高數(shù)77 方向?qū)?shù)與梯度

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-271第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 第七章第七章 (Directional Derivative and Grads)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度三、小結(jié)與作業(yè)三、小結(jié)與作業(yè)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-272l),(zyxP一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點(diǎn) ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極

2、限: P記作記作 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-273,),(),(處可微在點(diǎn)若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl則函數(shù)在該點(diǎn)沿沿任意方向任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點(diǎn) P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf定理定理 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-274對(duì)于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(diǎn)(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos

3、),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時(shí),2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時(shí),2,xflfl向角返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-275二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時(shí)與當(dāng)Gl:GGlfmax返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-276, fadrg即fadrg同樣可定

4、義二元函數(shù)),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 G向量定義定義返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-277返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-278練習(xí)題練習(xí)題1.設(shè)函數(shù)，求 在點(diǎn) 處沿從原點(diǎn)至點(diǎn) 的方向?qū)?shù)；22yxrr),(yxPOP2.設(shè)，求222zyxu) 1 , 1 , 1 (ugrad3.小山的高度為，那么在處登山，最陡的方向是哪個(gè)方向？2225yxz) 1,23(返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-279內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.

5、 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-27102. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-2711習(xí)題習(xí)題774、6、9作業(yè)作業(yè)返回返回上頁上頁下頁下

6、頁目錄目錄2022-3-2712思考練習(xí)思考練習(xí)1.求函數(shù)在點(diǎn)處沿與軸正向夾的方向的方向?qū)?shù).)ln(22yxz)1 , 1(x60角為提示：由21cos和關(guān)系1coscos22解得23cos又因?yàn)樗?2, 12)1 , 1(22)1 , 1()1 , 1(22)1 , 1(yxyyzyxxxz231231211)1 , 1(lz返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-27132.求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù).3.求函數(shù)在曲線點(diǎn)(1,1,1) 處，沿曲線在該點(diǎn)的切線正方向（對(duì)應(yīng)22221byaxz2,2ba12222byax提示：內(nèi)法向量為ban2,2222zy

7、xu32,tztytxt上于增大的方向）的方向?qū)?shù).提示：切線正向切向量為)3,2,1(Tabbanz)(2221412nz返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-2714指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)Axd d)ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研), ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu214. 函數(shù)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022-3-2715)ln(222zyxu在點(diǎn))2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (