三角函數(shù)的重心移向函數(shù)

1、1三角函數(shù)的重心移向函數(shù)三角函數(shù)的重心移向函數(shù)一種經(jīng)典的說法是：三角函數(shù)存在的理由是加法定理一種經(jīng)典的說法是：三角函數(shù)存在的理由是加法定理. .三角函數(shù)的重心何在？三角函數(shù)的重心何在？所謂加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公所謂加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公式、和差化積公式與積化和差公式等式、和差化積公式與積化和差公式等. .所有這些，講的都是三角函數(shù)式的恒等變形所有這些，講的都是三角函數(shù)式的恒等變形. . 所謂重心的移動，難道三角的重心已經(jīng)不在這里嗎？所謂重心的移動，難道三角的重心已經(jīng)不在這里嗎？請看請看20072007年的三角函數(shù)的考試年的三角函數(shù)的考試. .前臺后庫前臺后庫

2、2（1 1）20072007年高考數(shù)學(xué)大綱，要求保持平穩(wěn)年高考數(shù)學(xué)大綱，要求保持平穩(wěn). .2007年年考試大綱考試大綱中的三角函數(shù)中的三角函數(shù)（2 2）試題設(shè)計的創(chuàng)新程度，要符合中學(xué)教學(xué)實(shí)際與學(xué)生實(shí)際）試題設(shè)計的創(chuàng)新程度，要符合中學(xué)教學(xué)實(shí)際與學(xué)生實(shí)際. .（3 3）三角函數(shù)、立體幾何兩個模塊的具體要求降低）三角函數(shù)、立體幾何兩個模塊的具體要求降低（4 4）易、中、難三種題型設(shè)計的比例，容易題和中檔題為主）易、中、難三種題型設(shè)計的比例，容易題和中檔題為主體，較難題不超過體，較難題不超過30%30%，中檔題和容易題不低于中檔題和容易題不低于70%.70%.修訂后的修訂后的20072007年考綱有如

3、下引人關(guān)注的幾點(diǎn)：年考綱有如下引人關(guān)注的幾點(diǎn)：這里，明白無誤地聲明，三角函數(shù)的這里，明白無誤地聲明，三角函數(shù)的“具體要求降低具體要求降低”. .當(dāng)年的考卷兌現(xiàn)了諾言，三角函數(shù)的要求的確降低了當(dāng)年的考卷兌現(xiàn)了諾言，三角函數(shù)的要求的確降低了. .3【例【例1】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)，是函數(shù)求值問題本題考查函數(shù)，是函數(shù)求值問題. 函數(shù)式為函數(shù)式為 y = f (x)

4、= sin x ( 或或cos x )求求 x =210( 或或 x = 330)4【例【例1】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【說明】【說明】 本題對本題對“任意角降低要求任意角降低要求”作了解釋：任意角的實(shí)際作了解釋：任意角的實(shí)際意義是將三角形的內(nèi)角擴(kuò)大到意義是將三角形的內(nèi)角擴(kuò)大到0到到360之間之間.這就是考題對考綱的兌現(xiàn)這就是考題對考綱的兌現(xiàn).5關(guān)于考點(diǎn)要求的四個層次：了解、理解、掌握和應(yīng)用，

5、人們對關(guān)于考點(diǎn)要求的四個層次：了解、理解、掌握和應(yīng)用，人們對于于“了解了解”和和“理解理解”，從來就很模糊，因?yàn)樗鼈冊诿}中不，從來就很模糊，因?yàn)樗鼈冊诿}中不具備操作性具備操作性. . “理解理解”降成降成“了解了解”“任意角的概念和弧度的意義任意角的概念和弧度的意義”降低要求之后，三角函數(shù)的大降低要求之后，三角函數(shù)的大題也就隨之降低了要求題也就隨之降低了要求. .有的試卷，單一的三角函數(shù)的試題有有的試卷，單一的三角函數(shù)的試題有可能不出現(xiàn)在大題中可能不出現(xiàn)在大題中. .新大綱提出這種變動，只在告訴人們，對此考點(diǎn)降低了要求新大綱提出這種變動，只在告訴人們，對此考點(diǎn)降低了要求. .對對“弧度意義

6、弧度意義”降低要求后，人們至少不會在如下問題上大做降低要求后，人們至少不會在如下問題上大做文章了：文章了： 設(shè)設(shè)x為銳角，求證：為銳角，求證：sinx x tanx6【分析分析】 求單調(diào)區(qū)間，是在研究函數(shù)的通性求單調(diào)區(qū)間，是在研究函數(shù)的通性. 這里只不過把三角這里只不過把三角函數(shù)當(dāng)成了一個具體的函數(shù)而已函數(shù)當(dāng)成了一個具體的函數(shù)而已. 【例例3】 （2007年年 全國乙卷全國乙卷 理理12） 函數(shù)函數(shù) f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調(diào)增區(qū)間是的一個單調(diào)增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)欲求欲求 y = f (x)的一個單調(diào)增區(qū)間，

7、易想到先統(tǒng)一的一個單調(diào)增區(qū)間，易想到先統(tǒng)一 y = f (x)中的角，中的角，這在函數(shù)式的變換中稱作這在函數(shù)式的變換中稱作“自變量的集元自變量的集元”.7【分析分析】 為了為了“集元集元”，可將，可將 向向 x 統(tǒng)一統(tǒng)一. 這可通過將這可通過將cos2 降冪來實(shí)現(xiàn)降冪來實(shí)現(xiàn). 然后將然后將y = f (x)化成二次函數(shù)型，化成二次函數(shù)型，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.2x【例例3】 （2007年年 全國乙卷全國乙卷 理理12） 函數(shù)函數(shù) f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調(diào)增區(qū)間是的一個單調(diào)增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B)

8、 (C) (D)2x在這里，把三角函數(shù)的單調(diào)性化為復(fù)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解在這里，把三角函數(shù)的單調(diào)性化為復(fù)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解.8【解析解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos1coscos22xxx【例例3】 （2007年年 全國乙卷全國乙卷 理理12） 函數(shù)函數(shù) f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調(diào)增區(qū)間是的一個單調(diào)增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)9【解析解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos

9、1coscos22xxx( 1 t 1).xxtcos)(45)21()(2ttfy【插話】【插話】 于是三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解于是三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.1045)21()(2ttfy只需探求使得只需探求使得 和和 ( 1 t 1)單調(diào)性一致單調(diào)性一致的的x的范圍即可的范圍即可.xxtcos)()(tfy 而當(dāng)而當(dāng) 時，時， 單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，323 xxxtcos)(此時此時 ，并且存在，并且存在 上上 單調(diào)遞減單調(diào)遞減. 21)(21tf21 ,21)(tfy 因此時因此時y = f (x)的一個單調(diào)區(qū)間為的一個單調(diào)區(qū)間為 ，故選，故選A.32 ,3【續(xù)解】【續(xù)解】

10、 對二次函數(shù)對二次函數(shù) ( 1 t 1).11【點(diǎn)評點(diǎn)評】 此題以三角為載體，重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)性、此題以三角為載體，重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性二次函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.三角函數(shù)的值域等，在這里只作為復(fù)合函數(shù)的一員三角函數(shù)的值域等，在這里只作為復(fù)合函數(shù)的一員. 而三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，在這里只充當(dāng)了恒等而三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，在這里只充當(dāng)了恒等變換中的一個工具變換中的一個工具.盡管本題是一個選擇題，但涉及到的內(nèi)涵十分豐富，特盡管本題是一個選擇題，但涉及到的內(nèi)涵十分豐富，特別是函數(shù)思想在解題中的運(yùn)用別是函數(shù)思想在解題中的運(yùn)用.12【 例例4】

11、（全國甲卷（全國甲卷 理理2文文3）函數(shù)函數(shù) y = |sin x|的一個單調(diào)增區(qū)間是的一個單調(diào)增區(qū)間是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443 ,423 ,2 ,23【解【解1】 抽象思維變式：抽象思維變式： 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 本題考函數(shù)，正弦函數(shù)與絕對值函數(shù)的復(fù)合本題考函數(shù)，正弦函數(shù)與絕對值函數(shù)的復(fù)合22cos1sin |sin| 2xxxy按復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知，本題答案為按復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知，本題答案為C.13【 例例4】 （全國甲卷（全國甲卷 理理2文文3）函數(shù)函數(shù) y = |sin x|的一個單調(diào)增區(qū)間是的一個單調(diào)增區(qū)間是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443

12、,423 ,2 ,23【解【解2】 直覺思維看圖：直覺思維看圖：【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 本題考函數(shù)的圖象變換本題考函數(shù)的圖象變換. 是數(shù)形結(jié)合的代表作是數(shù)形結(jié)合的代表作.看圖易知，本題答案為看圖易知，本題答案為C.14三角函數(shù)三角函數(shù) 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向“函數(shù)函數(shù)”【例例5】 (全國甲卷全國甲卷 理理17) 在在 ABC 中，已知內(nèi)角中，已知內(nèi)角A= ，邊，邊 BC=2 . 設(shè)內(nèi)角設(shè)內(nèi)角B = x, 周周長為長為y.（）求函數(shù)）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域；的解析式和定義域；（）求）求 y 的最大值的最大值.33【評說】【評說】 本題考函數(shù)本題考函數(shù)函數(shù)建模函數(shù)建模. 三角函數(shù)只充當(dāng)了一個三角函

13、數(shù)只充當(dāng)了一個“載體載體”將三角函數(shù)納入普通函數(shù)將三角函數(shù)納入普通函數(shù)之之 列，考查的是函數(shù)的共性：函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則、值域、列，考查的是函數(shù)的共性：函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則、值域、函數(shù)應(yīng)用等函數(shù)應(yīng)用等. 本題預(yù)示：三角本題預(yù)示：三角“專題專題”，已從大題中淡出，已從大題中淡出.15 【分析】【分析】 本題本題“大中含小大中含小”，小到什么程度呢？連初中生都可，小到什么程度呢？連初中生都可拿到不少的分?jǐn)?shù)拿到不少的分?jǐn)?shù) . 【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分）分）) 在在 ABC 中，已知內(nèi)角中，已知內(nèi)角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角設(shè)內(nèi)

14、角B = x, 周長為周長為 y.（）求函數(shù)）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33大中含小的含小的“大題大題” 【分割】【分割】 對題對題，求函數(shù)的解析式和定義域，而定義域是獨(dú)立，求函數(shù)的解析式和定義域，而定義域是獨(dú)立的，即三角形的，即三角形B角的取值范圍為角的取值范圍為 0 B ，如果，如果()的滿分是的滿分是4分，則這位初中生已經(jīng)拿到了分，則這位初中生已經(jīng)拿到了2分分.3216 【分割【分割 】 由正弦定理由正弦定理 . 42332sinsinsinABCBCACAB 則三角形周長則三角形周長 AB+BC+ C ACBsin4s

15、in432)sin(sin432CB【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 那位初中生若能寫到此步，則至少再添那位初中生若能寫到此步，則至少再添1分分.【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分）分）) 在在 ABC 中，已知內(nèi)角中，已知內(nèi)角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為周長為 y.（）求函數(shù)）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33大中含小的含小的“大題大題”17又又 B + C =- A =32故有故有.32,32BCCB令令 y = AB + BC + CA，B = x)3cos

16、(3432xy)32 , 0(x則由（則由（1）得函數(shù)）得函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域2cos2sin832CBCB（1）周長周長留給高中生的留給高中生的 僅剩下面僅剩下面1 1分分18【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分）分）) 在在 ABC 中，已知內(nèi)角中，已知內(nèi)角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為周長為y.（）求函數(shù)）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33大中含小含小 頭重腳輕頭重腳輕 實(shí)際上，沒有實(shí)際上，沒有()的結(jié)果，題的

17、結(jié)果，題()是照樣可解的是照樣可解的這是解梯式這是解梯式大題的一種迂回策略大題的一種迂回策略. 【分析】【分析】 用解析式用解析式 求其最大值已經(jīng)求其最大值已經(jīng)不是難事了不是難事了. 命題人將命題人將()、()兩小題進(jìn)行捆綁，看來有兩小題進(jìn)行捆綁，看來有“頭重頭重腳輕腳輕”之嫌，因?yàn)橄啾戎?，第之嫌，因?yàn)橄啾戎拢?)小題偏重小題偏重. )3cos(3432xy19【單解【單解】 （與題（與題()分離分離 用平面幾何法求解）用平面幾何法求解） 設(shè)設(shè) y 的最大值對應(yīng)的最大點(diǎn)為的最大值對應(yīng)的最大點(diǎn)為 B = x0 .【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分

18、）分）) 在在 ABC 中，已知內(nèi)角中，已知內(nèi)角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為周長為y.（）求函數(shù)）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33迂回解 另番天地另番天地 內(nèi)角內(nèi)角 C 與與 B 是對稱關(guān)系，設(shè)是對稱關(guān)系，設(shè) y 的最大值對應(yīng)的點(diǎn)的最大值對應(yīng)的點(diǎn) C = x0 則也有則也有B=x0. 又又 A= , 故故 C =B = ， 從而從而 ABC 為為 正三角形正三角形. 所以所以 y 的最大值為的最大值為3BC = 6 .33320三角函數(shù)的重心移向函數(shù)三角函數(shù)的重心移向函數(shù)過去的經(jīng)典說法是：三角函數(shù)存在的理由是加法定理過去的經(jīng)典說法是：三角函數(shù)存在的