimxxxx00sin2limlim cosxxxxx2.0“ ”型0例例1212 01sinlim,li0m.xxxxx可以證明：其中0tan2lim

16、.sin3xxx求0tan2limsin3xxx解0sin21limcos2sin3xxxx0sin21limcos2sin3xxxx2x2x330002sin211limlimlimsin332cos23xxxxxxxx2.30“ ”型0例例13 13 11lim.xxxx求11limxxxx解11limxxxxxx11limlimxxxxxxx1lim 1xxx. e1 型例例14141lim.1xxxx求1lim1xxxx解1(1) 1lim1xxxx11lim 11xxx11im(l11)1xxx1.e1 型 01limlim 1.xxxxex若，則冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)的極限 000

17、010lim,(2)lim.xxxxu xu xuv xv命題 設（ ）且 0limv xxxu x則 00limlimxxv xxxu x00.vu例例15152lim.1xxxx求2lim1xxxx解21lim 11xxx2111lim 1(1)xxxxx 2lim111lim 1(1)xxxxxx .e2111lim1(1)xxxxx21.3 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義性質(zhì)性質(zhì)函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)連續(xù)的定義設函數(shù)設函數(shù))(xf在在0 x的鄰域的鄰域)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù).

18、. 0000( )( ,(0)(),( );f xa xf xf xf xx若函數(shù)在內(nèi)有定義且則稱在處左連續(xù)點0000( ), ),(0)(),( ).f xx bf xf xf xx若函數(shù)在內(nèi)有定義且則稱在處右連續(xù)點00( )( ).f xxf xx在處連續(xù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)例例1616.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定義知由定義知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf例例1717.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf 00limlim,xxfxfx因 0limxf x所以不存在.x2yxoy21122yx。.定義續(xù)）定義續(xù)） 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).( , ), ( ) , .a bxaxbf xa b 如果函數(shù)在開區(qū)間