格林公式(公開教學用)

1、格林公式及其應用格林公式及其應用 從不定積分與定積分的引入來考慮從不定積分與定積分的引入來考慮兩者之間沒有任何關系，但牛頓兩者之間沒有任何關系，但牛頓萊布萊布尼茨公式將二者聯(lián)系起來。尼茨公式將二者聯(lián)系起來。 格林公式同樣是將看似截然不同的格林公式同樣是將看似截然不同的兩類積分兩類積分: 二重積分與曲線積分有機的二重積分與曲線積分有機的統(tǒng)一起來。統(tǒng)一起來。一、格林（一、格林（Green）公式）公式1、 預備知識：預備知識： 為了學習格林公式，我們先介紹為了學習格林公式，我們先介紹三個基本概念：單連通區(qū)域、復連通三個基本概念：單連通區(qū)域、復連通區(qū)域、平面曲線的正向。區(qū)域、平面曲線的正向。 單連通區(qū)

2、域單連通區(qū)域D 1）單連通區(qū)域：）單連通區(qū)域： 如果如果D D內(nèi)內(nèi)任一閉曲線任一閉曲線所圍成的部分所圍成的部分全都屬于全都屬于D D ； D D內(nèi)內(nèi)任意一條閉曲線任意一條閉曲線都可以連續(xù)地收縮為一點，都可以連續(xù)地收縮為一點，這一點也屬于這一點也屬于D D； D D為為 無無“洞洞”的區(qū)域。的區(qū)域。 2 2）復連通區(qū)域）復連通區(qū)域: : 存在一些閉曲線存在一些閉曲線它圍成的區(qū)域不全屬于它圍成的區(qū)域不全屬于D D； 存在一些閉曲線存在一些閉曲線不能連續(xù)收縮為不能連續(xù)收縮為D D中的點；中的點； 有有“洞洞”的區(qū)域（包括的區(qū)域（包括“點洞點洞”）。）。復連通區(qū)域復連通區(qū)域D點洞點洞洞洞 3 3）平面

3、曲線）平面曲線 L L 的正向：當人（觀的正向：當人（觀察者）沿察者）沿L L的方向行走時，的方向行走時，D D內(nèi)在內(nèi)在靠近人靠近人的一側(cè)的一側(cè)始終在人的左側(cè)。始終在人的左側(cè)。 外圈是逆時針方向；內(nèi)圈是順時針方向。外圈是逆時針方向；內(nèi)圈是順時針方向。DDLLl洞洞（1 1）D D 是由分段光滑是由分段光滑 ( (或光滑或光滑) )的有向的有向L( , )( , )LDQPP x y dx Q x y dydxdyxy( ,),( ,)P x yQ x y 格林公式格林公式（3 3） 取正向取正向. .則有則有閉曲線閉曲線 圍成；圍成；（2 2）函數(shù)）函數(shù) 在在D D上具有一上具有一階連續(xù)偏導數(shù)

4、；階連續(xù)偏導數(shù)； 2 2、格林、格林(Green)(Green)公式公式( (定理定理1)1)L3 3、說明：、說明：( ,),( ,)P x yQ x y（2 2）函數(shù)）函數(shù) 在在D D上必須具上必須具（1 1） L L必須是光滑或分段光滑的有向閉必須是光滑或分段光滑的有向閉曲線，曲線，如果不封閉怎么辦？如果不封閉怎么辦？有一階連續(xù)偏導數(shù)，如果在有些點有一階連續(xù)偏導數(shù)，如果在有些點處不滿足（不存在或存在不連續(xù)），處不滿足（不存在或存在不連續(xù)），怎么解決怎么解決？（重點與難點）？（重點與難點）（3 3）L L要求取正向要求取正向. .（若不是正向（若不是正向 ? )? ).QPxy 同學們思考

5、一下，說明的第（同學們思考一下，說明的第（2 2）條其實是可以修改的，應該改成什么？條其實是可以修改的，應該改成什么？（4 4）二重積分的被積函數(shù)必須是）二重積分的被積函數(shù)必須是 例例1 1 計算下列曲線積分計算下列曲線積分: :222333(0)xyaa222(1).(cos2sin)(sin2)xxLx yxxyx y e dxxxye dy其中其中L L為星形線為星形線 的正的正向。向。 xyoDaaaa33cos:sinxaLya 利用后面學過的知識發(fā)現(xiàn)積利用后面學過的知識發(fā)現(xiàn)積分與路徑無關分與路徑無關, ,結(jié)論顯然是結(jié)論顯然是0.0.PQyx(2). ( sin2 )( cos2)x

6、xLeyy dx eydy222(),0 xayay其中其中L L為上半圓周為上半圓周沿逆時針方向從沿逆時針方向從A A點到點到 點。點。 Osin2 ,cos2,xxP eyy Q eycos2,cos ,xxyxPeyQey 5 5、格林公式的證明（體現(xiàn)分析過程）、格林公式的證明（體現(xiàn)分析過程）證明證明(1)(1)先考慮積分區(qū)域既是先考慮積分區(qū)域既是 型，又型，又是是 型區(qū)域的情況，如圖型區(qū)域的情況，如圖oD)(1xy )(2xy ABx yoDCE)(2yx )(1yx 型區(qū)域型區(qū)域y 型區(qū)域型區(qū)域xdabcxxyymmnn21( )( )( , )dycyDQQ x ydxdydx d

7、yxx 21( ), )( ), )dcQyyQyy dy( , )( , )( , )LCmEEnCQ x y dyQ x y dyQ x y dy21( ), )( ), )dcQyyQyy dy( , )LDQdxdyQ x y dyx按照按照 型區(qū)域考慮型區(qū)域考慮y 同理，按照同理，按照 型區(qū)域考慮型區(qū)域考慮x ( , )( , )LDP x ydxdyP x y dxy ( , )( , )LDQPdxdyP x y dx Q x y dyxx（2 2）當積分區(qū)域不滿足既是）當積分區(qū)域不滿足既是 型，又型，又是是 型時，如下圖（分割成（型時，如下圖（分割成（1 1）的情）的情況）況）

8、L1L2L3LD1D2D3D 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQxyAnBCmp123()()()DDDQPQPQPdxdydxdydxdyxyxyxyL1L2L3LD1D2D3DAnBCmpABCmAAnBABpCBPdxQdyPdxQdyPdxQdy.LPdxQdyMD2LL2MNL NMLMDQPdxdyPdxQdyxy（3 3）當積分區(qū)域）當積分區(qū)域D D為復為復連通區(qū)域時，如右圖連通區(qū)域時，如右圖將復連通區(qū)域沿著某一將復連通區(qū)域沿著某一條線段割開，條線段割開，NMMNN將復連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為將復連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域（已證）單連通區(qū)域（已證）22().MNLNMLL

9、 LPdx QdyPdx Qdy 例例2 2 計算計算 其中其中 L L 為一條無為一條無重點分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉重點分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，曲線，L L 的方向為逆時針方向。的方向為逆時針方向。22Lxdy ydxxy二、格林公式的應用二、格林公式的應用2222,yxPQxyxy22222,PQyxyxxy1 1、計算曲線積分、計算曲線積分1) 1) 設設P P，Q Q 在在 D D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)12,L L12LLPdxQdyPdxQdyQPxy2L1LD補充定理補充定理: :2) 2) 在在 D D 內(nèi)恒有內(nèi)恒有3) 3) 為為D D內(nèi)任意兩

10、條同向閉曲線內(nèi)任意兩條同向閉曲線; ; 4) 4) 各自所圍的區(qū)域中有相同的不各自所圍的區(qū)域中有相同的不12L L, 屬于屬于D D的點，則的點，則2222LLxdyydxxdyydxxyxy 1122LDxdyydxdxdy 設設 為圍繞原點的簡單閉曲為圍繞原點的簡單閉曲線線 ， 圍成的區(qū)域為圍成的區(qū)域為 , , 與與L L同向同向 22:(0)Lxy LDLLDxy 當當 利用格林公式，結(jié)論為利用格林公式，結(jié)論為0.0. (0,0)D 當當 時時(0,0)D 解：解：L例例3 3 設設C C是圍繞原點的任意一條光滑簡單是圍繞原點的任意一條光滑簡單閉曲線，求閉曲線，求2422.Cxydx x

11、 dyxy242422( , ),.xyxP x yQxyxy5224222.( , )(0,0)PQxxyx yyxxy（第二第二屆中國大學生數(shù)學競賽非數(shù)學類數(shù)學競賽題屆中國大學生數(shù)學競賽非數(shù)學類數(shù)學競賽題1515分，分，其中的三分之一部分，其中的三分之一部分，前面兩部分是前面兩部分是0505年高等數(shù)學一試題年高等數(shù)學一試題）242422( )2LLxydxx dyxydxx dyxyxy 211240LDxydxx dyxdxdy 解：設解：設 為圍繞原點的簡單為圍繞原點的簡單閉曲線閉曲線 ， 圍成的區(qū)域為圍成的區(qū)域為 ， 與與 C C 同向，同向， 42:(0)Lxy LDLCDxyL例例4 4 已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域( , )|0,0,Dx yxy D D的邊界取正向邊界，試證的邊界取正向邊界，試證sinsinsinsin(1).;yxyxLLxe dy yedxxedy ye dx（首屆中國大學生數(shù)學競賽非數(shù)學類數(shù)學競賽題首屆中國大學生數(shù)學競賽非數(shù)學類數(shù)學競賽題1515分分）D( ,0)A( , )B (0, )C(0,0)Oxysinsin25(2).2yxLxedyyedxsinsinyxDeedxdy 右邊右邊解解:（1）利用格林公式）利用格林公式si