《線性代數(shù)》電子教程之十一

1、1線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 電子教案之十一2主要內(nèi)容第十一講第十一講 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積基本要求基本要求v向量的內(nèi)積、長度、正交的概念；向量的內(nèi)積、長度、正交的概念；v正交向量組、規(guī)范正交基的概念，施密特正交正交向量組、規(guī)范正交基的概念，施密特正交 化方法；化方法；v正交矩陣的概念和性質(zhì)正交矩陣的概念和性質(zhì).v了解向量的內(nèi)積、長度、正交、規(guī)范正交基、了解向量的內(nèi)積、長度、正交、規(guī)范正交基、 正交矩陣等概念，知道施密特正交化方法正交矩陣等概念，知道施密特正交化方法.3第一節(jié)第一節(jié)向量的內(nèi)積長度及正交性向量的內(nèi)積長度及正交性一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積1. 內(nèi)積的定義內(nèi)積的定義,2121 nnbb

2、baaa 令令,2211nnbababa , ,稱為向量稱為向量 與與 的的內(nèi)積內(nèi)積. 定義定義 設(shè)有設(shè)有 維向量維向量n4在定義內(nèi)積之前，向量之間的運算只定義了加法在定義內(nèi)積之前，向量之間的運算只定義了加法 與數(shù)乘；如果把與數(shù)乘；如果把3維向量空間與解析幾何中維向量空間與解析幾何中3維維 幾何空間（或稱歐式空間）相比較，會發(fā)現(xiàn)前者幾何空間（或稱歐式空間）相比較，會發(fā)現(xiàn)前者 缺少向量的幾何度量性質(zhì)，如向量的長度、兩向缺少向量的幾何度量性質(zhì)，如向量的長度、兩向 量的夾角等，但向量的幾何度量性質(zhì)在許多問題量的夾角等，但向量的幾何度量性質(zhì)在許多問題 中有著特殊的地位中有著特殊的地位. 在定義了內(nèi)積后

3、，在定義了內(nèi)積后，3維向量空間與解析幾何中維向量空間與解析幾何中3維維 幾何空間是類似的幾何空間是類似的. 3維向量空間中向量的內(nèi)積類維向量空間中向量的內(nèi)積類 似于似于3維幾何空間的向量的數(shù)量積維幾何空間的向量的數(shù)量積. 維向量的內(nèi)維向量的內(nèi) 積可看作是數(shù)量積的一種推廣積可看作是數(shù)量積的一種推廣.n向量的內(nèi)積是兩個向量之間的另一種運算，其結(jié)向量的內(nèi)積是兩個向量之間的另一種運算，其結(jié) 果是一個數(shù)，用矩陣記號表示，當(dāng)果是一個數(shù)，用矩陣記號表示，當(dāng) 與與 為列向為列向 量時，有量時，有 , T . T 說明說明52. 內(nèi)積的性質(zhì)內(nèi)積的性質(zhì)（施瓦茨不等式）（施瓦茨不等式）;, ;,Rkkk ;, 當(dāng)當(dāng)

4、 時，時，0 , 0, 當(dāng)當(dāng) 時，時，0 ; 0, .,2 6二、向量的長度二、向量的長度1.定義定義 設(shè)設(shè) 維向量維向量n naaa21 令令,22221naaa 稱為稱為向量向量 的長度的長度（或（或范數(shù)范數(shù)）. 當(dāng)當(dāng) 時，稱時，稱 為為單位向量單位向量.1 說說明明當(dāng)當(dāng) 時，按此定義的向量的長度與幾何空時，按此定義的向量的長度與幾何空間中的向量的長度是一致的間中的向量的長度是一致的.32、 n72. 向量的長度的性質(zhì)向量的長度的性質(zhì) 非負性非負性 齊次性齊次性 三角不等式三角不等式當(dāng)當(dāng) 時，時， ；0 0 0 0 當(dāng)當(dāng) 時，時， ；;,|Rkkk . 說明說明 當(dāng)當(dāng) 時，三角不等式的幾何

5、解釋為時，三角不等式的幾何解釋為32、 n 證明證明83. 兩向量之間的夾角兩向量之間的夾角 的長度的長度 的長度的長度 與與 的數(shù)量積的數(shù)量積 與與 夾角余弦夾角余弦 當(dāng)當(dāng) 時，有時，有0, 0 ,cos ， ,arccos 設(shè)設(shè) 為為 維向量，維向量， 、n 稱為稱為 維維向量向量 與與 的夾角的夾角.n 9三、向量的正交性三、向量的正交性1. 向量正交向量正交當(dāng)當(dāng) 時，稱時，稱向量向量 與與 正交正交.0, 說說明明顯然，若顯然，若 ，則，則 與任何向量都正交與任何向量都正交.0 xx 當(dāng)當(dāng) 為為2或或3維維向量時，向量時， 、 、正交的幾何解釋為正交的幾何解釋為 102. 正交向量組正

6、交向量組設(shè)向量組設(shè)向量組 若滿足若滿足,21r 都是非零向量；都是非零向量；r ,21, 0, jTiji 當(dāng)當(dāng) 時，時， ji 則則 稱為稱為正交向量組正交向量組.r ,21即一組兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量組即一組兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量組稱為稱為正交向量組正交向量組.11定理定理1 若若 維向量維向量 是一組兩兩正交是一組兩兩正交的非零向量，則的非零向量，則 線性無關(guān)線性無關(guān).nr ,21r ,21即正交向量組是線性無關(guān)向量組即正交向量組是線性無關(guān)向量組.證證設(shè)存在設(shè)存在 使使rkkk,21, 02211 rrkkk rjjTj, 3 , 2, 0,11 因為因為 兩兩正交，即有兩兩

7、正交，即有r ,21以以 左乘上式兩端，得左乘上式兩端，得T1 , 01212111 rTrTTkkk 所以所以, 0111 Tk又又 ，故，故01 , 011 T從而必有從而必有. 01 k類似可證必有類似可證必有. 0, 02 rkk12例例1 已知已知3維向量空間維向量空間 中兩個向量中兩個向量nR,1111 ,1212 正交，試求一個非零向量正交，試求一個非零向量 ，使，使 兩兩正交兩兩正交.3 321, 解解 析：此題是一個常見問題析：此題是一個常見問題.解此題的關(guān)鍵是將解此題的關(guān)鍵是將所提問題轉(zhuǎn)化為求一個齊次線性方程組的非零解所提問題轉(zhuǎn)化為求一個齊次線性方程組的非零解的問題的問題.

8、因為所求向量因為所求向量 ，滿足，滿足 兩兩正交，即有兩兩正交，即有3 321, , 031 T, 032 T0321 TT03 A 是是 的非零解的非零解.3 0 Ax13記記 12111121TTA 3 0 Ax要求要求 應(yīng)滿足齊次線性方程組應(yīng)滿足齊次線性方程組 ，即，即0121111321 xxx 121111A12rr 030111)3(2 r21rr 010101于是得于是得 的基礎(chǔ)解析為的基礎(chǔ)解析為 ，0 Ax 101取取 即為所求即為所求. 1013 143. 規(guī)范正交向量組和規(guī)范正交基規(guī)范正交向量組和規(guī)范正交基 都是單位向量，即都是單位向量，即r ,21; 0, jTiji 兩

9、兩正交，即兩兩正交，即r ,21設(shè)設(shè) 維向量組維向量組 是向量空間是向量空間的一個基，若滿足的一個基，若滿足r ,21n)(nRVV ji 當(dāng)當(dāng) 時，時，), 2 , 1( , 1,riiTiiii 則稱則稱 是是 的一個的一個規(guī)范正交基規(guī)范正交基.Vr ,2115例如例如 設(shè)設(shè),0021211 e,0021212 e,2121003 e,2121003 e 就是就是 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基.4R4321,eeee, 0,413121 eeeeee, 0,4232 eeee, 0,43 ee. 14321 eeee16 設(shè)設(shè) 是是 的一個規(guī)范正交基，若的一個規(guī)范正交基，若 中中任一向

10、量任一向量 由由 線性表示的表示式為線性表示的表示式為r ,21VV r ,21), 2 , 1(,rikiTii ,2211rrkkk 則有則有向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計算公式向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計算公式這是因為這是因為,2211rTirTiTiTikkk iTiiTik Tiik 17因為因為例如例如 已知向量組已知向量組,21021,616261,313131321 是是 的一個規(guī)范正交基，的一個規(guī)范正交基，3R中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為.2, 0 ,32 .2, 0,32321 TTT 321 321, 向量向量 在在18驗證：驗證： 21021)2( 31313132 616261

11、0321)2(032 321194. 施密特施密特(Schimidt)正交化正交化 這就是把已知基規(guī)范正交化問題這就是把已知基規(guī)范正交化問題.正交化：正交化：構(gòu)造正交向量組構(gòu)造正交向量組 ，且滿足，且滿足r ,21 與與 等價等價.r ,21r ,21;11 令令;,1211222 ;,222231211333 已知已知 是向量空間是向量空間 的一個基，要求的一個基，要求 的的一個規(guī)范正交基一個規(guī)范正交基.r ,21VV;,121122221211 rrrrrrrr 20單位化：單位化： 構(gòu)造兩兩正交的單位向量組構(gòu)造兩兩正交的單位向量組 ，r ,21且滿足且滿足 與與 等價等價.r ,21r

12、,21令令,1111 ,1222 ,1,rrr 說明說明上述的正交化過程稱為上述的正交化過程稱為施密特施密特(Schimidt)正交正交而且滿足而且滿足由此過程得到的向量組由此過程得到的向量組 不僅不僅r ,21化過程化過程.滿足滿足 與與 等價，等價，r ,21r ,21與與 等價等價. k ,21)1 (,21rkk 當(dāng)向量的維數(shù)為當(dāng)向量的維數(shù)為3，向量個數(shù)也是，向量個數(shù)也是3時，施密特時，施密特正交化的幾何解釋為正交化的幾何解釋為211 1 2 3 2 3 2 31 32 3 22例例2 設(shè)設(shè),1211 ,1312 ,0143 試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化試用施密特正交化過程

13、把這組向量規(guī)范正交化.解解 析：這是一道熟悉施密特正交化過程的訓(xùn)練題析：這是一道熟悉施密特正交化過程的訓(xùn)練題.正交化正交化;11 1211222, 1264 131 12132;55531 23222231211333, 23253251362 014 11135 12131 60631 202單位化單位化1111 ,12161 2221 ,11131 3331 .10121 于是于是 即是所求的向量組即是所求的向量組.321, 24例例3 已知已知 ，求一組非零向量，求一組非零向量 ，使，使 1111 32, 兩兩正交兩兩正交.321, 解解 析：此例與例析：此例與例1是同一類問題，不過這里

14、是是同一類問題，不過這里是要把所提問題轉(zhuǎn)化為求一個齊次線性方程組的要把所提問題轉(zhuǎn)化為求一個齊次線性方程組的正正交基礎(chǔ)解系交基礎(chǔ)解系. 具體方法是，先求出基礎(chǔ)解系，然后具體方法是，先求出基礎(chǔ)解系，然后用施密特正交化過程把所得的基礎(chǔ)解系正交化用施密特正交化過程把所得的基礎(chǔ)解系正交化.32, 應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 ，即，即01 xT 0321 xxx它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為25,011 1 ,102 1 把基礎(chǔ)解系正交化，即得所求把基礎(chǔ)解系正交化，即得所求.即即,12 222223, 110 10121.12121 0321 xxx,0111 ,112 2 26說明說明此例可推廣為：此例可推廣為

15、：n 設(shè)設(shè) 是是 維非零向量，求非零向量維非零向量，求非零向量使使 兩兩正交；兩兩正交；1 n ,32n ,321 設(shè)設(shè) 是是 維正交向量組，求非零向維正交向量組，求非零向量量 使使 兩兩正交；兩兩正交；s ,21nnss ,21 nss ,11 此例的幾何意義是此例的幾何意義是 中任一正交向量組一定中任一正交向量組一定 能夠擴充成的一個正交基，進而得到一個規(guī)范能夠擴充成的一個正交基，進而得到一個規(guī)范 正交基正交基.nR27四、正交矩陣與正交變換四、正交矩陣與正交變換1. 概念的引入概念的引入設(shè)設(shè) 是是 維規(guī)范正交向量組，令維規(guī)范正交向量組，令n ,21n AAT),(21nA 則有則有 Tn

16、TT 21),(21n nTnTnTnnTTTnTTT 212221212111EAAT 正交矩陣正交矩陣282. 正交矩陣正交矩陣定義定義 如果如果 階矩陣階矩陣 滿足滿足nAEAAT （即（即 ），），TAA 1那么稱那么稱 為為正交矩陣，正交矩陣，簡稱簡稱正交陣正交陣.A例如例如 矩陣矩陣 979494949198949891A可以驗證可以驗證 是正交陣是正交陣.A293. 正交陣的性質(zhì)正交陣的性質(zhì) 方陣方陣 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的的列向量列向量組都是單位向量，且兩兩正交；組都是單位向量，且兩兩正交；AA 方陣方陣 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是

17、的的行向量行向量組都是單位向量，且兩兩正交；組都是單位向量，且兩兩正交；AAA 若若 為正交陣，則為正交陣，則 也是正交陣；也是正交陣； TAA 、1 若若 為正交陣，則為正交陣，則 A；或或)1(1 A 若若 和和 都是正交陣，則都是正交陣，則 也是正交陣也是正交陣.ABAB 若若 為正交陣，則為正交陣，則A,EAAT .EAAT 且且304. 正交變換正交變換定義定義 設(shè)設(shè) 為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換PPxy 稱為稱為正交變換正交變換.性質(zhì)性質(zhì) 正交變換保持向量的長度不變正交變換保持向量的長度不變.這是因為這是因為,yyy yyT )()(PxPxT xPPxTT)( xxT x 31正交變換的幾何意義正交變換的幾何意義:Pxy )1(det APxy )1(det A 2121cossinsincosxxyy 如如 2121cossinsincosxxyy 如如 xy xy32五、小結(jié)五、小結(jié)v本章的中心主題是方陣的對角化問題本章的中心主題是方陣的對角化問題.它涉及到它涉及到 許多概