有限元分析法第3章 桿單元

1、第三章第三章 桿單元桿單元第三章第三章 桿單元桿單元3-1一維等截面桿單元一維等截面桿單元桿單元桿單元3-2二維空間桿單元二維空間桿單元如何用直接法求桿單元特性？如何用直接法求桿單元特性？如何用公式法導(dǎo)出桿單元特性？如何用公式法導(dǎo)出桿單元特性？什么是虛功原理？什么是虛功原理？桿單元剛度矩陣的特點？桿單元剛度矩陣的特點？什么叫坐標變換？什么叫坐標變換？如何對節(jié)點位移向量進行坐標變換？如何對節(jié)點位移向量進行坐標變換？如何對剛度矩陣進行坐標變換？如何對剛度矩陣進行坐標變換？應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元jiuud單元節(jié)點位移：L 桿長A 截面

2、積E 彈性模量jifff單元節(jié)點力：第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：應(yīng)變關(guān)系：dxduE)()()(xxxuu桿單元位移桿單元位移桿單元應(yīng)變桿單元應(yīng)變桿單元應(yīng)力桿單元應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變位移關(guān)系：位移關(guān)系：第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元（一）直接法導(dǎo)出單元特性 桿單元伸長量：ijuu 應(yīng)變：L應(yīng)力：LEE桿內(nèi)力：kLEALEAAF桿的軸向剛度：LEAk （一）直接法導(dǎo)出單元特性 桿單元伸長量：ijuu 第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元軸向拉壓變形模式下，該桿單元的

3、行為與彈簧單元相同，因軸向拉壓變形模式下，該桿單元的行為與彈簧單元相同，因此桿單元的剛度矩陣為：此桿單元的剛度矩陣為：比照彈簧元的剛度方程，寫出桿單元的剛度方程為：比照彈簧元的剛度方程，寫出桿單元的剛度方程為：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk 第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元（二）公式法導(dǎo)出桿單元特性單元上假設(shè)近似位移函數(shù)單元上假設(shè)近似位移函數(shù)位移模式位移模式定義節(jié)點的插值函數(shù)（定義節(jié)點的插值函數(shù)（形函數(shù)形函數(shù)）：）： 對桿單元，引入局部坐標：對桿單元，引入局部坐標：單元上位移假設(shè)為簡單多項式函數(shù)：單元上位移假設(shè)為簡單多項式函數(shù)：x

4、aau10 有限元中用插值法通過節(jié)點位移（待定參數(shù)）定義單有限元中用插值法通過節(jié)點位移（待定參數(shù)）定義單元假設(shè)位移函數(shù)：元假設(shè)位移函數(shù)：第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元則單元假設(shè)位移函數(shù)則單元假設(shè)位移函數(shù)位移模式如下：位移模式如下：矩陣形式：矩陣形式：NdjijiuuNNu單元應(yīng)變：單元應(yīng)變：BddNdxddxdu單元應(yīng)變矩陣單元應(yīng)變矩陣 BLLNNdxdji/1/1)()(B單元應(yīng)力：單元應(yīng)力：BdEE 應(yīng)用彈性體虛功原理導(dǎo)出單元剛度方程。應(yīng)用彈性體虛功原理導(dǎo)出單元剛度方程。NdjijiuuNNu第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元

5、一維等截面桿單元q虛功原理q虛位移虛位移彈性體受力平衡時，若發(fā)生虛位移，則外力虛功等于彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能。 平衡條件對于桿單元，定義虛位移如下：jiuud節(jié)點虛位移：單元虛位移：dNu節(jié)點力（外力）虛功：fdT則單元虛應(yīng)變：dB)( udxd第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元單元虛應(yīng)變能：dBBdBdBdTdVEdVEdVVVVTTTT對桿單元應(yīng)用虛位移原理，得：ddBBdfdTdVEVTT考慮到 的任意性，立刻得到：kddBBfTdVEVVdVEBBkT這就是剛度矩陣的一般形式，可推廣到其他類型的單元。桿單元剛度矩陣桿單元剛度矩陣第三章第三章 桿單元桿單

6、元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元對于上面的桿單元：與前面直接法得到的公式相同！第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元（三）關(guān)于桿單元的討論（三）關(guān)于桿單元的討論1 1）在單元坐標系下，每個節(jié)點一個未知位移分量，單元共有）在單元坐標系下，每個節(jié)點一個未知位移分量，單元共有 2 2個自由度。個自由度。2 2）單元剛度矩陣元素的物理意義：）單元剛度矩陣元素的物理意義：剛度方程中令：剛度方程中令： 則：則： 01jiuu2111kkffjijijiuukkkkff22211211單元剛度方程第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等

7、截面桿單元 所以，單元剛度矩陣的第所以，單元剛度矩陣的第i i（i=1,2)i=1,2)列元素表示當(dāng)維持單列元素表示當(dāng)維持單元的第元的第i i個自由度位移為，其它自由度位移為時，施加在個自由度位移為，其它自由度位移為時，施加在單元上的節(jié)點力分量。（也可以用此方法直接導(dǎo)出桿單元的單元上的節(jié)點力分量。（也可以用此方法直接導(dǎo)出桿單元的剛度矩陣元素，試練習(xí)）剛度矩陣元素，試練習(xí)）單元剛度矩陣對稱、奇異、主對角元素恒正。）單元剛度矩陣對稱、奇異、主對角元素恒正。第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元（四）舉例求圖示段桿中的應(yīng)力。解：分個桿單元，單元之間在節(jié)點鉸接。 剛度

8、矩陣分別為：第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元參考前面彈簧系統(tǒng)的方法，裝配系統(tǒng)的有限元方程（平衡方程）：321321110132022FFFuuuLEA 引入邊界位移約束和載荷：系統(tǒng)方程化為：31200110132022FPFuLEA第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元上述方程組中刪除第，個方程，得到：位移解：0103321EAPLuuu單元1應(yīng)力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA解得：第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元單元2應(yīng)

9、力：APEAPLLELuuELEE33023222提示：1）本例中單元應(yīng)力的計算采用了材料力學(xué)中的方法,與采用有限元單元應(yīng)力公式 的結(jié)果相同。2）對錐形桿，單元截面積可用平均值。3）求應(yīng)力之前需要求出節(jié)點位移有限元位移法。BdEE第三章第三章 桿單元桿單元3 31 1 一維等截面桿單元一維等截面桿單元習(xí)題2：已知：求：桿兩端的支反力解第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元（一）2-D空間中桿單元（平面桁架）1-D空間桿單元 2- D空間桿單元 坐標變換第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元原來1-D空間中的桿坐標系作為

10、局部坐標系局部局部總體總體每節(jié)點一個每節(jié)點一個dof每節(jié)點每節(jié)點2個個dofiiuv（ ， ）iivu ,( , )x yYX,第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元q節(jié)點位移向量的坐標變換：iidTd第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元向量的坐標變換矩陣為：lmmlTTTT1顯然是正交陣，即：單元節(jié)點位移向量的變換式如下：或Tdd T00TT單元節(jié)點力的變換為：Tff 第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元q剛度矩陣的坐標變換局部坐標系下桿單元的剛度方程為：擴充到4自由度形式：

11、yjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101fdk寫成矩陣符號形式：Tdd Tff 第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元利用前面的向量坐標變換式，得：TfTdk考慮到變換矩陣的正交性，得：fTdkTT總體坐標系中的桿單元剛度矩陣為：TkTkTTfTdkfkd 用單元剛度矩陣裝配系統(tǒng)剛度矩陣的方法與1-D情況相同，按節(jié)點號對子塊重新排列。第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元單元應(yīng)力：即：第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元（二）例題平面桁架由2

12、根相同的桿組成（E，A，L）。求：1）節(jié)點2位移2）每根桿應(yīng)力解：求出每個單元在總體坐標下的剛度矩陣：第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元單元1：1-22245ml，1111TkTkT111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211vuvu第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元單元2：2-32222135ml，22T22TkTk111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322vuvu第三章第三章 桿單元桿單元3 32 2 二維空間中的桿單元二維空間中的桿單元將單元1，2的剛度方程擴張到系統(tǒng)規(guī)模（6階），相加后引入節(jié)點平衡條件：第三章第三章