建筑力學13PPT精選文檔

1、12第十三章第十三章 位位 移移 法法 131 等截面單跨超靜定梁的桿端內力、轉角位移方程等截面單跨超靜定梁的桿端內力、轉角位移方程 132 位移法的基本概念位移法的基本概念133 位移法基本未知量數目的確定位移法基本未知量數目的確定134 位移法典型方程位移法典型方程135 用位移法計算超靜定結構用位移法計算超靜定結構3 力法和位移法是分析超靜定結構的兩種基本方法。力法于十九世紀末開始應用，位移法建立于上世紀初。位移法位移法以某些結點位移為基本未知量結點位移為基本未知量，由平衡條件建立位移法方程，求出位移后再計算內力。 力法力法以多余未知力為基本未知量多余未知力為基本未知量，由位移條件建立力

2、法方程，求出內力后再計算位移。4131等截面單跨超靜定梁的桿端內力、轉角位移方等截面單跨超靜定梁的桿端內力、轉角位移方程程 用位移法計算超靜定剛架時，每根桿件均視為單跨超靜定梁。 計算時，要用到各種單跨超靜定梁在桿端產生位移(線位移、角位 移)時,以及在荷載等因素作用下的桿端內力(彎矩、剪力)。為了應用方便，首先推導桿端彎矩公式。 如圖所示，兩端固定的等截 面梁，ABLEIPAB A BAB AB 除受荷載外，兩支座還發(fā)生位移：轉角 A、 B及側移AB 。 轉角A、 B順時針為正， AB則以整個桿件順時針方向轉動為正。 在位移法中，彎矩的符號規(guī)定如下：彎矩是以對桿端順時針為正(對結點或對支座以

3、逆時針為正)桿端剪力符號規(guī)定與原來相同。 圖中所示均為正值MABAMBABQABQBA5ABLEIPAB A BAB AB 用力法解此問題，選取基本結構如圖。Pt1t2X1X2X3 多余未知力為X1、X2。力法典型方程為11X1+12X2+ 1P+ 1=A21X1+22X2+ 2P+2=B為計算系數和自由項，作1M、2M、MP圖。1M圖12M圖1MP圖XAXB 由圖乘法算出：EI3L11，EI3L22EI6L2112LXEIBP1，LXEIAP2AB AB由圖知LABAB21 這里，AB稱為弦轉角，順時針為 正。6將以上系數和自由項代入典型方程，可解得X1=gABABBAMLEILEILEI2

4、624X2=gBAABABMLEILEILEI2624令lEIi 稱為桿件的線剛度線剛度。此外，用MAB代替X1，用MBA代替X2，上式可寫成MAB= 4iA+2i BABli6gABMMBA= 4i B +2i AABli6gABM(131） 是此兩端固定的梁在荷載、溫度變化等外因作用下的桿端彎矩，稱為固端彎矩固端彎矩。gABMgBAM桿端彎矩求出后，桿端剪力便不難由平衡條件求出。（略）式(131）是兩端固定的等截面梁的桿端彎矩的一般公式，通常稱為轉角位移方程轉角位移方程。i =EI/l ABA=1lEIM圖圖AB4i2iliQliQBAAB/6/66i/lAB6i/lQ圖圖iMiMBAAB

5、24形常數示例（兩端固定梁）（線剛度）（線剛度）lAB=1EIM圖圖AB6i/l6i/l22/12/12liQliQBAABAB12i/l2Q圖圖12i/l2liMliMBAAB/6/6（續(xù)） ABl/2l/2P8/8/PlMPlMPBAPAB2/2/PQPQPBAPABABP/2P/2Q圖圖ABPl/8Pl/8M圖圖 載常數示例（兩端固定梁）qABl/2l/212/12/22qlMqlMPBAPABABql2/12ql2/12M圖圖（續(xù)）2/2/qlQqlQPBAPABABql/2ql/2Q圖圖132 位移法的基本概念位移法的基本概念一、解題思路一、解題思路qCllBBBA(a)原結構：CB

6、BBACBBBACBA(d)(c)(b)基本體系：Z1= BZ1= BqqRR11R1P實現位移狀態(tài)可分兩步完成：實現位移狀態(tài)可分兩步完成： 1 1）在可動結點上附加約束，限）在可動結點上附加約束，限制其位移，在荷載作用下，附加制其位移，在荷載作用下，附加約束上產生附加約束力；約束上產生附加約束力；2 2）在附加約束上施加外力，使）在附加約束上施加外力，使結構發(fā)生與原結構一致的結點位結構發(fā)生與原結構一致的結點位移。移。對比約束結構與原結構可發(fā)現，對比約束結構與原結構可發(fā)現，附加約束上的附加內力應等于附加約束上的附加內力應等于0 0，按此可列出基本方程。按此可列出基本方程。11111111111

7、11111/0r0RrRZRZZrRRppp所以：其中：平衡條件：122、解題示例、解題示例qCllBBBA原結構原結構CBBBA基本體系基本體系Z1qACBAZ1= 1CBM1圖圖2ql/82ql/8Mp圖圖2EI/l4EI/l3EI/l01111 pRZr解：解：位移法方程位移法方程13lEIlEIlEIr73411 821qlRP EIqllEIqlrRZp5678321111 式中：式中：依依M=M1+MP繪彎矩圖繪彎矩圖,依依M圖繪剪力圖圖繪剪力圖:CBACBAM圖圖2ql/8Q圖圖ql/28ql/14224ql/73ql/73ql/28依內力圖求支座反力依內力圖求支座反力:MA=q

8、l/28 ( ); VA=3ql/28 ( ); VB=19ql/28 ( ) ; VC=3ql/7( )214第第六六節(jié)節(jié)建建立立位位移移法法方方程程的的另另一一作作法法-由由原原結結構構取取隔隔離離體體直直接接建建立立平平衡衡方方程程一一、“新新法法”與與“老老法法”的的概概念念：1、新新法法：通通過過基基本本結結構構列列位位移移法法方方程程，進進而而求求解解結結點點未未知知位位移移的的方方法法。2、老老法法：不不通通過過基基本本結結構構，直直接接依依據據“轉轉角角位位移移方方程程”，由由原原結結構構取取隔隔離離體體，利利用用平平衡衡條條件件直直接接建建立立位位移移法法方方程程的的方方法法

9、。二二、取取隔隔離離體體建建立立平平衡衡方方程程（老老法法）的的解解題題步步驟驟、舉舉例例：建立位移法方程的另一作法建立位移法方程的另一作法由原結構取隔離體直接建立平衡方程由原結構取隔離體直接建立平衡方程15根據轉角位移方程：根據轉角位移方程：12ABEIMZl14BAEIMZl13316BCPEIMZF ll0CBM根據結點根據結點B B的力矩平衡條件：的力矩平衡條件：0ABBCMM將桿端彎矩代入上式的：將桿端彎矩代入上式的：1433()016PEIEIZF lll所以：所以：213112PF lZEI另一種解題思路：另一種解題思路：直接由平衡條件建立位移法基本方直接由平衡條件建立位移法基本

10、方程程16再將再將Z1Z1代回桿端彎矩的表達式：代回桿端彎矩的表達式：232311256PABPF lEIMF llEI234311228PBAPF lEIMF llEI233311216328PBCPPF lEIMF llEIF l 0CBM17無結點線位移剛架無結點線位移剛架123EI=常數P2l2l 剛架在荷載P作用下將發(fā)生如虛線所示的變形。Z1Z1在剛結點1處發(fā)生轉角Z1，結點沒有線位移。則12桿可以視為一根兩端固定的梁（見圖）。1PZ1213桿可以視為一根一端固定另一端鉸支的梁（見圖）。13Z1 可見，在計算剛架時，如果以Z1為基本未知量，設法首先求出Z1，則各桿的內力即可求出。這就

11、是位移法的基本思路。Z118有結點線位移剛架有結點線位移剛架 一般情況下，剛架若干接點可能同時發(fā)生轉角和線位移。如圖所示剛架C、D兩剛結點除分別發(fā)生轉角Z1、Z2外，還會產生同一水平線位移Z3，只有同時求出這三個未知量，才能確定全部桿端彎矩和剪力。 結點角位移仍列結點彎矩平衡方程： 結點線位移列有線位移的結構部分的力的投影平衡方程：0CM0DM0CACDMM0DCDBMM0XF 0PQCAQDBFFF19 用位移法計算超靜定結構時，每一根桿件都視為一根單跨超靜定梁。因此，位移法的基本結構就是把每一根桿件都暫時變?yōu)橐桓鶈慰绯o定梁。通常的做法是，在每個剛結點上假想地加上一個附加剛臂附加剛臂(僅阻

12、止剛結點轉動),同時在有線位移的結點上加上附加附加支座鏈桿支座鏈桿(阻止結點移動)。123456例如 ( 見圖a)(a)又例如(見圖b)(b)234567共有四個剛結點，結點線位移數目為二，基本未知量為六個。基本結構如圖所示。1 基本未知量三個。20 以圖(a)所示剛架為例，闡述在位移法中如何建立基本機構以及求解基本未知量。PL2l2l1234EI=常數常數 基本未知量為:Z1、Z2 。Z1Z2基本結構如圖(b)所示。(a)(b)基本結構基本結構1234=Z1Z2R1=0=0PR1附加剛臂上的反力矩R2附加鏈桿上的反力據疊加原理,=Z1R211234134PR2P12234則有R1=R11+R

13、12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R22R2R12R11R1PZ221R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一個下標表示該反力的位置，第二個下標表示引起該反力的原因。設以 r11、r12分別表示由單位位移1121ZZ、 所引起的剛臂上的反力矩， 以 r21、r22分別表示由單位位移1121ZZ、所引起的鏈桿上的反力，則上式可寫成r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0(135) 這就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法典型方程位移法典型方程。它的物理意義是：基本結構在荷載等外因和結點位移的共同作用下，每一個附加聯(lián)系中的

14、附加反力矩或反力都應等于零(靜力平衡條靜力平衡條件件)。 對于具有 n 個獨立結點位移的剛架，同樣可以建立 n 個方程：r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0 (137）22r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0 (137）在上述典型方程中，rii 稱為主系數主系數，rij(ij) 稱為副系副系數數。RiP稱為

15、自由項自由項。主系數恒為正，副系數和自由項可能為正、負或零。據反力互等定理，副系數 rij=rji (ij)。 在位移法典型方程中，每個系數都是單位位移所引起的附加聯(lián)系的反力(或反力矩)。231121ZZ、以及載荷作用下的彎矩圖21MM 、 計算典型方程中的系數和自由項，基本結構在和MP圖：13421342134211Z圖1M4i2i3i圖2Mli 6li 6li 312ZPMP圖8Pl 系數和自由項可分為兩類：附加剛臂上的反力矩 r11、r12、和R 1P；是附加鏈桿上的反力 r21、r22和R2P。 r21r22R2P(a)(b)(c)可分別在圖(a)、(b)、(c)中取結點1為隔離體，4

16、i8Pl由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i ,lir612R1P=8Pl。r11=7i ,Li 6r12R1P=8PL，對于附加鏈桿上的反力，可分別在圖(a)、(b)、(c）中用截面法割斷兩柱頂端，取柱頂端以上橫梁部分為隔離體，由表131查出桿端剪力，121212 li 60 212li23li 2P0由方程X=0求得r21=Li 6222Li15rR2P=P/2 r21r22R2PR 1Pr12 r1124將系數和自由項代入典型方程(135)有08PLZLi 6iZ72102PZLi15ZLi 6221解此方程得，iPL5529Z1iPL55222Z22所得均為正值，說明Z 1、Z2與

17、所設方向相同。最后彎矩圖由疊加法繪制：P2211MZMZMM例如桿端彎矩M31為8PLiPL55222Li 6iPL5529i 2M231PL552183M圖圖1234Pl552183PPl55260Pl55227Pl55227Pl55266M圖繪出后，Q 、N圖即可由平衡條件繪出(略）。25直接由平衡條件建立位移法基本方程 用位移法計算超靜定剛架時，需加入附加剛臂和鏈桿以取得基本結構，由附加剛臂和鏈桿上的總反力矩(或反力)等于零的條件，建立位移法的基本方程。 我們也可以不通過基本結構，直接由平衡條件建立位移法基本方程。舉例說明如下：舉例說明如下：1234P2L2LLiii取結點1，由M1=0

18、及截取兩柱頂端以上橫梁部分，由X=0 (見圖)得：M12M13112Q24Q13由轉角位移方程及表101得8PLZLi 6iZ4M2113112iZ3M2PZLi12ZLi 6Q221132224ZLi 3Q將以上四式代入式(a)、(b)得08PLZLi 6iZ72102PZLi15ZLi 6221所建立的典型方程完全一樣，可見，兩種方法本質相同，只是處理方法上不同。26由上所述，位移法的計算步驟歸納如下： (1) 確定結構的基本未知量的數目(獨立的結點角位移和線位移)，并引入附加聯(lián)系而得到基本結構。 (2) 令各附加聯(lián)系發(fā)生與原結構相同的結點位移，根據基本結構在荷載等外因和各結點位移共同作用

19、下，各附加聯(lián)系上的反力矩或反力均應等于零的條件，建立位移法的基本方程。 (3) 繪出基本結構在各單位結點位移作用下的彎矩圖和荷載作用下的彎矩圖，由平衡條件求出各系數和自由項。 (4) 結算典型方程，求出作為基本未知量的各結點位移。 (5) 按疊加法繪制最后彎矩圖。 27超靜定結構計算的總原則超靜定結構計算的總原則: : 欲求超靜定結構先取一個基本體系欲求超靜定結構先取一個基本體系, ,然然后讓基本體系在受力方面和變形方面與原后讓基本體系在受力方面和變形方面與原結構完全一樣。結構完全一樣。 力法的特點：力法的特點：基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基本體系基本體系靜定結構；靜定結構；基

20、本方程基本方程位移條件位移條件 （變形協(xié)調條件）（變形協(xié)調條件） 位移法的特點：位移法的特點：基本未知量基本未知量 基本體系基本體系 基本方程基本方程 獨立結點位移獨立結點位移平衡條件平衡條件？一組單跨超靜定梁一組單跨超靜定梁28例：試用力法計算圖示連續(xù)梁結構，并繪出彎矩圖。解：將梁中間改為鉸接，加多余未知力X1得基本體系如圖（B）所示。 建立力法典型方程： 11110PX求系數和自由項：111121122(1)(1)23233LLLEIEIEI 代入典型方程得：120316PF LLXEIEI最后彎矩： 1PM M XM211 11()24216PPpF LF LLEIEI 1332PF L

21、X用力法求解超靜定結構用力法求解超靜定結構29用位移法求解超靜定結構用位移法求解超靜定結構例：試用位移法計算圖示連續(xù)梁結構，并繪出彎矩圖。解：基本未知量分別為剛結點B點的角位移Z1，基本體系如圖（B）所示。 用轉角位移方程寫出個桿端內力如下（其中 ）EIil0ABM13316BAPMiZF l13BCMiZ0CBM從原結構中取出圖c隔離體。由圖c的平衡條件：0BM0BABCMM136016PiZF l1132PZF li 0ABM332BAPMF l332BCPMF l 0CBM30總總 結結 力法是在原結構中解除多余約束得到基本結構力法是在原結構中解除多余約束得到基本結構; ; 位移法是在原

22、位移法是在原結構上加約束于阻止結點的全部獨立角位移與線位移結構上加約束于阻止結點的全部獨立角位移與線位移, ,從而得到從而得到基本結構基本結構. .一個是減少約束得到靜定結構一個是減少約束得到靜定結構; ; 一個是增加約束一個是增加約束, ,得到得到超靜定次數更高的結構。這是兩者的根本區(qū)別。超靜定次數更高的結構。這是兩者的根本區(qū)別。 對于同一結構對于同一結構, ,力法可以選擇不同的基本結構力法可以選擇不同的基本結構, ,而位移法只有而位移法只有唯一的一種基本結構唯一的一種基本結構. . 對于超靜定次數高而結點位移數目少的超靜定結構對于超靜定次數高而結點位移數目少的超靜定結構, ,用位移用位移法

23、比力法要簡便得多法比力法要簡便得多; ;相反相反, ,如果結點位移數目多如果結點位移數目多, ,而超靜定次而超靜定次數少的結構數少的結構, ,則用力法要簡便些。則用力法要簡便些。31133 位移法基本未知量數目的確定 在位移法中，基本未知量是各結點的角位移和線位移。計算時，應首先確定獨立的角位移和線位移數目。 (1) 獨立角位移數目的確定 由于在同一結點處，各桿端的轉角都是相等的，因此每一個剛結點只有一個獨立的角位移未知量。1.位移法的基本未知量這樣，結構獨立角位移數目就等于結構剛結點的數目結構獨立角位移數目就等于結構剛結點的數目。例如圖示剛架：123456獨立結點角位移數目為2。32 (2)

24、獨立線位移數目的確定 在一般情況下，每個結點均可能有水平和豎向兩個線位移。但通常對受彎桿件略去其軸向變形，其彎曲變形也是微小的，于是可以認為受彎直桿的長度變形后保持不變，故每一受彎直桿就相當于一個約束，從而減少了結點的線位移數目，故結點只有一個獨立線位移(側移)。例如(見圖a）1234564、5、6 三個固定 端 都是不動的點，結點1、2、3均無豎向位移。又因兩根橫梁其長度不變，故三個結點均有相同的水平位移 。P(a)事實上，圖(a)所示結構的獨立線位移數目，與圖(b)所示鉸結體系的線位移數目是相同的。因此，實用上為了能簡捷地確定出結構的獨立線位移數目，可以(b) 將結構的剛結點(包括固定支座

25、)都變成鉸結點(成為鉸結體系),則使其成為幾何不變添加的最少鏈桿數，即為原結構的獨立線位移數目(見圖b)。33線位移舉例： 圖a剛架改為鉸結體系后，只需增設兩根附加鏈桿就能變成幾何不變體系（圖b所示），故有兩個角位移。34140線位移舉例： 35123456例如 ：圖a(a)(b)234567圖b共有四個剛結點，結點線位移數目為二，基本未知量為六個?；窘Y構如圖所示。1 基本未知量三個。基本結構如圖所示。（3）位移法基本未知量的確定 位移法基本未知量數目應等于結構結點的獨立角位移和線位移二者之和。36橫梁剛度無窮大的剛架結構橫梁剛度無窮大的剛架結構 圖示剛架因橫梁剛度無窮大而不發(fā)生彎曲變形，只

26、發(fā)生剛性平移，柱子則發(fā)生彎曲變形。所以用位移法計算時，結構只有水平線位移而無結點角位移，故結構只有一個基本未知量。PEI 基本結構基本結構EI 37排架結構 圖（a）所示排架，將其變成鉸結體系后圖（圖b） ，需增加兩根附加鏈桿的約束，才能成為幾何不變體系，故有兩個線位移。結點3是一組合結點 確定角位移時，要注意結點3是一個組合結點， 桿件2B應視為23和3B兩桿在3處剛性聯(lián)結而成，故結點3處有一轉角，該排架的位移法基本未知量共有3個。習題習題 131求作剛架的M圖4m6m3EIEIEI10kN/mACDB：(1) 基本未知量： 1（C)、2 (2) 寫各桿端彎矩：令iCA=EI/4= i，則i

27、CD = 2i212121212326223464iiliiMiiliiMCACACAACCACACACA135 135 用位移法計算超靜定結構用位移法計算超靜定結構2043481036)2(33222111iliMiiiMBDBDBDCDCD(3)建立位移法方程 取結點C為隔離體 ) 1 (023100021iiMMMCACDC即 截取含有2的柱頂以上的橫梁為隔離體00DBCAQQX其中，分別取柱AC和BD為隔離體，則由BDBDBDDBBACCAACCAAqllMQMlMMQM2100代入得 080 BDCAACMMM即 (2) 06075. 3621ii(1)、(2)即為位移法方程 ，聯(lián)立

28、解得 1 = 3.16/i , 2 = 21.05/i將1、2代入轉角位移方程，可得各桿端彎矩：mkNMmkNMmkNMmkNMBDCDACCA79.3595.1805.2594.18據此作出M圖。25.2618.9435.792018.94ABCDMM圖（圖（kNmkNm）42 例 圖示剛架的支座A產生了水平位移a、豎向位移b=4a及轉角=a/L，試繪其彎矩圖。ABCEI2EILLAa 解：基本未知量 Z 1(結點C轉角)；Z 1基本結構如圖示；ABCZ 1基本結構基本結構建立位移法典型方程：r11Z1+R1=0為計算系數和自由項，作圖1M和M圖(設EI/L=i) ABCZ 1=1圖1Mb8i4i3iABCM圖 基本結構由于支座位移產生的固端彎矩(由表131)查得iaLiiMFAC20)2(6)2(4iaLiiMFCA16)2(6)2(2iaLibLiMFCB1243320i16i12i8i3i由圖1M求得r11=8i+3i=11i由M圖求得12i16iR1=16i+12i=28iR1 r11R143將上述系數和自由項代入典型方程，便有11iZ1+28i=0解得Z1=1128剛架的最后彎矩圖為MZMM11ABCABCZ 1=1圖1M8i4i3iABCM圖20i16i12i例如：MAC= 4i1128+20i=i1110