第2章 b 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1、問題：已知二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的分布，如何求出 Z=g (X, Y)的分布？為某種目的將試驗(yàn)數(shù)據(jù)“加工”而得的量統(tǒng)計(jì)量(1) 設(shè)(X1, X2, , Xn) 是n維離散隨機(jī)變量， 則 Z = g(X1, , Xn) 是一維離散隨機(jī)變量.(2) 多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布是容易求的： i) 對(duì)(X1, X2, , Xn)的各種可能取值對(duì)， 寫出 Z 相應(yīng)的取值. ii) 對(duì)Z的 相同的取值，合并其對(duì)應(yīng)的概率.oP77o例4.1o例4.2o例4.3定理3.3.1 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X與Y 獨(dú)立， 則 Z=X+ Y 的密度函數(shù)為( )( )()d =()( )dZXYXYpzpx pzxxpzy

2、 pyy設(shè)離散隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立，則 Z=X+ Y 的分布列為11)() () () ()( = liliiljjjP Xx P YzxP XzyP YyP Zz X與Y 是獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變 量，求 Z = X+ Y 的分布.( )( )()dZXYpzpx pzxx解：2211()expexp2222dxzxx21exp2222z所以 Z = X+ Y N(0, 2).進(jìn)一步的結(jié)論見后若同一類分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有可加性.若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，注意：若 Xi b(1, p)，且獨(dú)立，則 Z = X1 + X2 + +

3、Xn b(n, p).且獨(dú)立，則 Z = X+ Y b(n1+n2, p).若 X P(1) ，Y P(2)，注意： X Y 不服從泊松分布.且獨(dú)立，則 Z = X+ Y P(1+2).若 X N( )，Y N( ) ，注意： X Y 不服從 N( ).211, 222, 且獨(dú)立，則 Z = X Y N( ).221212, 221212, X Y N( ).221212, 獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量. (見下)Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 間相互獨(dú)立, 實(shí)數(shù) a1, a2, ., an 不全為零, 則22111 , iiinniiiniiiaaa X

4、N若 X Ga(1, )，Y Ga(2, ) ，注意： X Y 不服從 Ga(12, ).且獨(dú)立，則 Z = X + Y Ga(1+2, ).若 X 2( n1 )，Y 2( n2 ) ，注意： (1) X Y 不服從 2 分布.且獨(dú)立，則 Z = X + Y 2( n1+n2). (2) 若 Xi N(0, 1)，且獨(dú)立，則 Z = 2( n ).21niiX (1) 獨(dú)立的0-1分布隨機(jī)變量之和服從二項(xiàng)分布. (2) 獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和服從伽瑪分布. 設(shè) X 與 Y 獨(dú)立，XU(0, 1), YExp(1). 試求 Z = X+Y 的密度函數(shù).解:11, 01( )0, xXp x

5、其 它2, 0( ) 0,0yeyYpyy12( )( )()dZpzp x p zxx被積函數(shù)的非零區(qū)域?yàn)椋? x0用卷積公式：(見下圖)xz1z = x因此有(1) z 0 時(shí)pZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 時(shí)()0d1zz xzexe pZ(z) =(3) 1 z 時(shí)pZ(z) =1()0d(1)z xzexee1已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函數(shù) 求 (U, V) 的分布.12(, )(, )Ug X YVgX Y有連續(xù)偏導(dǎo)、存在反函數(shù)則 (U, V) 的聯(lián)合密度為若12( , )( , )ug x yvgx y( , )( , )xx u vyy u v(

6、, )( ( , ), ( , )|UVXYpu vpx u vy u vJ其中J為變換的雅可比行列式：1( , )( , )( , )( , )x yu vJu vx y可增補(bǔ)一個(gè)變量V = g2(X, Y) ，若要求 U = g1(X, Y) 的密度 pU(u) ，先用變量變換法求出 (U, V)的聯(lián)合密度pUV(u, v)，用此方法可以求出卷積公式、積的公式、商的公式然后再由聯(lián)合密度pUV(u, v)，去求出邊際密度pU(u)202.8.4 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 (, )( , ),X Yf x y設(shè)的概率密度為 ZXY的分布 ()( )( )()XYXYXYXYZXYfffzy f

7、y dyfx fzx dx卷積公式：將 和 相互獨(dú)卷積立時(shí)，的密度函數(shù)公式稱為公式即 ZXY則的分布函數(shù)為：( )()( , )( , )z yZx y zFzP Zzf x y dxdyf x y dx dy (, )zf uy y du dy(, )( )zzZf uy y dy dufu du( )(, )ZZfzf zy y dy故 的概率密度為：,( )( )( ,)ZZX Yfzfzf x zx dx由的對(duì)稱性，又可寫成, z yxuy固定令？21例1：設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，求 的概率密度。 ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dx221122(,),(,

8、)XNYN 221212 (,)ZXYN 則22221212(,)aXbYcN abc ab22()2212z xxeedx22()4212zzxeedx222412zt xztee dt 2412ze2412ze 0,2ZN即解：由卷積公式：一般：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，22 例2：X,Y相互獨(dú)立，同時(shí)服從0,1上的均勻分布，求 的概率密度。 ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dxxx=zz120 x=z-1 1011 01( )2 12 0 zZzdxzzfzdxzz其他0101 011xxzxzxz 即 時(shí)上述積分的被積函數(shù)不等于零 解：根據(jù)卷積公式：易知僅當(dāng)參考圖得：23 例3：

9、設(shè)X,Y相互獨(dú)立、服從相同的指數(shù)分布，概率密度為： 求 的概率密度。1 0( )0 0 xexf xx ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dx(2,)這 是 參 數(shù) 為的分 布 (Gamma)的 密 度 函 數(shù)0( )0Zzfz當(dāng)時(shí)，000zxzx當(dāng)時(shí)，僅當(dāng)、時(shí)，上述積分的被積函數(shù)不等于零22010( )xz xzzZzzfzeedxe于是當(dāng)時(shí)，2 0 ( )0 0zZzezfzz即 解：根據(jù)卷積公式：2422121 0( )()0 0yYyeyfyy20,011111 0( )()0 0 xXyexfxx10,0一般的，可以證明一般的，可以證明：若X,Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為

10、X,Y的概率密度分別為證明：這是例3的推廣，由卷積公式12(,),(,) 的 分布12,ZXY則服從參數(shù)為的 分布( )( )()ZXYfzfx fzx dx0( )0Zzfz當(dāng)時(shí)，1212121(1,), ()ZA且常數(shù)由此可知：121211012()0( )() ()xz xzZxzxzfzedx 當(dāng)時(shí)，121211012()() ()zzexzxdx12211211 11012(1)() ()zx z tzettdt121zAze25 ,( )( ),( ),)maxYminXX YFxFyMFzFzN 設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為和現(xiàn)在來求的分布函數(shù)和。( )()(

11、,)() ()maxMFzP MzP Xz YzP Xz P Yz 的分布函數(shù)為： ( )( )( )maxXYFzFz Fz即()(,)P NzP Xz Yz因?yàn)? )()1()1(,)1() ()minFzP NzP NzP Xz YzP Xz P Yz ( )1 (1( )(1( )minXYFzFzFz 即N所以的分布函數(shù)為：,Mmax X YNmin X Y的分布26 推廣推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況 設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為： 則：( ) 1,2,iXiFxin 11iimaxmini ni nMmax XNmin XFzFz 及 的分

12、布函數(shù)和為:1212( )( )( )( )( )1 1( )1( )1( )nnmaxXXXminXXXFzFz FzFzFzFzFzFz ( )( ( )( )1 1( )nmaxnminFzF zFzF z 12,( )nXXXF x特別，當(dāng)相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)時(shí)，27例4:設(shè)X與Y的聯(lián)合分布律為： 1210.20.120.30.4XY,max(, ),)UXY VX YU V令，求(的聯(lián)合分布率。1220.20300.4400.4UV解：28 例5：設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)結(jié)而成，聯(lián)結(jié)的方式分別為：(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)；(3)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2開

13、始工作)。如圖，設(shè)L1,L2的壽命分別為X,Y，已知它們的概率密度分別為：試分別就以上三種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概率密度。 0( )0 0 xXexfxx0,0，且 0( )0 0 xYeyfyyXYL1L2XYL2L1XYL2L129A.A.串聯(lián)的情況串聯(lián)的情況 由于當(dāng)L1,L2中由一個(gè)損壞時(shí)，系統(tǒng)L就停止工作，所以L的壽命為Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函數(shù)分別為：故Z的分布函數(shù)為：于是Z的概率密度為：()min1 0( )0 0zezFzz 1 0( )0 0 xXexFxx 1 0( )0 0yYeyFyy 即Z仍服從指數(shù)分布L1L2()min() 0( )0 0zezfzz30B.B. 并聯(lián)的情況并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)L1,L2都損壞時(shí)，系統(tǒng)L才停止工作，所以這時(shí)L的壽命為Z=max(X,Y)，Z的分布函數(shù)為：于是Z的概率密度為：max( )( )( )XYFzFz F