函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性典型例題

1、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性例1  （1）畫出函數(shù)y-x2+2x+3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)圖像如下圖所示，當(dāng)x0時(shí)，y-x2+2x+3-（x-1）2+4；當(dāng)x0時(shí)，y-x2-2x+3-（x+1）2+4在（-，-1和0，1上，函數(shù)是增函數(shù)：在-1，0和1，+）上，函數(shù)是減函數(shù)評(píng)析  函數(shù)單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)一個(gè)點(diǎn)沒有增減變化，所以對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)只要函數(shù)有意義，都可以帶上（2）已知函數(shù)f（x）x2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-，4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析  要充分運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是以對(duì)稱軸為界線這一特征解：f（x）x2+2（a-1）x+2x

2、+（a-1）-（a-1）2+2，此二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x1-a因?yàn)樵趨^(qū)間（-，1-a上f（x）是單調(diào)遞減的，若使f（x）在（-，4上單調(diào)遞減，對(duì)稱軸x1-a必須在x=4的右側(cè)或與其重合，即1-a4，a-3評(píng)析  這是涉及逆向思維的問題，即已知函數(shù)的單調(diào)性，求字母參數(shù)范圍，要注意利用數(shù)形結(jié)合例2  判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x） - （2）f（x）（x-1） 解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽因?yàn)閒（-x）-x+1-x-1      x-1-x+1-f（x）所以f（x）為奇函數(shù)（2）f（x）的定義域?yàn)閤-1x1，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

3、所以f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)評(píng)析  用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法如下：（1）求函數(shù)的定義域，并考查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（2）計(jì)算f（-x），并與f（x）比較，判斷f（-x）f（x）或f（-x）-f（x）之一是否成立f（-x）與-f（x）的關(guān)系并不明確時(shí)，可考查f（-x）±f（x）0是否成立，從而判斷函數(shù)的奇偶性例3  已知函數(shù)f（x） （1）判斷f（x）的奇偶性（2）確定f（x）在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?在區(qū)間（0，+）上呢?證明你的結(jié)論解：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，又f（-x） f（x），所以f（x）為偶函數(shù)（2）f（x）在（-，0）上

4、是增函數(shù)，由于f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在（0，+）上為減函數(shù)其證明：取x1x20，f（x1）-f（x2） - 因?yàn)閤1x20，所以x2-x10，x1+x20，x21+10，x22+10，得  f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以f（x）在（-，0）上為增函數(shù)評(píng)析  奇函數(shù)在（a,b）上的單調(diào)性與在（-b,-a）上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在（a,b）與（-b,-a）的單調(diào)性相反例4  已知y=f（x）是奇函數(shù)，它在（0，+）上是增函數(shù)，且f（x）0，試問F（x） 在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論分析  根據(jù)函數(shù)的增減性的定義

5、，可以任取x1x20，進(jìn)而判定F（x1）-F（x2） - 的正負(fù)為此，需分別判定f（x1）、f（x2）與f（x2）的正負(fù)，而這可以從已條件中推出解：任取x1、x2（-，0）且x1x2，則有-x1-x20yf（x）在（0，+）上是增函數(shù)，且f（x）0，f（-x2）f（-x1）0                 又f（x）是奇函數(shù)，f（-x2）-f（x2），f（-x1）-f（x1）      由、得 

6、 f（x2）f（x1）0于是F（x1）-F（x2） 0，即F（x1）F（x2），所以F（x） 在（-，0）上是減函數(shù)評(píng)析  本題最容易發(fā)生的錯(cuò)誤，是受已知條件的影響，一開始就在（0，+）內(nèi)任取x1x2，展開證明這樣就不能保證-x1，-x2，在（-，0）內(nèi)的任意性而導(dǎo)致錯(cuò)誤避免錯(cuò)誤的方法是：要明確證明的目標(biāo)，有針對(duì)性地展開證明活動(dòng)例5  討論函數(shù)f（x） （a0）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性分析  根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義求解解：設(shè)-1x1x2，則f（x1）-f（x2） -         

7、 x1，x2（-1，1），且x1x，x1-x20，1+x1x20，（1-x21）（1-x22）0于是，當(dāng)a0時(shí)，f（x1）f（x2）；當(dāng)a0時(shí)，f（x1）f（x2）故當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在（-1，1）上為減函數(shù)評(píng)析  根據(jù)定義討論（或證明）函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)值，且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并將此差式變形；（3）判斷f（x1）-f（x2）的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性例6  求證：f（x）x+ （k0）在區(qū)間（0，k上單調(diào)遞減解：設(shè)0x1x2k，則f（x1）-f（x2）x1+ -x

8、2-           0x1x2k，x1-x20，0x1x2k2，f（x1）-f（x2）0f（x1）f（x2），f（x）x+ 中（0，k上是減函數(shù)評(píng)析  函數(shù)f（x）在給定區(qū)間上的單調(diào)性反映了函數(shù)f（x）在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)因此，若要證明f（x）在a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），就必須證明對(duì)于區(qū)間a,b上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有不等式f（x1）f（x2）（f（x1）f（x2）類似可以證明：函數(shù)f（x）x+ （k0）在區(qū)間k，+上是增函數(shù)例7  判斷函數(shù)f（x） 的奇偶性分析  確定函數(shù)的定義域后可脫去絕對(duì)值符號(hào)解：由 得函數(shù)的定義域?yàn)?1，1這時(shí)，x-22-xf（x） ，f（-x） f（x）且注意到f（x）不恒為零，從而可知，f（x） 是偶函數(shù)，