大學物理第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動ppt課件

1、1第第 3 3 章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動2 剛體剛體-形狀與大小都不變的物體理想模形狀與大小都不變的物體理想模型）型） 剛體是一個特殊的質(zhì)點系剛體是一個特殊的質(zhì)點系 -質(zhì)點之間的距離與相對位置都保持不變質(zhì)點之間的距離與相對位置都保持不變3.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述1. 平動平動 2. 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 定點轉(zhuǎn)動有瞬時軸）定點轉(zhuǎn)動有瞬時軸） 這章學習方法這章學習方法: 對比法對比質(zhì)點力學）對比法對比質(zhì)點力學）3.1.1 剛體的運動剛體的運動 33.1.2 剛體的角量描述剛體的角量描述 1.角坐標角坐標 oPxOPOP與極軸之間的夾角與極軸之間的夾角稱為角坐標或

2、角位置）稱為角坐標或角位置）角坐標為標量，但可有正負。角坐標為標量，但可有正負。 剛體作定軸轉(zhuǎn)動時剛體作定軸轉(zhuǎn)動時, 剛體上各質(zhì)點都作圓周運動。剛體上各質(zhì)點都作圓周運動。各質(zhì)點運動的線量一般不同，但角量完全相同。各質(zhì)點運動的線量一般不同，但角量完全相同。在定軸轉(zhuǎn)動過程中，角坐標是時間的函數(shù)：在定軸轉(zhuǎn)動過程中，角坐標是時間的函數(shù)：=(t)，稱為轉(zhuǎn)動方程。，稱為轉(zhuǎn)動方程。4角坐標的增量角坐標的增量 稱為剛體的角位移稱為剛體的角位移2.角位移角位移 平均角速度平均角速度t 3.角速度角速度 角速度角速度t 0tlimtdd 角速度方向：滿足右手定則，沿角速度方向：滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動方向右旋大拇

3、指指向。剛體轉(zhuǎn)動方向右旋大拇指指向。54.角加速度角加速度 平均角加速度平均角加速度角加速度角加速度t t 0tlimtdd 22ddt 角速度和角加速度都是矢量，但對于定軸轉(zhuǎn)動的剛角速度和角加速度都是矢量，但對于定軸轉(zhuǎn)動的剛體，角速度和角加速度的方向只有兩個，我們用正體，角速度和角加速度的方向只有兩個，我們用正負表示角速度和角加速度的方向。負表示角速度和角加速度的方向。65.角量與線量的關系角量與線量的關系 xosrpp路程與角位移的關系路程與角位移的關系 rs 線速度與角速度的關系線速度與角速度的關系 rv 圓周運動時加速度與角量的關系圓周運動時加速度與角量的關系dtdvat rva2n

4、rdtdr r)r(2 2r 73.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 1.力對轉(zhuǎn)軸的矩力對轉(zhuǎn)軸的矩 力對固定點的矩力對固定點的矩FrM 力對固定軸的矩力對固定軸的矩OPdrrFM把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果，對軸的矩為零。果，對軸的矩為零。 FrM8【例【例1 1】一勻質(zhì)細桿，長為】一勻質(zhì)細桿，長為 l l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m m ，在摩擦系數(shù)，在摩擦系數(shù)為為 的水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩的水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩 MM阻。阻

5、?！窘狻織U上各質(zhì)元均受摩擦力作用，各質(zhì)元所受的【解】桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，各質(zhì)元所受的摩擦阻力矩不同。摩擦阻力矩不同。mlodmdxxx細桿的質(zhì)量密度細桿的質(zhì)量密度lm 質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元質(zhì)量dxdm 質(zhì)元受阻力矩質(zhì)元受阻力矩dmgxdM 阻細桿受的阻力矩細桿受的阻力矩 阻阻dMM2gl21 mgl21 l0gxdx 92. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律考慮剛體上某一質(zhì)元考慮剛體上某一質(zhì)元 ，其受力如圖所示。對質(zhì)元應，其受力如圖所示。對質(zhì)元應用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iiiiamfF 法向分力的力矩為零，對切向力有法向分力的力矩為零，對切向力有itiititamfF iitiiitii

6、tramrfrF 10 )rm(ramrfrF2iiiitiiitiit 對所有質(zhì)元求和，得到對所有質(zhì)元求和，得到左邊第二項表示內(nèi)力矩之和，等于零。左邊第二項表示內(nèi)力矩之和，等于零。左邊第一項表示合外力矩，記作左邊第一項表示合外力矩，記作M。 只與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的分布只與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的分布有關，稱為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，記作有關，稱為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，記作J。 )rm(2ii 則上式可簡寫成則上式可簡寫成 JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律iitiiitiitramrfrF 113.2.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量 )rm(J2ii 剛體的轉(zhuǎn)動慣量

7、與剛體的形狀、大小、質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關。量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關。 對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體 V2V2VdrmdrJ S2S2SdrmdrJ （面質(zhì)量分布）（面質(zhì)量分布） L2L2l drmdrJ （線質(zhì)量分布）（線質(zhì)量分布）12【例【例2】半徑為】半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。 M02dmRJ【解】分割質(zhì)量元，環(huán)上各質(zhì)元到軸的距離相等?！窘狻糠指钯|(zhì)量元，環(huán)上各質(zhì)元到軸的距離相等。 M02dmR2MR 【例【例3】在無質(zhì)輕桿的】

8、在無質(zhì)輕桿的 b 處處 3b 處各系質(zhì)量為處各系質(zhì)量為 2m 和和 m 的質(zhì)點，可繞的質(zhì)點，可繞 O軸轉(zhuǎn)動，求質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動，求質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量J。【解】【解】 21i2iirmJ 22)b3(mmb2 2mb11 13oR【例【例4】一質(zhì)量為】一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均勻圓盤，求對通的均勻圓盤，求對通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量?！窘狻俊窘狻縭dr2md mdrJ2 rdr23 R03rdr2J 2mR212R 4 rdr14【例【例5】長為】長為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細桿，繞與桿垂直的的勻質(zhì)細桿，繞與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)

9、動慣量質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J。xo【解】建立坐標系，分割質(zhì)量元【解】建立坐標系，分割質(zhì)量元dxx dmxJ22ml121 2l2l2dxlmx【例【例6】長為】長為 l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細桿，繞細桿一端軸的勻質(zhì)細桿，繞細桿一端軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 J?！窘狻俊窘狻縳odxx dmxJ2 l02dxlmx2ml31 15 計算轉(zhuǎn)動慣量計算轉(zhuǎn)動慣量J 的三條有用的定理的三條有用的定理 （2平行軸定理平行軸定理: iJJ2mdJJ cA所以所以 Jc 總是最小的?？偸亲钚〉摹JACdJC平行平行 （1疊加定理疊加定理: 對同一轉(zhuǎn)軸對同一轉(zhuǎn)軸 J 有可疊加性有可疊加性16

10、（3垂直軸定理垂直軸定理:（對薄平板剛體）（對薄平板剛體） myxmrdd222yxzJJJ 【例【例7】求對薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量】求對薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量221mRJz 224121mRJJmRJJJyxzyx yx z yi xiOim ir0rxzxyy17【例【例8】 計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量知：擺錘質(zhì)量為計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為半徑為r，擺桿質(zhì)量也為，擺桿質(zhì)量也為m，長度為，長度為2r）。）。rO【解】【解】 擺桿轉(zhuǎn)動慣量：擺桿轉(zhuǎn)動慣量： 221mr34r2m31J 擺錘轉(zhuǎn)動慣量：擺錘轉(zhuǎn)動慣量： 2222C2mr219r3mmr21mdJJ 22221mr66

11、5mr219mr34JJJ 18 知：兩物體知：兩物體 m1、m2m2 m1 ) 滑輪滑輪 m、R, 可看成質(zhì)量均勻的圓盤可看成質(zhì)量均勻的圓盤, 軸上的摩擦力矩為軸上的摩擦力矩為 Mf設繩輕，且設繩輕，且 不伸長不伸長,與滑輪無相對滑動）。與滑輪無相對滑動）。求求:物體的加速度及繩中張力。物體的加速度及繩中張力?！纠纠?】m1m2mR3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用 【解】分別對【解】分別對m1, m2, m分析分析19因繩不伸長，有因繩不伸長，有 a1= a2= a因繩輕，有因繩輕，有2211,TTTT對對m1有有對對 m2有有 m2g - T2= m2 a -（2

12、）gm11T1agm22T2amg2T 1T fMNR T1- m1g - = m1 a -（1）對滑輪對滑輪 m 由轉(zhuǎn)動方程由轉(zhuǎn)動方程-（3） 21221mRJMRTRTf 再從運動學關系上有再從運動學關系上有 Raat 聯(lián)立四式解得：聯(lián)立四式解得：- （4）20 mmmRMgmmaf212112 2222111211mmmRMmgmmmagmTf 2222122122mmmRMmgmmmagmTf 21 當不計滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時當不計滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時: gmmmma1212 gmmmmTT2121212 （與中學作過的一致！）（與中學作過的一致?。﹎ = 0, Mf = 0 ，有有討

13、論討論22【解】【解】 （1建立坐標系，分割質(zhì)量元。重力矩為：建立坐標系，分割質(zhì)量元。重力矩為：【例【例9 9】質(zhì)量為】質(zhì)量為m,m,長為長為L L的均質(zhì)細棒的均質(zhì)細棒, ,轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)軸在O O點點, ,今使今使棒從靜止開始由水平位置繞棒從靜止開始由水平位置繞O O點轉(zhuǎn)動點轉(zhuǎn)動, ,求求: :（1 1下擺到下擺到角角時，細棒所受的重力矩時，細棒所受的重力矩; ;（2 2水平位置的角速度水平位置的角速度和角加速度和角加速度; ;（2 2垂直位置時的角速度和角加速度。垂直位置時的角速度和角加速度。OxdmgdmCmgx xdmgxgdmMcmgxM 據(jù)質(zhì)心定義據(jù)質(zhì)心定義mxdmxC 得得 cos2l

14、mgM 即即23(2)(2)在水平位置時在水平位置時0 2LmgM L2g33/mlMJM2 (3)任意角度任意角度時時 cos2LmgM L2cosg3JM L2cosg3dddddtddtd 由由積分積分 dL2cosg3d200 解得垂直位置時解得垂直位置時Lg3 0 得到得到243.3 定軸轉(zhuǎn)動剛體的功與能定軸轉(zhuǎn)動剛體的功與能1.1.力矩的功力矩的功 oPFddsrz 0MdA剛體在外力作用下繞軸轉(zhuǎn)過微小角位剛體在外力作用下繞軸轉(zhuǎn)過微小角位移移 d d，外力作的微功為：，外力作的微功為：rdFdA |rd| )2cos(F dssinF dsinFr Md 剛體從剛體從0 0位置轉(zhuǎn)到位

15、置轉(zhuǎn)到 位置，外力作的功為：位置，外力作的功為：25留意：留意：1)1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種表達方式。表達方式。2)2)內(nèi)力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的功為零。內(nèi)力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的功為零。2.剛體的動能剛體的動能 zmiiriv剛體中第剛體中第i個質(zhì)元的動能：個質(zhì)元的動能： 22ii2iii krm21m21E v整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：整個剛體的轉(zhuǎn)動動能： 22iiikkrm21EE 22ii)rm(21 2J21 263.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理 設在外力矩設在外力矩 M 的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移的作用下，剛體繞

16、定軸發(fā)生角位移d 元功元功 dMAd 由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律tddJM dJdtddJAd 有有 21dJA 2122J21J21 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力矩對剛體剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 274.4.剛體的重力勢能剛體的重力勢能 iighmEp剛體是個質(zhì)點系，其功能原理為剛體是個質(zhì)點系，其功能原理為cmgh mhmmgii mimchihc- - 機械能守恒定律機械能守恒定律A外外+A內(nèi)非內(nèi)非=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）5.定軸轉(zhuǎn)動剛體的功能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的功能定理 假設假設 A外外=A內(nèi)非內(nèi)

17、非=o，那么，那么 Ek+Ep=常量常量28【解】只有重力作功，機械能守恒?！窘狻恐挥兄亓ψ鞴Γ瑱C械能守恒。22204874121mllmmlJ )(解得解得lg7sin62 【例【例10】知：均勻直桿質(zhì)量為】知：均勻直桿質(zhì)量為m，長為，長為l，軸，軸o光光滑，滑， ，初始靜止在水平位置。求，初始靜止在水平位置。求: 桿下桿下擺到擺到角時角速度角時角速度 ？ 4/ lAO 042120 sinlmgJ0CABl , ml /4293.4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律3.4.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 iiiimrLv 質(zhì)元質(zhì)元 對軸的角動量

18、為對軸的角動量為 imirivim定軸轉(zhuǎn)動剛體上的所有質(zhì)元都作圓周運動定軸轉(zhuǎn)動剛體上的所有質(zhì)元都作圓周運動剛體對軸的角動量為剛體對軸的角動量為 i2iii2iiii)rm(rmLL 得得 JL 30由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 JM dtdJ dt)J(d dtdL dtdLM 0LLttLLdLMdt00 作用在剛體上的沖量矩等于作用時間內(nèi)角動量的增量作用在剛體上的沖量矩等于作用時間內(nèi)角動量的增量定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理微分形式定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理微分形式定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理積分形式定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理積分形式得到得到313.4.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動

19、量守恒定律 恒量 JL當當 M=0 時，那時，那么么定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理dtdLM 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律：當剛體所受的合定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律：當剛體所受的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。 該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動的任意物體系統(tǒng)。動的任意物體系統(tǒng)。 32【例【例11】質(zhì)量】質(zhì)量 m 長長 l 的均勻細桿可繞過其中點處的水的均勻細桿可繞過其中點處的水平光滑固定軸平光滑固定軸 0 轉(zhuǎn)動，如果一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動，如果一質(zhì)量為 m的小球以速度的小球以速

20、度 豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞忽略軸處摩擦豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞忽略軸處摩擦求：碰后小球的速度及桿的角速度。求：碰后小球的速度及桿的角速度。ulm uvmo【解】桿的角速度【解】桿的角速度肯定如圖，假設小球碰后瞬時肯定如圖，假設小球碰后瞬時的速度的速度 向上，如下圖。向上，如下圖。v系統(tǒng)：小球系統(tǒng)：小球+桿桿條件：條件：M=0 角動量守恒軸角動量守恒軸力無力矩；小球的重力矩與碰力無力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩相比可以忽略）撞的內(nèi)力矩相比可以忽略）33)1(212122lvmmllum 因為彈性碰撞因為彈性碰撞, 動能守恒動能守恒)2(2112121212222vmmlum 解得解得 ;33mmummv lmmum)3(6 討論討論1. 0 對對2. 當當 m 3m 時時,v 0向上）向上） 當當 m =3m 時時, v = 0瞬時靜止）瞬時靜止） 當當 m 3m 時時,v 0向下）向下）34oRm0Rmg32 【例【例1212