第4章_非線性系統(tǒng)線性化

1、非線性系統(tǒng)的線性化非線性系統(tǒng)的線性化 1 1、傳統(tǒng)近似線性化、傳統(tǒng)近似線性化 2 2、精確線性化、精確線性化 3 3、現(xiàn)代近似線性化、現(xiàn)代近似線性化第四章第四章Company Logol 條件苛刻，計算復(fù)雜l 基本思想：一階近似l 適用于工作點(diǎn)范圍不大情況l 基本思想：通過坐標(biāo)變換把強(qiáng)非線性系統(tǒng)變換成弱非線性系統(tǒng)或通過狀態(tài)反饋以保持線性系統(tǒng)的部分特點(diǎn)。傳統(tǒng)近似線性化精確線性化非線性系統(tǒng)線性化方法現(xiàn)代近似線性化近似線性化傳統(tǒng)近似線性化最小二乘法泰勒展開傅里葉級數(shù)展開誤差最小忽略高階項忽略高次諧波雅可比矩陣忽略高階項傳統(tǒng)近似線性化方法傳統(tǒng)近似線性化方法非線性系統(tǒng)反饋線性化非線性系統(tǒng)反饋線性化_ _

2、主要內(nèi)容4.0 緒論緒論4.1 基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法4.2 單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計線性定常系統(tǒng)設(shè)計線性定常系統(tǒng)設(shè)計閉環(huán)極點(diǎn)配置閉環(huán)極點(diǎn)配置一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計：逆系統(tǒng)方法一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計：逆系統(tǒng)方法4.3 反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型輸入輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化輸入

3、輸入輸出線性化輸出線性化線性系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)線性系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)零動態(tài)子系統(tǒng)零動態(tài)子系統(tǒng)4.4 數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)知識微分同胚與狀態(tài)變換微分同胚與狀態(tài)變換弗羅貝尼斯定理弗羅貝尼斯定理4.5 非線性系統(tǒng)反饋線性化非線性系統(tǒng)反饋線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入輸出線性化輸出線性化多輸入多輸入多輸出系統(tǒng)的反饋線性化多輸出系統(tǒng)的反饋線性化4.6 近似線性化方法近似線性化方法非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論 非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來引起人們極大興趣的一種非線性控制系非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來引起人們

4、極大興趣的一種非線性控制系統(tǒng)設(shè)計方法。這種方法的思路是通過狀態(tài)或輸出的反饋，將一個非線性系統(tǒng)的統(tǒng)設(shè)計方法。這種方法的思路是通過狀態(tài)或輸出的反饋，將一個非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性變成（全部或部分）線性的動態(tài)特性，從而可以應(yīng)用熟知的線性控制動態(tài)特性變成（全部或部分）線性的動態(tài)特性，從而可以應(yīng)用熟知的線性控制的方法對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計與控制。反饋線性化通過嚴(yán)格的狀態(tài)變換與反饋?zhàn)儞Q來的方法對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計與控制。反饋線性化通過嚴(yán)格的狀態(tài)變換與反饋?zhàn)儞Q來達(dá)到，線性化過程中沒有忽略任何高階非線性項，因而這種線性化是精確的。達(dá)到，線性化過程中沒有忽略任何高階非線性項，因而這種線性化是精確的。 目前反饋線性化的方法主要有兩

5、種：目前反饋線性化的方法主要有兩種：1）精確線性化方法）精確線性化方法(exact linearization method)，如微分幾何方法，隱函數(shù)方，如微分幾何方法，隱函數(shù)方法和逆系統(tǒng)方法等；法和逆系統(tǒng)方法等；2）基于參考模型的漸近線性化方法，如模型參考方法及模型參考自適應(yīng)方法）基于參考模型的漸近線性化方法，如模型參考方法及模型參考自適應(yīng)方法等。而確切地說，這兩種線性化方法都是模型參考方法，不過前者可稱為隱含等。而確切地說，這兩種線性化方法都是模型參考方法，不過前者可稱為隱含模型參考方法（模型參考方法（implicit model reference approach），而后者為實際模型參

6、考），而后者為實際模型參考方法（方法（real model refernce approach）。）。 精確線性化方法中，微分幾何方法和逆系統(tǒng)方法已形成各自的理論體系并精確線性化方法中，微分幾何方法和逆系統(tǒng)方法已形成各自的理論體系并在許多領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用。相比之下基于隱函數(shù)方法的直接線性化方法由于在許多領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用。相比之下基于隱函數(shù)方法的直接線性化方法由于其可應(yīng)用的范圍較窄，理論上又難以深入，被研究得要少得多。其可應(yīng)用的范圍較窄，理論上又難以深入，被研究得要少得多。 在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法的非線性系統(tǒng)在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法的

7、非線性系統(tǒng)反饋線性化方法是最重要和最有效的一種設(shè)計方法，這類方法稱為非線性系統(tǒng)反饋線性化方法是最重要和最有效的一種設(shè)計方法，這類方法稱為非線性系統(tǒng)反饋線性化的直接方法。反饋線性化的直接方法。 運(yùn)用控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)的概念，提出一種建立在控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)漸運(yùn)用控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)的概念，提出一種建立在控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定概念上的新的設(shè)計方法。本方法認(rèn)為：控制系統(tǒng)的輸入直接控制的是系近穩(wěn)定概念上的新的設(shè)計方法。本方法認(rèn)為：控制系統(tǒng)的輸入直接控制的是系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束下運(yùn)動的。當(dāng)系統(tǒng)對統(tǒng)的動平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束下運(yùn)動的。當(dāng)系統(tǒng)對其平衡狀

8、態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定時，其狀態(tài)將在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)約束下漸近收斂于系統(tǒng)的其平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定時，其狀態(tài)將在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)約束下漸近收斂于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。當(dāng)其平衡狀態(tài)運(yùn)動時，系統(tǒng)的狀態(tài)亦將跟蹤其平衡狀態(tài)運(yùn)動。因此平衡狀態(tài)。當(dāng)其平衡狀態(tài)運(yùn)動時，系統(tǒng)的狀態(tài)亦將跟蹤其平衡狀態(tài)運(yùn)動。因此控制系統(tǒng)平衡狀態(tài)的運(yùn)動，即可實現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)及輸出的控制。控制系統(tǒng)平衡狀態(tài)的運(yùn)動，即可實現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)及輸出的控制。 模型參考方法在跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計中是一種十分有效的方法。這一方法不模型參考方法在跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計中是一種十分有效的方法。這一方法不僅在相對復(fù)雜的非線性系統(tǒng)設(shè)計中得到應(yīng)用，即使在線性定常系統(tǒng)的設(shè)計中同僅在相對復(fù)雜的非線

9、性系統(tǒng)設(shè)計中得到應(yīng)用，即使在線性定常系統(tǒng)的設(shè)計中同樣也得到大量的應(yīng)用。樣也得到大量的應(yīng)用。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反饋線按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反饋線性化的直接方法：性化的直接方法：（1）按系統(tǒng)的動態(tài)性能要求設(shè)計一滿足希望特性的線性動態(tài)系統(tǒng)作為模）按系統(tǒng)的動態(tài)性能要求設(shè)計一滿足希望特性的線性動態(tài)系統(tǒng)作為模型參考系統(tǒng)。型參考系統(tǒng)。（2）以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實際被控系統(tǒng)的被控平衡狀態(tài)。利用李）以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實際被控系統(tǒng)的被控平衡狀態(tài)。利用李亞普諾夫直接方法設(shè)計控制律使系

10、統(tǒng)對動平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定。從而被控系統(tǒng)近亞普諾夫直接方法設(shè)計控制律使系統(tǒng)對動平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定。從而被控系統(tǒng)近似具有模型參考系統(tǒng)的動態(tài)特性，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的反饋線性化。似具有模型參考系統(tǒng)的動態(tài)特性，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的反饋線性化。 為此，控制系統(tǒng)的設(shè)計可分為兩步：首先，設(shè)計控制律使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為此，控制系統(tǒng)的設(shè)計可分為兩步：首先，設(shè)計控制律使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)按預(yù)定的方式運(yùn)動。然后，按某一指標(biāo)設(shè)計系統(tǒng)，使其狀態(tài)按最佳方式向平衡按預(yù)定的方式運(yùn)動。然后，按某一指標(biāo)設(shè)計系統(tǒng)，使其狀態(tài)按最佳方式向平衡狀態(tài)收斂，從而實現(xiàn)對狀態(tài)的控制。這一方法很好地解決了將僅適用于自由動狀態(tài)收斂，從而實現(xiàn)對狀態(tài)的控制。這一方法很好

11、地解決了將僅適用于自由動態(tài)系統(tǒng)分析與設(shè)計的李亞普諾夫直接方法應(yīng)用于跟蹤控制問題所帶來的理論沖態(tài)系統(tǒng)分析與設(shè)計的李亞普諾夫直接方法應(yīng)用于跟蹤控制問題所帶來的理論沖突，將穩(wěn)定性問題（調(diào)節(jié)問題）與跟蹤問題統(tǒng)一起來。為控制系統(tǒng)的分析與設(shè)突，將穩(wěn)定性問題（調(diào)節(jié)問題）與跟蹤問題統(tǒng)一起來。為控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計提供了一條新的思路。計提供了一條新的思路。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論其中，其中， 為狀態(tài)向量，為狀態(tài)向量， 為控制向量，為控制向量， 為向量函數(shù)。為向量函數(shù)。 其中其中 為狀態(tài)向量，為狀態(tài)向量， 為控制向量，為控制向量， , 為常數(shù)矩為常數(shù)矩陣，并且陣，并且 的所有特征值均具有負(fù)

12、實部。則下述基于李雅普諾夫第二方法的設(shè)的所有特征值均具有負(fù)實部。則下述基于李雅普諾夫第二方法的設(shè)計可以實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)計可以實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài) 對對 的漸近跟蹤，從而實現(xiàn)非線性系統(tǒng)動態(tài)特性的線性的漸近跟蹤，從而實現(xiàn)非線性系統(tǒng)動態(tài)特性的線性化。化。),(tuxfx vBxAxddddnRxmRundRx 基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法線性化直接方法按上述方法，基本設(shè)計過程如下：按上述方法，基本設(shè)計過程如下：考慮一般的非線性系統(tǒng)考慮一般的非線性系統(tǒng) （1.1）f設(shè)希望的線性系統(tǒng)動態(tài)特性為設(shè)希望的線性系統(tǒng)動態(tài)特性為 （1.2）mRvnndRAmndRB令狀態(tài)

13、偏差為令狀態(tài)偏差為 ，則有，則有 dxxedxxe由式（由式（1.1）和式（）和式（1.2）可得系統(tǒng)的狀態(tài)偏差方程為：）可得系統(tǒng)的狀態(tài)偏差方程為： （1.3）)(),()(),(vBxAtuxfeAvBxAtuxfxxedddddddxdxdA其中其中 ，且，且 。則有。則有 的導(dǎo)數(shù)為：的導(dǎo)數(shù)為： （1.5） 其中其中 ， 為標(biāo)量函數(shù)。為標(biāo)量函數(shù)。nnTRPP0P基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法線性化直接方法取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù)取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù) （1.4）)(eV 因為當(dāng)狀態(tài)偏差因為當(dāng)狀態(tài)偏差 的歐幾里德范數(shù)的歐幾里德范數(shù) 時，時， ，

14、平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài) 是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。從而有是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。從而有 時，時， 。由上面的分析可直接給出。由上面的分析可直接給出如下定理：如下定理： 定理定理1.1 給定非線性時變系統(tǒng)（給定非線性時變系統(tǒng)（1.1）及模型參考系統(tǒng)（）及模型參考系統(tǒng)（1.2）。設(shè)）。設(shè) 穩(wěn)穩(wěn) 定，定， 是模型參考自由系統(tǒng)（對應(yīng)于是模型參考自由系統(tǒng)（對應(yīng)于 ）在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的李雅普諾）在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制夫函數(shù)。那么，若存在控制 使使PeeeVT)(MQeevBxAtuxfPeePAPAeeVTddTdTdT2)(),(2)()(nndTdRPAPAQ)()(),(vBxAt

15、uxfPeMddT 由于由于 的所有特征值均具有負(fù)實部，因此可找到正定矩陣的所有特征值均具有負(fù)實部，因此可找到正定矩陣 ，使，使 為一為一負(fù)定矩陣。若能選取控制向量負(fù)定矩陣。若能選取控制向量 （ 為可能用到的為可能用到的 的各階導(dǎo)的各階導(dǎo)數(shù)），使數(shù)），使 ，則，則 為李雅普諾夫函數(shù)。為李雅普諾夫函數(shù)。dAPQ),),(,(tvduxxud)(duu0M)(eVee)(eV0etdxx dAPeeeVT)(0vu 若能選擇若能選擇 使使 在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時反饋線性化的魯棒性。有參數(shù)不確定時反饋線性化的魯棒

16、性。 若選取的若選取的 使使 ，則稱非線性系統(tǒng)（，則稱非線性系統(tǒng)（1.1）被精確線性化。）被精確線性化。 我們可給出定理我們可給出定理1.1更一般的情況如下：更一般的情況如下：基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法線性化直接方法 （1.6）則偏差系統(tǒng)（則偏差系統(tǒng)（1.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。證明：證明： 因為因為 是偏差自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)，因此有是偏差自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)，因此有 負(fù)定。負(fù)定。 定理定理1.2 考慮狀態(tài)偏差系統(tǒng)（考慮狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）。設(shè)其對應(yīng)

17、的自由動態(tài)系統(tǒng)）。設(shè)其對應(yīng)的自由動態(tài)系統(tǒng) 在在平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 大范圍一致漸近穩(wěn)定，大范圍一致漸近穩(wěn)定， 是自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫是自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。如果控制策略函數(shù)。如果控制策略 使使0)(),(vBxAtuxfPeMddTuMu0MeAed0e),( teV),(tvxu （1.7）則被控的狀態(tài)偏差系統(tǒng)（則被控的狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）是大范圍一致漸近穩(wěn)定。）是大范圍一致漸近穩(wěn)定。0)(),(),(vBxAtuxfeteVddT),( teVeAeVdtdVdtdeeVdtdVteVdTT),(基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性

18、化直接方法線性化直接方法將將 作為偏差控制系統(tǒng)（作為偏差控制系統(tǒng)（1.3）的可能的李亞普諾夫函數(shù)，有）的可能的李亞普諾夫函數(shù)，有 由于上式右端第一項負(fù)定，顯然若式（由于上式右端第一項負(fù)定，顯然若式（1.7）成立，則）成立，則 負(fù)定。式（負(fù)定。式（1.3）的被控狀態(tài)偏差系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。的被控狀態(tài)偏差系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。),( teV)(),(),(vBxAtuxfeAeVdtdVdtdeeVdtdVteVdddT)(),(vBxAtuxfeVeAeVdtdVddTdT),( teV 非線性系統(tǒng)的反饋線性化，確切地說還可以分為輸入非線性系統(tǒng)的反饋線性化，確切地說還可以分為輸入-狀態(tài)線性

19、化和輸狀態(tài)線性化和輸入入-輸出線性化。輸出線性化。 對調(diào)節(jié)問題（穩(wěn)定性問題）采用輸入對調(diào)節(jié)問題（穩(wěn)定性問題）采用輸入-狀態(tài)線性化通常即可滿足要求對狀態(tài)線性化通常即可滿足要求對系統(tǒng)的調(diào)節(jié)要求；但對跟蹤問題通常必須采用輸入系統(tǒng)的調(diào)節(jié)要求；但對跟蹤問題通常必須采用輸入-輸出線性化設(shè)計才能滿輸出線性化設(shè)計才能滿足對系統(tǒng)的性能要求。足對系統(tǒng)的性能要求。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計魯棒設(shè)計 設(shè)系統(tǒng)由下述微分方程表示設(shè)系統(tǒng)由下述微分方程表示 （2.1） 其中為其中為 輸入，輸入， 為輸出。取輸出及其前為輸出。取輸出及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，方程階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)

20、變量，方程（2.1）可表示為如下的狀態(tài)空間表達(dá)形式：）可表示為如下的狀態(tài)空間表達(dá)形式：( )(1)()( , , )nnmyf y yyu uut)(tu)(ty),(0000000100001000010121121tuxfxxxxxxxxnnnnTnxxxy21001（2.1a）簡記為簡記為 （2.1b）),(),(00tuxftuxfxAxbCxy 單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計魯棒設(shè)計 其中其中 為狀態(tài)向量，為狀態(tài)向量， 表示控制表示控制 及其前及其前m階階導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。設(shè)上述系統(tǒng)的希望動態(tài)特性可用下述線性定常模型系統(tǒng)表示：設(shè)上述系統(tǒng)的希望動

21、態(tài)特性可用下述線性定常模型系統(tǒng)表示： （2.2） 其中其中 為希望輸出，為希望輸出， 為模型的輸入，為模型的輸入， ， 為常數(shù)。同樣取為常數(shù)。同樣取 及及其前其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可得其對應(yīng)的可控型狀態(tài)空間表達(dá)式為：階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可得其對應(yīng)的可控型狀態(tài)空間表達(dá)式為： （2.2a）nTnRxxxx211mRuu( )(1)(2)121nnndndndyyyyydyvn,21dyvbxAxdddddCxy 其中其中 為模型的狀態(tài)向量；為模型的狀態(tài)向量； ， ， 為常數(shù)。為常數(shù)。dxndA2110001000db001C單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯

22、棒設(shè)計魯棒設(shè)計 根據(jù)動平衡狀態(tài)理論，我們可以將根據(jù)動平衡狀態(tài)理論，我們可以將 作為被控系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)，通過設(shè)作為被控系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)，通過設(shè)計合適的控制律，使所構(gòu)成的控制系統(tǒng)中被控狀態(tài)計合適的控制律，使所構(gòu)成的控制系統(tǒng)中被控狀態(tài) 對動平衡狀態(tài)對動平衡狀態(tài) 在大范圍在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。從而實現(xiàn)內(nèi)漸近穩(wěn)定。從而實現(xiàn) 對對 ，亦即，亦即 對對 的漸近逼近，使被控系統(tǒng)具有所希的漸近逼近，使被控系統(tǒng)具有所希望的動態(tài)特性。實現(xiàn)上述目標(biāo)的一個直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。望的動態(tài)特性。實現(xiàn)上述目標(biāo)的一個直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。為此，以為此，以 為動平衡狀態(tài)，定義誤差向量為動平衡狀態(tài)，定義

23、誤差向量 （2.3）xy由式（由式（2.1a）及式（）及式（2.2a）可得）可得 （2.4）dxdxxdxdydxdxxevbxAtuxfxAxxedddbd),(0),()(0vbtuxfxAAeAdbdd取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù)取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù) （2.5）PeeeVT)(其中其中 ，且，且 。則有。則有 的導(dǎo)數(shù)為：的導(dǎo)數(shù)為： （2.6） nnTRPP0P)(eVMQeevbtuxfxAAPeePAPAeeVTdbdTdTdT2),()(2)()(0單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計魯棒設(shè)計 其中：其中： （2.7） （2.8） 為標(biāo)量函數(shù)。為標(biāo)

24、量函數(shù)。nndTdRPAPAQ)(),()(0vbtuxfxAAPeMdbdTM 由于系統(tǒng)（由于系統(tǒng)（2.1a）和系統(tǒng)（）和系統(tǒng)（2.2a）均為可控型，）均為可控型， 的確定可以進(jìn)一步簡化。的確定可以進(jìn)一步簡化。由式（由式（2.8）我們有：）我們有： （2.9）uTnnTvfxxxPeM22110011vfxpeniniiiinifpme 其中：其中： （2.10） （2.11）niinippee1vfxmniiif1單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計魯棒設(shè)計 ， 為標(biāo)量，以后的計算中，只需根據(jù)式（為標(biāo)量，以后的計算中，只需根據(jù)式（2.10）和（）和（

25、2.11）便可確）便可確定控制規(guī)律定控制規(guī)律 。 upefm 因為當(dāng)狀態(tài)偏差因為當(dāng)狀態(tài)偏差 的歐幾里德范數(shù)的歐幾里德范數(shù) 時，時， ，平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài) 是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，即是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，即 為控制系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定的動平衡狀態(tài)。為控制系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定的動平衡狀態(tài)。從而有從而有 時，時， 。由上面的分析可直接給出如下定理：。由上面的分析可直接給出如下定理：ee)(eV0etdxx dx 定理定理2.1 給定非線性時變系統(tǒng)（給定非線性時變系統(tǒng)（2.1）及模型參考系統(tǒng)（）及模型參考系統(tǒng)（2.2）。設(shè)）。設(shè) 穩(wěn)穩(wěn)定，定， 為模型參考自由系統(tǒng)（為模型參考自由系統(tǒng)（ ）在原點(diǎn)平衡狀

26、態(tài)的李亞普諾夫函數(shù)。那么，）在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的李亞普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制若存在控制 使使則偏差系統(tǒng)（則偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。dAV0vu)sgn()sgn(pfem 若能選擇若能選擇 使使 在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時反饋線性化的魯棒性。有參數(shù)不確定時反饋線性化的魯棒性。 在這一方法中，若令在這一方法中，若令 ，即可實現(xiàn)系統(tǒng)的精確線性化。若非線性系統(tǒng)

27、，即可實現(xiàn)系統(tǒng)的精確線性化。若非線性系統(tǒng)是仿射非線性的，則其結(jié)果同微分幾何方法。是仿射非線性的，則其結(jié)果同微分幾何方法。uM0M仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計 考慮仿射非線性系統(tǒng)考慮仿射非線性系統(tǒng) （2.12） 選取選取 及其前及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可將其轉(zhuǎn)換為式（階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可將其轉(zhuǎn)換為式（2.1）形式的狀）形式的狀態(tài)空間表達(dá)式，且其中態(tài)空間表達(dá)式，且其中 （2.13） （2.14）y 由定理由定理2.1，令，令 ，可實現(xiàn)仿射非線性系統(tǒng)的精確線性化。由式，可實現(xiàn)仿射非線性系統(tǒng)的精確線性化。由式（2.14）得精確線性化得控制策略為）得

28、精確線性化得控制策略為 （2.15）uyyygyyyfynanan),(),()1()1()(uxgxftuxfaa)()(),(vuxgxfxmaaniiif)()(11.精確線性化精確線性化0fm)()(11xfxvxguaniiia2.魯棒線性化設(shè)計魯棒線性化設(shè)計仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計 （1）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性 （2.16）其中其中 ，則控制策略，則控制策略 （2.17）將使系統(tǒng)魯棒線性化。將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：證明： 將將 代入代入 整理后有整理后有 由式（由式（2.9）有：）有： 由定理

29、由定理2.1，偏差系統(tǒng)（，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。fmuxgxfxftuxfaaa)()()(),(max| )(|xfa)sgn()()(11paniiiaexfxvxguu)sgn(pafefm0|)sgn(pappapfpefeefemeM（2）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性 （2.18）uxgxgxfxftuxfaaaa)()()()(),(仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出

30、線性化及魯棒設(shè)計 其中其中 ， 。不失一般性，設(shè)。不失一般性，設(shè)則控制策略則控制策略 （2.19）將使系統(tǒng)魯棒線性化。將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：證明： 將將 代入代入 整理后有整理后有由式（由式（2.9）有：）有： 由定理由定理2.1，偏差系統(tǒng)（，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。fmmax| )(|xfaumax| )()(|xgxgaa)()(xgxgaa)sgn(| )(|11paniiiexfxvu)sgn(| )(|)(11paniii

31、aaaaniiifexfxvggvffxm)sgn(| )(|)(11paniiiaaaaniiipfpexfxvggvffxemeM0| )(|)(11pappaniiiaaaniiipefeexfxvggvfxe線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計 考慮變系數(shù)線性系統(tǒng)考慮變系數(shù)線性系統(tǒng) （2.20）utbutbutbytaytaytaymmnnn)()()()()()(01)(12)1()(對照式（對照式（2.1b）有）有 （2.21）mjjjniiiubxatuxf1)(1),(根據(jù)式（根據(jù)式（2.9）-（2.11），在保證），在保證 非正（即

32、非正（即 非正）的前提下，至少有非正）的前提下，至少有如下幾種選擇方式。如下幾種選擇方式。fmM1.精確抵消法精確抵消法選擇選擇 使使 ，即，即 。這時可取。這時可取 （2.22）0fmu0M)()()(111)(11)(vutbxtaxtbumjjjniiiniiimm)()(11)(1vubxtatbmjjjniiiim線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計 此時李雅普諾夫函數(shù)此時李雅普諾夫函數(shù) ， ，其中，其中 ， 。系統(tǒng)。系統(tǒng)的動態(tài)方程直接由式（的動態(tài)方程直接由式（2.2）所示。）所示。2.非精確抵消法非精確抵消法由式（由式（2.9）-（2.1

33、1），我們有），我們有 （2.23）設(shè)設(shè) 不變號，取不變號，取 （2.24）PeeeVT)(QeeeVT)(0P0Q 由于要使由于要使 為李亞普諾夫函數(shù)，只需為李亞普諾夫函數(shù)，只需 非正，這就為本方法中非正，這就為本方法中 的選的選擇帶來了極大的便利，最簡單直接的方法就是取絕對值加符號函數(shù)方法。擇帶來了極大的便利，最簡單直接的方法就是取絕對值加符號函數(shù)方法。)(eVMufpmeM11vfxpeniniiiini)()(0)(111vutbxtaxpemjjjniiiniiiniinimb)sgn(|)(|)(|)(1110)(11)(niinimjjjniiiniiimmpevutbxtaxt

34、bu線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計 代入式（代入式（2.23），并考慮到對任意函數(shù)），并考慮到對任意函數(shù) 有有 ，我們有，我們有可見按式（可見按式（2.24）確定的）確定的 保證了保證了 為李雅普諾夫函數(shù)。為李雅普諾夫函數(shù)。)sgn( ffff0)()(|)(|()(|)(|()|()()(|)(|)(|10)(10)(111110)(1110)(11veveutbeutbextaextaexexevutbxtaxevutbxtaxeMppmjjjpmjjjpniiipniiipniiipniiipmjjjniiiniiipmjjjniiini

35、iipu)(eV3.魯棒控制系統(tǒng)的實現(xiàn)魯棒控制系統(tǒng)的實現(xiàn)線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計 在上述非精確抵消方法中，如果可預(yù)先確定系統(tǒng)各參數(shù)取值的絕對值的在上述非精確抵消方法中，如果可預(yù)先確定系統(tǒng)各參數(shù)取值的絕對值的最大值，則下述按參數(shù)絕對值最大值選取的控制律，不僅能保證最大值，則下述按參數(shù)絕對值最大值選取的控制律，不僅能保證 為李雅為李雅普諾夫函數(shù)，同時還將使系統(tǒng)對區(qū)間內(nèi)變化的參數(shù)具有魯棒性。普諾夫函數(shù)，同時還將使系統(tǒng)對區(qū)間內(nèi)變化的參數(shù)具有魯棒性。在式（在式（2.24）中，除）中，除 外，取各參數(shù)絕對值的最大值，有外，取各參數(shù)絕對值的最大值，有

36、（2.25） )(tbm)(eV)sgn(| )(| )(|)(110)(max1max1)(pmjjjniiiniiimmevutbxtaxtbu其中其中 ， 。 )(max(| )(|maxtataii)(max(| )(|maxtbtbjj 顯然，如果我們選擇顯然，如果我們選擇 ， 。則將。則將使使系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)一步增加，同時還可使系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)一步增加，同時還可使 的收斂速度加快。的收斂速度加快。)(max(| )(|maxtataii)(max(| )(|maxtbtbjjdxx 線性定常系統(tǒng)設(shè)計線性定常系統(tǒng)設(shè)計閉環(huán)極點(diǎn)配置閉環(huán)極點(diǎn)配置 考慮線性定常系統(tǒng)考慮線性定常系統(tǒng) （2.26）

37、對照式（對照式（2.1b）有）有 （2.27）buxatuxfniii1),(設(shè)系統(tǒng)的希望動態(tài)特性如式（設(shè)系統(tǒng)的希望動態(tài)特性如式（2.2）所示。則由式（）所示。則由式（2.11）有）有 （2.28）buyayayaynnn12)1()(11111vbuxaxpevfxpemeMniiiniiiniinininiiiinifp其中其中 （2.29）vbuxaxmniiiniiif11線性定常系統(tǒng)設(shè)計線性定常系統(tǒng)設(shè)計閉環(huán)極點(diǎn)配置閉環(huán)極點(diǎn)配置 令令 ，即，即 。則有。則有 ， 為李亞普諾為李亞普諾夫函數(shù)，其中夫函數(shù)，其中 ， 。當(dāng)。當(dāng) ，將有，將有 。0P這時由式（這時由式（3.29）可解出）可解出

38、 （2.30）0fm)(11niiiixavbu其中其中 ， 。0M0)(QeeeVTPeeeVT)(0Qtdxx 1Kxvb21nkkkKiiiak), 1(ni 這一結(jié)果同狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法的結(jié)果是一致的。相當(dāng)于利用線性狀這一結(jié)果同狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法的結(jié)果是一致的。相當(dāng)于利用線性狀態(tài)反饋將原系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到了希望系統(tǒng)的極點(diǎn)位置。其具體實現(xiàn)形式為：態(tài)反饋將原系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到了希望系統(tǒng)的極點(diǎn)位置。其具體實現(xiàn)形式為： 一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計：一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計：逆系統(tǒng)方法逆系統(tǒng)方法考慮非線性系統(tǒng)考慮非線性系統(tǒng) （2.31） 將上式作為代數(shù)方程來看，如果從中可解出將

39、上式作為代數(shù)方程來看，如果從中可解出 的顯式表示的顯式表示 （2.33）則式（則式（2.33）即為系統(tǒng)（）即為系統(tǒng)（2.31）的逆系統(tǒng)）的逆系統(tǒng)。u),()()1()(tuuuyyyfymnn 選取選取 及其前及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，用階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，用 表示表示 及其前及其前m階導(dǎo)數(shù)，則階導(dǎo)數(shù)，則上式可記為上式可記為 （2.32）ymu),()(tuxfymn)(mu),(1)()(tuxyhumnm 在方程（在方程（2.33）中，記）中，記 ，則得到系統(tǒng)（，則得到系統(tǒng)（2.33）的）的n階積分逆階積分逆系統(tǒng)系統(tǒng) ，由下式表示：，由下式表示： （2.34）)(nyun:),(1)(t

40、uxhumm一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計：一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計：逆系統(tǒng)方法逆系統(tǒng)方法將將 代入代入 可得：可得： （2.35） 令令 ，可得精確線性化控制策略為，可得精確線性化控制策略為 （2.33）fm)(nyfvxminiif10fm1niiix 反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型 最簡單形式的反饋線性化是將非線性系統(tǒng)中的非線性抵消掉，使閉環(huán)動最簡單形式的反饋線性化是將非線性系統(tǒng)中的非線性抵消掉，使閉環(huán)動態(tài)特性變成線性形式。態(tài)特性變成線性形式。 例例3.1 控制水箱液面高度控制水箱液面高度考慮將水箱中液面的高度考慮將水箱中液面的高度h，控制在指定的高，控制在指定的高度

41、度 ，控制輸入是進(jìn)入水箱的液體流量，控制輸入是進(jìn)入水箱的液體流量u，初，初始高度為始高度為 。 其中其中 是水箱的橫截面積，是水箱的橫截面積，a是出水管的橫截面積。如果初始高度是出水管的橫截面積。如果初始高度 與期望高度與期望高度 相差懸殊，相差懸殊，h的控制就是一個非線性調(diào)節(jié)問題。的控制就是一個非線性調(diào)節(jié)問題。 動態(tài)方程式（動態(tài)方程式（3.1）可重寫為）可重寫為:dh0h水箱的動態(tài)模型為水箱的動態(tài)模型為 （3.1）ghatudhhAdtdh2)()(0)(hA0hdhghauhhA2)(反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型 若選若選 為為 （3.2）式中式中 為待求的為待求的“等效輸入等效輸

42、入”，則得到線性的動態(tài)方程，則得到線性的動態(tài)方程 選取選取 為為 （3.3）其中其中 為液面高度誤差，為液面高度誤差，a為一嚴(yán)格正常數(shù)，則得到閉環(huán)動態(tài)方程為：為一嚴(yán)格正常數(shù)，則得到閉環(huán)動態(tài)方程為： （3.4） 這說明當(dāng)時這說明當(dāng)時 ， 。根據(jù)式（。根據(jù)式（3.2）和式（）和式（3.3），實際的輸入流），實際的輸入流量由下列非線性控制律確定：量由下列非線性控制律確定： （3.5）式（式（3.5）中，右端第一項用來提供輸出流量）中，右端第一項用來提供輸出流量 ，第二項則是用來根據(jù)期，第二項則是用來根據(jù)期望的線性動態(tài)特性式（望的線性動態(tài)特性式（3.4）去改變液面高度。）去改變液面高度。v)(tuvh

43、Aghatu)(2)(vh havvdhthh)(0 haht0)(thhahAghatu)(2)(gha 2反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型 類似地，如果期望高度是一個已知的時變函數(shù)類似地，如果期望高度是一個已知的時變函數(shù) ，則等效輸入，則等效輸入 可選為：可選為： 從而仍得到從而仍得到 時時 的結(jié)果。的結(jié)果。vt0)(th)(thdhathvd)( 反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個期望的線性動態(tài)特性，可以反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個期望的線性動態(tài)特性，可以直接應(yīng)用于一類由所謂伴隨型或能控標(biāo)準(zhǔn)形所描述的非線性系統(tǒng)。直接應(yīng)用于一類由所謂伴隨型或能控標(biāo)準(zhǔn)形所描述的非線性系

44、統(tǒng)。 所謂一個系統(tǒng)是伴隨型的，是指其動態(tài)方程可以表示為所謂一個系統(tǒng)是伴隨型的，是指其動態(tài)方程可以表示為 （3.6）其中其中u是標(biāo)量控制輸入，是標(biāo)量控制輸入，x是所關(guān)注的標(biāo)量輸出，而是所關(guān)注的標(biāo)量輸出，而 是狀態(tài)矢是狀態(tài)矢量，量， 與與 是狀態(tài)的非線性函數(shù)。這種形式的特點(diǎn)是盡管方程中出現(xiàn)是狀態(tài)的非線性函數(shù)。這種形式的特點(diǎn)是盡管方程中出現(xiàn)x的各的各階導(dǎo)數(shù)，但是不出現(xiàn)輸入階導(dǎo)數(shù)，但是不出現(xiàn)輸入u的導(dǎo)數(shù)。若用狀態(tài)空間表示，式（的導(dǎo)數(shù)。若用狀態(tài)空間表示，式（3.6）可寫為：）可寫為：ubfxn)x()x()(Tnxxxx,)1( )(xf)(xb 可以表示為這種能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)，若使用控制輸入（假定可以

45、表示為這種能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)，若使用控制輸入（假定 不為零）不為零） （3.7）就能抵消掉非線性特性而獲得一個簡單的輸入就能抵消掉非線性特性而獲得一個簡單的輸入輸出關(guān)系（多重積分形式）輸出關(guān)系（多重積分形式）因此控制可選為因此控制可選為其中其中 選擇使得多項式選擇使得多項式 的所有根均嚴(yán)格位于左半平面從的所有根均嚴(yán)格位于左半平面從而導(dǎo)致指數(shù)穩(wěn)定的動態(tài)特性而導(dǎo)致指數(shù)穩(wěn)定的動態(tài)特性反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型ubfxxxxxnnn)x()x(211)x(b)(1fvbuvxn)()1(110nnxkxkxkvikonnnkpkp)1(100)1(1)(xkxkxnnn 即即 。對于跟蹤期望軌

46、跡。對于跟蹤期望軌跡 的任務(wù)，控制律可選為：的任務(wù)，控制律可選為： （3.8）其中其中 為跟蹤誤差，該控制律導(dǎo)致指數(shù)收斂跟蹤。若標(biāo)量為跟蹤誤差，該控制律導(dǎo)致指數(shù)收斂跟蹤。若標(biāo)量x換成矢換成矢量，標(biāo)量量，標(biāo)量b換成可逆方陣，亦可獲得類似的結(jié)果。換成可逆方陣，亦可獲得類似的結(jié)果。 在式（在式（3.6）中曾假定動態(tài)方程對于控制輸入是線性的（但對狀態(tài)是非線）中曾假定動態(tài)方程對于控制輸入是線性的（但對狀態(tài)是非線性的），然而這一方法不能推廣到把性的），然而這一方法不能推廣到把u換成一個可逆函數(shù)換成一個可逆函數(shù) 的情形。例如，的情形。例如，通過閥門控制流量的系統(tǒng)，其動態(tài)特性可能是依賴于通過閥門控制流量的系統(tǒng)

47、，其動態(tài)特性可能是依賴于 而不是直接依賴于而不是直接依賴于u，這里這里u是閥門開啟的直徑。這時只要定義是閥門開啟的直徑。這時只要定義 ，即可以容易地根據(jù)上述步驟，即可以容易地根據(jù)上述步驟首先設(shè)計出首先設(shè)計出 ，然后利用，然后利用 來計算輸入來計算輸入u。這種方法實際上避免了在控。這種方法實際上避免了在控制計算中出現(xiàn)非線性。制計算中出現(xiàn)非線性。 當(dāng)非線性動態(tài)方程當(dāng)非線性動態(tài)方程不是能控標(biāo)準(zhǔn)形時不是能控標(biāo)準(zhǔn)形時，可以首先利用代數(shù)變換將方程化為，可以首先利用代數(shù)變換將方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)形，然后再使用上述的反饋線性化設(shè)計，或者借助于原動態(tài)系統(tǒng)的部能控標(biāo)準(zhǔn)形，然后再使用上述的反饋線性化設(shè)計，或者借助于原動

48、態(tài)系統(tǒng)的部分線性化，而不要求總體的線性化。分線性化，而不要求總體的線性化。 反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型)(ug0)(tx)(txd)1(110)(nnndekekekxv)()(txtxed4u4u41u 考慮單輸入非線性系統(tǒng)考慮單輸入非線性系統(tǒng) 中控制輸入中控制輸入 的設(shè)計問題。輸入的設(shè)計問題。輸入-狀態(tài)線狀態(tài)線性化方法通過兩步來解決這個問題。性化方法通過兩步來解決這個問題。 首先找出一個狀態(tài)變換首先找出一個狀態(tài)變換 與一個輸入變換與一個輸入變換 使非線性系統(tǒng)動使非線性系統(tǒng)動態(tài)方程化成一個等效的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程，并表示成熟知的形式態(tài)方程化成一個等效的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程，并表示

49、成熟知的形式 。 其次，再利用標(biāo)準(zhǔn)的線性控制方法（例如極點(diǎn)配置）來設(shè)計其次，再利用標(biāo)準(zhǔn)的線性控制方法（例如極點(diǎn)配置）來設(shè)計 。 以一個簡單的二階系統(tǒng)為例來說明這個方法?？紤]系統(tǒng)以一個簡單的二階系統(tǒng)為例來說明這個方法?？紤]系統(tǒng) （3.9） 雖然線性控制設(shè)計也能使這個系統(tǒng)在平衡點(diǎn)雖然線性控制設(shè)計也能使這個系統(tǒng)在平衡點(diǎn)（0,0）附近的一個小范圍內(nèi)穩(wěn)附近的一個小范圍內(nèi)穩(wěn)定，然而采用什么控制器能使它在更大的范圍內(nèi)穩(wěn)定卻不是一目了然的。尤其是定，然而采用什么控制器能使它在更大的范圍內(nèi)穩(wěn)定卻不是一目了然的。尤其是方程中的非線性更增加了控制上的困難，因為它不能直接用控制輸入來抵消。方程中的非線性更增加了控制上

50、的困難，因為它不能直接用控制輸入來抵消。輸入輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化), x(ufx u)x(zz (x, )uubvAzzv)2cos(cossin211221211xuxxxxaxxx 如果考慮一組新的狀態(tài)變量如果考慮一組新的狀態(tài)變量 （3.10）則新的狀態(tài)方程為則新的狀態(tài)方程為 （3.11）可以看到，新的狀態(tài)方程平衡點(diǎn)依然為可以看到，新的狀態(tài)方程平衡點(diǎn)依然為（0,0）。同時可以看出，下列控制律。同時可以看出，下列控制律 （3.12）可用來抵消上式中的非線性。其中可用來抵消上式中的非線性。其中 是待設(shè)計的等效輸入，于是可得到線性的是待設(shè)計的等效輸入，于是可得到線性的輸入輸入狀態(tài)關(guān)系為狀態(tài)關(guān)

51、系為 （3.13）輸入輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化12211sin xaxzxz)2cos(sincoscos22111112211zauzzzzzzzz)cos2sincos()2cos(111111zzzzvzauvvzzzz22112 因此，通過狀態(tài)變換式（因此，通過狀態(tài)變換式（3.10）和輸入變換式（）和輸入變換式（3.12），就將用原來的），就將用原來的輸入輸入 去穩(wěn)定原來的非線性動態(tài)系統(tǒng)式（去穩(wěn)定原來的非線性動態(tài)系統(tǒng)式（3.9）這樣一個問題轉(zhuǎn)變成了用新的）這樣一個問題轉(zhuǎn)變成了用新的輸入輸入 去穩(wěn)定新的動態(tài)系統(tǒng)式（去穩(wěn)定新的動態(tài)系統(tǒng)式（3.13）的問題。）的問題。 由于新的動態(tài)系統(tǒng)是線性

52、和能控的，采用熟知的線性狀態(tài)反饋控制律由于新的動態(tài)系統(tǒng)是線性和能控的，采用熟知的線性狀態(tài)反饋控制律并適當(dāng)選擇反饋增益，就能對極點(diǎn)任意地進(jìn)行配置。例如可以選擇并適當(dāng)選擇反饋增益，就能對極點(diǎn)任意地進(jìn)行配置。例如可以選擇 （3.14）而得到穩(wěn)定的閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)而得到穩(wěn)定的閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)它的兩個極點(diǎn)都在它的兩個極點(diǎn)都在-2處。處。輸入輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化v2211zkzkv22zv2221122zzzzzu 用原來的狀態(tài)用原來的狀態(tài) 和和 表示，與此控制律相應(yīng)的原控制輸入為表示，與此控制律相應(yīng)的原控制輸入為 （3.15）原來的狀態(tài)原來的狀態(tài) 由由 給出為給出為 （3.16）由于由于 和和 兩者均收斂于

53、零，故原來的狀態(tài)兩者均收斂于零，故原來的狀態(tài) 亦收斂于零。亦收斂于零。輸入輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化2x1x)cos2sincossin22()2cos(11111121xxxxxaxxuxzazzxzx/ )sin(122111z2zx 采用上述控制后的采用上述控制后的閉環(huán)系統(tǒng)如右圖所示。閉環(huán)系統(tǒng)如右圖所示。這個控制系統(tǒng)中存在兩這個控制系統(tǒng)中存在兩個環(huán)：內(nèi)環(huán)實現(xiàn)輸入個環(huán)：內(nèi)環(huán)實現(xiàn)輸入-狀態(tài)關(guān)系的線性化，外狀態(tài)關(guān)系的線性化，外環(huán)實現(xiàn)閉環(huán)動態(tài)特性的環(huán)實現(xiàn)閉環(huán)動態(tài)特性的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 關(guān)于上述控制律，有以下幾點(diǎn)進(jìn)一步的說明：關(guān)于上述控制律，有以下幾點(diǎn)進(jìn)一步的說明：1.雖然在狀態(tài)空間中一個相當(dāng)大的區(qū)

54、域內(nèi)上面的結(jié)論均成立，但它不是全局性雖然在狀態(tài)空間中一個相當(dāng)大的區(qū)域內(nèi)上面的結(jié)論均成立，但它不是全局性的?？刂坡稍诘??？刂坡稍?時沒有定義。顯然，當(dāng)初始狀態(tài)位于這些奇時沒有定義。顯然，當(dāng)初始狀態(tài)位于這些奇點(diǎn)處時，控制器不能使系統(tǒng)達(dá)到平衡點(diǎn)。點(diǎn)處時，控制器不能使系統(tǒng)達(dá)到平衡點(diǎn)。2.輸入輸入狀態(tài)線性化是通過狀態(tài)變換與輸入變換相結(jié)合而實現(xiàn)的，而在兩種變狀態(tài)線性化是通過狀態(tài)變換與輸入變換相結(jié)合而實現(xiàn)的，而在兩種變換中都用到了狀態(tài)反饋。因此它是通過反饋來進(jìn)行線性化，簡稱為反饋線性化。換中都用到了狀態(tài)反饋。因此它是通過反饋來進(jìn)行線性化，簡稱為反饋線性化。這一點(diǎn)與基于線性控制的小范圍雅可比線性化有著本質(zhì)的區(qū)

55、別。這一點(diǎn)與基于線性控制的小范圍雅可比線性化有著本質(zhì)的區(qū)別。3.為了實現(xiàn)這個控制律，需要用到新的狀態(tài)變量（為了實現(xiàn)這個控制律，需要用到新的狀態(tài)變量（ , ）。若它們在物理上）。若它們在物理上沒有意義，或不能直接測量，則必須測量原來的狀態(tài)沒有意義，或不能直接測量，則必須測量原來的狀態(tài) 并用式（并用式（3.10）來計）來計算新的狀態(tài)變量。算新的狀態(tài)變量。 輸入輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化, 2 , 1)24(1kkx1z2zx4.一般說來，控制器設(shè)計和一般說來，控制器設(shè)計和 的計算都須用到系統(tǒng)模型。如果模型存在不確定的計算都須用到系統(tǒng)模型。如果模型存在不確定性，即參數(shù)性，即參數(shù) 有不確定性，則從式（有

56、不確定性，則從式（3.10）和式（）和式（3.12）可見，這種不確定）可見，這種不確定性對于計算新狀態(tài)變量性對于計算新狀態(tài)變量 和計算控制輸入和計算控制輸入 都會引起誤差。都會引起誤差。5.利用這種方法也能考慮跟蹤控制的問題，但是這時應(yīng)將期望的運(yùn)動用新的狀利用這種方法也能考慮跟蹤控制的問題，但是這時應(yīng)將期望的運(yùn)動用新的狀態(tài)矢量來表示，還可能需要進(jìn)行復(fù)雜的計算，將期望運(yùn)動的特性指標(biāo)由原來的態(tài)矢量來表示，還可能需要進(jìn)行復(fù)雜的計算，將期望運(yùn)動的特性指標(biāo)由原來的物理上有意義的輸出變量表示變換成現(xiàn)在的新的狀態(tài)變量表示。物理上有意義的輸出變量表示變換成現(xiàn)在的新的狀態(tài)變量表示。6.上述設(shè)計的成功使人們對將輸

57、入上述設(shè)計的成功使人們對將輸入狀態(tài)線性化的思想推廣到一般的非線性系狀態(tài)線性化的思想推廣到一般的非線性系統(tǒng)感到興趣。在考慮這種推廣的時候，將產(chǎn)生以下兩個問題：統(tǒng)感到興趣。在考慮這種推廣的時候，將產(chǎn)生以下兩個問題：（1）哪些非線性系統(tǒng)能夠變換成線性系統(tǒng)？）哪些非線性系統(tǒng)能夠變換成線性系統(tǒng)？（2）如果能夠進(jìn)行這種變換，如何找到這個變換？）如果能夠進(jìn)行這種變換，如何找到這個變換？ 輸入輸入狀態(tài)線性化狀態(tài)線性化zazu 考慮下列系統(tǒng)的跟蹤控制問題考慮下列系統(tǒng)的跟蹤控制問題 （3.17） 假定設(shè)計的目標(biāo)是使輸出假定設(shè)計的目標(biāo)是使輸出 跟蹤期望的軌跡跟蹤期望的軌跡 ，同時保持所有狀態(tài)，同時保持所有狀態(tài)有界，

58、其中有界，其中 及其足夠高階的時間導(dǎo)數(shù)均假定已知且有界。使用這個模型及其足夠高階的時間導(dǎo)數(shù)均假定已知且有界。使用這個模型的明顯困難在于輸出的明顯困難在于輸出 只是通過狀態(tài)只是通過狀態(tài) 及非線性狀態(tài)方程式（及非線性狀態(tài)方程式（3.17）間接地）間接地與輸入與輸入 發(fā)生聯(lián)系，所以不易看出應(yīng)如何設(shè)計輸入發(fā)生聯(lián)系，所以不易看出應(yīng)如何設(shè)計輸入 來控制輸出來控制輸出 的跟蹤性能。的跟蹤性能。假如能夠找到系統(tǒng)輸出假如能夠找到系統(tǒng)輸出 與控制輸入與控制輸入 之間的一個直接而簡單的關(guān)系，則跟蹤之間的一個直接而簡單的關(guān)系，則跟蹤控制設(shè)計的困難就會大大降低。事實上，由此想法構(gòu)成了非線性系統(tǒng)控制設(shè)計控制設(shè)計的困難就會

59、大大降低。事實上，由此想法構(gòu)成了非線性系統(tǒng)控制設(shè)計中的所謂輸入中的所謂輸入輸出線性化方法的基礎(chǔ)。用一個例子來說明這一方法。輸出線性化方法的基礎(chǔ)。用一個例子來說明這一方法。輸入輸入輸出線性化輸出線性化)(ty)x(), x(fxhyu)(tyd)(tydyxuuyyu 考慮三階系統(tǒng)考慮三階系統(tǒng) （3.18）為了得到輸出為了得到輸出 與輸入與輸入 之間的直接關(guān)系，將輸出之間的直接關(guān)系，將輸出 微分微分由于由于 仍然與仍然與 沒有直接聯(lián)系，對上式再微分一次，得到?jīng)]有直接聯(lián)系，對上式再微分一次，得到 （3.19）其中其中 是狀態(tài)的函數(shù)，定義為是狀態(tài)的函數(shù)，定義為 （3.20）輸入輸入輸出線性化輸出線性

60、化yuuy y121335123221) 1(sinxyuxxxxxxxxx3221) 1(sinxxxxy )() 1(12xfuxy )(1xf212233511) 1()cos)()(xxxxxxxf式（式（3.19）代表）代表 與與 之間的一個顯式關(guān)系。如果選擇輸入為下列形式之間的一個顯式關(guān)系。如果選擇輸入為下列形式 （3.21）其中其中 為待定的新輸入，則式（為待定的新輸入，則式（3.19）中的非線性便被抵消了，從而得到一）中的非線性便被抵消了，從而得到一個輸出與新輸入之間的簡單的二重積分關(guān)系個輸出與新輸入之間的簡單的二重積分關(guān)系利用線性控制方法很容易對這個二重積分關(guān)系設(shè)計跟蹤控制器