高中數(shù)學(xué)平面向量基本定理

1、2.2.1平面向量基本定理平面向量基本定理如圖，設(shè)如圖，設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，試用試用e1、e2表示向量表示向量, AB CD EF GH1223ee AB124CD ee1244EF- ee1225GH ee 設(shè)設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，可以作出該平面內(nèi)給定的向量可以作出該平面內(nèi)給定的向量a在在e1、e2兩個(gè)兩個(gè)方向上分解得到的向量，方向上分解得到的向量， 問題：（問題：（1）向量）向量a是否可以用含有是否可以用含有e1、e2的式的式子來表示呢？怎樣表示？子來表示呢？怎樣表示？（2）若向量）若向量

2、a能夠用能夠用e1、e2表示，這種表示表示，這種表示是否唯一？請(qǐng)說明理由是否唯一？請(qǐng)說明理由.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1、e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)a1、a2，使，使 1 122aaaee說明：說明： e1、e2是兩個(gè)不共線的向量；是兩個(gè)不共線的向量； a是平面內(nèi)的任一向量；是平面內(nèi)的任一向量； a1，a2實(shí)數(shù)，唯一確定實(shí)數(shù)，唯一確定.a1e1+a2e2=xe1+ye2,(xa1)e1+(ya2)e2=0 我們把不共線向量我們把不共線向量e1，e2叫做

3、這一平面內(nèi)叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組所有向量的一組基底基底，記為，記為e1，e2， a1e1+a2e2叫做向量叫做向量a關(guān)于基底關(guān)于基底e1，e2的分的分解式。解式。 例1 ABCD中，E、F分別是DC和AB的中點(diǎn)，試判斷AE,CF是否平行？FBADCE 例2、 如圖，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn). 請(qǐng)大家動(dòng)手,在圖中確定一組基底，將其他向量用這組基底表示出來。ANMCDB例例3.已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD中中,M,N分別是分別是DC,BC的中點(diǎn)且的中點(diǎn)且 ，用，用 表示表示 . ,AMc ANd , c d ,AB AD D B C

4、 A N M例例3.已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD中中,M,N分別是分別是DC,BC的中點(diǎn)且的中點(diǎn)且 ，用，用 表示表示 . ,AMc ANd , c d ,AB AD 解：設(shè)解：設(shè), ABa ADb1212cbadab 42334233adcbcd D B C A N M例例4. 已知向量已知向量 不共線，不共線， 如果向量如果向量 與與 共線共線, 求求 . 12, e e12ee 12ee 解：由已知得解：由已知得1212() eeee所以所以1 解得解得 =1.31A AD DB BC CM MN N1.如果兩個(gè)向量的如果兩個(gè)向量的基線互相垂直基線互相垂直，則稱這兩，則稱這兩個(gè)個(gè)向量互相垂直向量互相垂直 ;2. 如果兩個(gè)基向量如果兩個(gè)基向量e1、e2互相垂直，則稱互相垂直，則稱e1，e2 為為正交基