6.2Kendall 相關(guān)性檢驗(yàn)

1、6.2Kendall 相關(guān)檢驗(yàn)相關(guān)檢驗(yàn) Spearman（斯伯曼（斯伯曼/斯皮爾曼）斯皮爾曼）秩相關(guān)分析模秩相關(guān)分析模仿了仿了Pearson（皮爾遜）（皮爾遜）相關(guān)的思想，相關(guān)的思想，Kendall（肯（肯德?tīng)枺┑聽(tīng)枺┯谟?938年提出了另一種與年提出了另一種與Spearman秩相關(guān)相秩相關(guān)相似的檢驗(yàn)方法，他從兩個(gè)變量似的檢驗(yàn)方法，他從兩個(gè)變量 是否是否協(xié)同一致的角度出發(fā)檢驗(yàn)兩變量之間是否存在協(xié)同一致的角度出發(fā)檢驗(yàn)兩變量之間是否存在相關(guān)相關(guān)性，其適用條件和性，其適用條件和Spearman秩相關(guān)檢驗(yàn)相同秩相關(guān)檢驗(yàn)相同.首先引入?yún)f(xié)同的概念首先引入?yún)f(xié)同的概念( ,)(1,2, )iix yin定義：

2、定義：假設(shè)假設(shè)n對(duì)觀測(cè)值對(duì)觀測(cè)值 ，如果，如果乘積乘積 對(duì)于對(duì)于 ，則稱數(shù)，則稱數(shù)對(duì)對(duì) 與與 滿足協(xié)同性，或者說(shuō)它們的變化滿足協(xié)同性，或者說(shuō)它們的變化方向一致方向一致. 反之，則稱數(shù)對(duì)不協(xié)同，表示變化方向相反反之，則稱數(shù)對(duì)不協(xié)同，表示變化方向相反. 協(xié)同性測(cè)量了前后兩個(gè)數(shù)對(duì)的秩大小變化為同協(xié)同性測(cè)量了前后兩個(gè)數(shù)對(duì)的秩大小變化為同向還是反向向還是反向.1122( ,),(,),(,)nnx yx yx y() ()0jijixxyy, ,1,2, ,j i i jn (,)iixy(,)jjxyKendall 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 全部的數(shù)據(jù)所有可能前后對(duì)數(shù)共有全部的數(shù)據(jù)所有可能前后對(duì)數(shù)共有對(duì)，

3、用對(duì)，用 表示同向數(shù)對(duì)的數(shù)目，表示同向數(shù)對(duì)的數(shù)目， 表示反向數(shù)對(duì)的表示反向數(shù)對(duì)的數(shù)目，則數(shù)目，則Kendall相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)量由二者的平均差定義如下：相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)量由二者的平均差定義如下： 其中，其中，(1)22nn ncNdN(1)2cdn nNN2(1) / 2(1)cdaNNSn nn n, 11.cdSNN 1）若所有的數(shù)對(duì)協(xié)同一致，則若所有的數(shù)對(duì)協(xié)同一致，則表示兩組數(shù)據(jù)正相關(guān)表示兩組數(shù)據(jù)正相關(guān)2）若所有的數(shù)對(duì)都相反，則）若所有的數(shù)對(duì)都相反，則表示兩組數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)表示兩組數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)3）Kendall 為零時(shí)，表示數(shù)據(jù)中同向或反向的數(shù)對(duì)為零時(shí)，表示數(shù)據(jù)中同向或反向的數(shù)對(duì)勢(shì)力均衡，沒(méi)有明顯趨勢(shì)

4、，這與相關(guān)性的含義是一勢(shì)力均衡，沒(méi)有明顯趨勢(shì)，這與相關(guān)性的含義是一致的致的.(1)/2,0,1cdNn nN0,(1)/2,1cdNNn n 如果定義如果定義則則Kendall 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)量又可定義為統(tǒng)計(jì)量又可定義為式中，式中， 是是 的核估計(jì)量，的核估計(jì)量，因而因而 為為U統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量1;() ()0(, ,)0;() ()01;() ()0jijiijijjijijijixxyyX X Y Yxxyyxxyy12(,)(1)aijijij nXXY Yn n (,)ijijXXY Y()() 0)jijip xx yy定理：定理：在零假設(shè)成立的條件下，在零假設(shè)成立的條件下， 1）

5、 2）關(guān)于原點(diǎn)）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱對(duì)稱(1)(25)( )0, ( )18n nnED大樣本計(jì)算大樣本計(jì)算 當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量n較大時(shí)，較大時(shí)，對(duì)于打結(jié)的情況，對(duì)于打結(jié)的情況，Kendall給出了調(diào)整后的結(jié)果為給出了調(diào)整后的結(jié)果為其中，其中， 是是X觀測(cè)值中第觀測(cè)值中第i組打結(jié)的個(gè)數(shù)，組打結(jié)的個(gè)數(shù)， 為為Y觀測(cè)觀測(cè)值中第值中第j組打結(jié)的個(gè)數(shù)組打結(jié)的個(gè)數(shù).18(0,1)(1)(25)Nn nn(1)/2(1)/2(1)/2(1)/2biijjijSn nn n ij當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量n較大時(shí)，相應(yīng)的大樣本近似公式為較大時(shí)，相應(yīng)的大樣本近似公式為12(0,1)(1)(25)/18cdNNNn nn

6、tttt 12(1)(25),(1)(25)(1)(1) /2 (1)(1)(2)(1)(2) / 9 (1)(2)iiijjjijiijjijiiijjjijtttn ntn nn 其中其中易得，在沒(méi)有打結(jié)的情況下，易得，在沒(méi)有打結(jié)的情況下， ，且大樣本近似也，且大樣本近似也一樣一樣ab 在實(shí)際問(wèn)題中，不失一般性，假定在實(shí)際問(wèn)題中，不失一般性，假定 已從小到已從小到大排列，因此大排列，因此協(xié)同性問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為協(xié)同性問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為 的秩的變化問(wèn)的秩的變化問(wèn)題題. 令令 為為 的秩，因而的秩，因而x,y的的秩秩形成形成 ，若記，若記令令 ，則，則Kendall 統(tǒng)計(jì)量的值為統(tǒng)計(jì)量的值為 ixiy12

7、,nddd12,nyyy12(1,),(2,),( ,), 1nddn din ()(),1,2,1,2,jijiiddj iiddj ipIinqIin11,nniiiiPp Qq(1)/ 2PQKn n 也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè) ，求當(dāng)前位置后比，求當(dāng)前位置后比 大的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，將這些數(shù)相加所得就是大的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，將這些數(shù)相加所得就是 ，同理，同理可計(jì)算可計(jì)算 . Kendall 還經(jīng)常用于分析列聯(lián)表數(shù)據(jù)，度量?jī)蛇€經(jīng)常用于分析列聯(lián)表數(shù)據(jù)，度量?jī)蓚€(gè)有序變量的相關(guān)性，當(dāng)列聯(lián)表中的行列數(shù)目個(gè)有序變量的相關(guān)性，當(dāng)列聯(lián)表中的行列數(shù)目r和和c較大時(shí)，使用較大時(shí)，使用 Kendall 更

8、合適更合適. bciyiycNdN22 (),min( , )(2)cdcq NNqr cnqKendall 檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果 當(dāng)當(dāng) 時(shí)拒絕零假設(shè)，當(dāng)時(shí)拒絕零假設(shè)，當(dāng) 時(shí)不能拒絕零時(shí)不能拒絕零假設(shè)假設(shè). 臨界值臨界值 滿足滿足 ，由對(duì)稱性得，由對(duì)稱性得，K小于小于0時(shí)，取絕對(duì)值查表即可時(shí)，取絕對(duì)值查表即可.KCKCC()p KC例：現(xiàn)在想研究體重和肺活量的關(guān)系，調(diào)查了某地例：現(xiàn)在想研究體重和肺活量的關(guān)系，調(diào)查了某地10名女初中生的體重和肺活量的數(shù)據(jù)如下所示，名女初中生的體重和肺活量的數(shù)據(jù)如下所示，進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn). 學(xué)生體重和肺活量比較表學(xué)生體重和肺活量比較表 指標(biāo)指標(biāo) 學(xué) 生 編

9、學(xué) 生 編號(hào)號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10體重體重x 75 95 85 70 76 68 60 66 80 88 肺活量肺活量y2.62 2.91 2.94 2.11 2.17 1.98 2.04 2.20 2.65 2.69解：解：建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題為建立假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題為 體重和肺活量沒(méi)有相關(guān)關(guān)系體重和肺活量沒(méi)有相關(guān)關(guān)系 體重和肺活量有相關(guān)關(guān)系體重和肺活量有相關(guān)關(guān)系計(jì)算每個(gè)變量的秩如下表：計(jì)算每個(gè)變量的秩如下表：0:H1:H秩秩學(xué)生編號(hào)學(xué)生編號(hào) 7 8 6 4 1 5 9 3 10 2 體重體重x的秩的秩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10肺活量肺活量y y的秩的秩 2 5 1 3 6 4 7 10 8 9 和和 的求解方法如下：的求解方法如下：cNdN38,7,31,10, (1)10 990cdcdNNSNNnn n 秩秩 1 2 8 1 2 5 5 3 3 1 7 0 4 3 6 0 5 6 4 1 6 4 4 0 7 7 3 0 8 10 0 2 9 8 1 0 10 9 0 0 合計(jì)合計(jì) 38 7cNdN(,)iixy由公式得由公式得在給定顯著性水平在給定顯著性水平 下下 ，故拒絕零假設(shè)，認(rèn)為體重和肺活量之間有相關(guān)關(guān)系故拒絕零假設(shè)，認(rèn)為體重和肺