立體幾何二面角問題

1、立體證明題21如圖，直二面角 D- AB- E中，四邊形 ABCD是正方形，AE=EB F為CE上的點，且 BF丄平面ACE1求證：AE丄平面BCE2等腰 ABC中, AC=BC=幾，AB=2, E、F分別為AC BC的中點，將 EFC沿EF折起，使 得C到P,得到四棱錐 P- ABFE且AP=BP=工1求證：平面 EFP1平面 ABFE2求二面角 B-AP- E的大小.3如圖，在四棱錐 P- ABCD中，底面是正方形，側(cè)面 PADL底面ABCD且PA=PD=AD,假設(shè)E、F分別為PC BD的中點.I 求證：EF/平面PAD4如圖：正 ABC與 Rt BCD所在平面互相垂直，且/1求證：AB丄

2、CDBCD=90°,Z CBD=30°2求二面角 D- AB- C的正切值.DABCD1求證：平面 PADL平面 PBD5如圖，在四棱錐 P- ABCD中，平面PADL平面ABCD PAD是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，/ ADC=120 , AB=2AD6如圖，在直三棱柱 ABC- AiBQ 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是 AB中點.I求證：AB丄平面AiCE求直線 AG與平面AiCE所成角的正弦值.7如圖，在四棱錐 P- ABCD中, PA丄平面 ABCD / DAB為直角，AB/ CD, AD=CD=2AB=2E, F分別為PC, C

3、D的中點.I證明:AB丄平面BEF;ABCD , PA=AB=AD=2，四邊形 ABCD 滿足AB 丄 AD , BC / AD 且 BC=4，點 M 為 PC 中點.1求證：DM丄平面PBC;2假設(shè)點E為BC邊上的動點，且 匹 ,是否存在實數(shù) 入使得二面角 P- DE - BEC的余弦值為-?假設(shè)存在，求出實數(shù) 入的值；假設(shè)不存在，請說明理由.3且M是BC的中點9如圖，ABED是長方形，平面 ABEDL平面 ABC AB=AC=5 BC=BE=6I 求證：AML平面BEC 求三棱錐B- ACE的體積；AQ的長.川假設(shè)點 Q是線段AD上的一點，且平面 QECL平面BEC求線段AB/ CD AB

4、丄 BC,10. 如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形 ABE所在的平面互相垂直,AB=2CD=2B, EAL EB1求證：EAL平面EBC11. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為直角梯形， AD/ BC, / ADC=90°,平面PADL底面ABCD O為AD中點，M是棱PC上的點，AD=2BC1求證：平面 POBL平面 PAD12. 如圖，三棱柱 ABC- ABC中，側(cè)棱AA丄平面ABC ABC為等腰直角三角形，/BAC=90，且 AB=AA, E、F 分別是 CC, BC的中點.1求證：平面 ABF丄平面 AEF;13. 如圖，在菱形 ABCD中，/ ABC=

5、60°, AC與BD相交于點 Q AE丄平面ABCD CF/ AE, AB=AE=2I求證：BD丄平面ACFEII 當(dāng)直線FQ與平面BDE所成的角為45°時，求二面角 B- EF- D的余弦角.14. 如下列圖，該幾何體是由一個直三棱柱ADEr BCF和一個正四棱錐 P- ABCD組合而成，AD丄 AF，AE=AD=21證明：平面 PADL平面 ABFEAC的中點D,且BA丄AG.I求證：AC丄平面AiBC;求二面角 A- AiB- C的平面角的余弦值.試卷答案1.【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定.【分析】1由中直二面角 D- AB- E中，四邊形

6、 ABCD是正方形，且 BF丄平面ACE 我們可以證得 BF丄AE CB丄AE進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得AE!平面BCE2連接BD與AC交于G,連接FG設(shè)正方形ABCD的邊長為2,由三垂線定理及二面角 的平面角的定義，可得/ BGF是二面角B- AC- E的平面角，解 Rt BFG即可得到答案.【解答】證明：1： BF丄平面ACE BF 丄 AE二面角 D- AB- E為直二面角，且 CBL AB, CB丄平面ABE CB丄AE AE丄平面BCE解：2連接BD與AC交于G連接FG設(shè)正方形 ABCD勺邊長為2, BG丄 AC, BG=:，/ BF垂直于平面 ACE由三垂線定理逆定理得 FGL

7、AC Z BGF是二面角 B- AC- E的平面角由1AE!平面 BCE 得 AE! EB,/ AE=EB BE=二.在 Rt BCE中，EC= .!=.：，,由等面積法求得 :1 :'區(qū)在 Rt BFG中,的余弦值為-故二面角B- AC- E的余弦值為【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定.【分析】1用分析法找思路，用綜合法證明取EF中點0,連接OR OC等腰三角形CEF中有COL EF,即卩ORL EF.根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，平面PEF和平面ABFE的交線是EF,且POL EF,分析得POL平面ABFE故只需根據(jù)題中條件證出POL平面ABFE即可利用面面垂直的判定定

8、理證得平面EFP丄平面ABFE2根據(jù)第一問分析空間位置關(guān)系，可建立空間直角坐標(biāo)線求得平面ABR和平面AER的法向量的所成角，利用向量角和二面角關(guān)系，確定二面角大小.【解答】解：1證明：在厶ABC中，D為AB中點，0為EF中點.由 AC=BC=匚 AB=2 E、F分別為AC BC的中點， EF 為中位線，得 C0=0D=1 COL EF四棱錐 P ABFE中，POL EF,2分OC丄AB, AD=OD=1 AO='：,又 AP=訂 OP=1,四棱錐 P- ABFE中，有AFaO+oP,即卩OPL AQ4分又 AOH EF=Q EF、AO?平面 ABFE OP丄平面ABFE5分又OF?平面

9、EFP,平面 EFP!平面 ABFE 6分2由1知OD OF, OP兩兩垂直，以 0為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：1那么 A 1 , - 1 ,0，B 1, 1,0，E 0,-Q,0，P0,0,17 分冠二1, -y. 0,陥 7 -!>,設(shè)療知班工，庁亡】，云分別為平面AEP平面ABP的一個法向量，x y=0取 x=1，得 y=2, z= - 1 k y z= Q，.： -i .9 分同理可得 &(1, o, 1),11分所以二面角B-AP- E為90°12分由于-一 一- .一 =0,【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.【專題】證明題.【分析】對于I，要證 E

10、F/平面PAD只需證明EF平行于平面PAD內(nèi)的一條直線即 可，而E、F分別為PC BD的中點，所以連接 AC, EF為中位線，從而得證；對于要證明 EF丄平面PDQ由第一問的結(jié)論，EF/ PA只需證PA!平面PDC即可,V2PA=PD=AD,可得PA丄PD,只需再證明 PA丄CD,而這需要再證明 CDL平面PAD由于ABCD是正方形，面 PADL底面ABCD由面面垂直的性質(zhì)可以證明，從而得證.p【解答】證明：I連接 AC那么F是AC的中點，在 CPA中，EF/ PA 3分 且PA?平面PAD EF?平面PAD EF/平面 PAD 6 分因為平面 PADL平面 ABCD平面 PADT平面 ABC

11、D=AD又CDL AD所以 CDL平面 PAD CD丄 PA 9 分又 PA=PD= _AD,27T所以 PAD是等腰直角三角形，且/ APDl,即PA丄PD 12分而 CDA PD=D PA丄平面PDC 又EF/ PA 所以EF丄平面 PDC 14分【點評】此題考查線面平行的判定及線面垂直的判定，而其中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用值得注 意，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為線線垂直，在證明線線垂直時, 往往還要通過線面垂直來進(jìn)行.4.【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析】1禾U用平面 ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC可得DCL平面ABC利

12、用線面垂直的性質(zhì)，可得 DCL AB;2過C作CE! AB于E ,連接ED,可證/ CED是二面角D- AB- C的平面角.設(shè) CD=a那么,在 Rt DEC中 ,可求 tan / DECBC= .= ！,從而 EC=BCsin60 =【解答】1證明：T DCL BC,且平面ABCL平面BCD平面AB6平面BCD=BC DC丄平面ABC又AB?平面ABC DCL AB.2解：過 C作CEL AB于E ,連接ED,/ AB丄 CD AB丄 EC, CDH EC=C AB丄平面ECD又 DE?平面 ECD - AB丄 ED,/ CED是二面角 D- AB- C的平面角,Sa.T設(shè) CD=a 那么

13、BC=t='_，DCa2在 Rt DEC中 , tan / DEC=3d32 EC=BCsi n60 =5.【考點】MT二面角的平面角及求法；LY:平面與平面垂直的判定.【分析】1令A(yù)D=1,求出BD=:,從而AD± BD,進(jìn)而BD丄平面PAD由此能證明平面PADL平面 PBD2以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作垂直于平面 ABCD的直線為z軸，建 立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A- PB- C的余弦值.【解答】證明：1在平行四邊形ABCD中 ,令A(yù)D=1,1， - 0，=-，=- 1 , 0, 0，設(shè)平面PAB的法向量為,.=x，y，z，AB p4 b

14、 f FB 口二 px+Vly-滬 0，取 y=i，得；=|叮;二丨，設(shè)平面PBC的法向量 =a, b, c，取 b=1，得 | =0，1，2，1+2面角A- PB- C的余弦值為-二 cos V由圖形知二面角 A- PB- C的平面角為鈍角,【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角.【分析】I由 ABC- A1BC1是直三棱柱，可知 CC丄AC, CC丄BC / ACB=90， ACLBC建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz .那么A，B1，E，A，可得，AB，ES，可知，2, 0, 2，At二-Z N 2,壓二1丁 1,CA二他 0, 2.又因為瓦岳=0,ca=o, AB丄 CE AB

15、丄 CA, AB 丄平面 AiCEn解：由I知,曬二(-2,2_是平面ACE的法向量,I ' !':;!,3- |cos V,二二設(shè)直線AQ與平面ACE所成的角為B,貝U sin B=cos v C A , AE > |=所以直線AiC與平面ACE所成角的正弦值為7.【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定.【分析】I只需證明 AB丄BF. AB丄EF即可.n以A為原點，以AB, AD AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CDB的法向量為口 1二0 0, 1),平面EDB的法向量為n2=(X,丹小,設(shè)二面角E- BD- C的大小為 B,那么CO

16、S e 蘭 |&口二口,巴> |=忑坐=1乂 后 P，【解答】解：I證：由DF/ AB且/ DAB為直角，故 ABFD是矩形，從而AB丄BF.又PA丄底面 ABCD二平面 PADL平面 ABCD/ AB丄AD,故AB丄平面PAD AB丄PD在厶PCD內(nèi)，E、F分別是PC CD的中點，EF/ PD, AB丄EF.由此得AB丄平面BEFn以A為原點，以AB, AD AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，那么川-'$設(shè)平面CDB的法向量為門1二M1),平面EDB的法向量為口產(chǎn)(珀刃,可取-1,設(shè)二面角E- BD- C的大小為B,那么【考點】二面角的平面角及求法；直線與平

17、面垂直的判定.ADMN 為【分析】1取PB中點N，連結(jié)MN , AN .由三角形中位線定理可得四邊形平行四邊形由 AP丄AD , AB丄AD，由線面垂直的判定可得AD丄平面PAB 進(jìn)一步得 到 AN丄MN .再由 AP=AB，得 AN丄PB,貝V AN丄平面PBC .又 AN / DM，得 DM丄平 面 PBC;2以A為原點，:冃方向為x軸的正方向，方向為y軸的正方向， ？方向為z軸的正 方向，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)E2, t, 0 OWt弓4,再求得 P, D, B的坐標(biāo)，得到尸的坐標(biāo)，求出平面 PDE的法向量，再由題意得到平面 DEB的一個法向 量，由兩法向量夾角的余弦值得到實數(shù)入

18、的值.【解答】1證明：如圖，取 PB中點N，連結(jié)MN , AN ./ M 是 PC 中點， MN / BC，MN=BC=2 .又 BC / AD，AD=2， MN / AD，MN=AD，四邊形ADMN為平行四邊形./ AP 丄 AD，AB 丄 AD，APA AB=A， AD丄平面PAB ./ AN ?平面 PAB， AD 丄 AN，貝U AN 丄 MN ./ AP=AB， AN 丄 PB，又 MNA PB=N ， AN丄平面PBC ./ AN / DM , DM 丄平面 PBC；2解：存在符合條件的入 以A為原點，丁方向為x軸的正方向，.門方向為y軸的正方向，7T方向為z軸的正方 向，建立如下

19、列圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè) E2,t，0OW t 弓4, P0, 0,2，D0,2, 0，B 2,0,0，那么!-l'i I'.，r；-i 設(shè)平面PDE的法向量:.=x, y, z，rij rPD=2y-2z=0 DE-2(t-2)y=0令 y=2，貝U z=2 , x=t - 2,取平面PDE的一個法向量為：一 | =2- t, 2, 2.又平面 DEB即為xAy平面, COSV故其一個法向量為- -nrn2P 22問11匕丨十 4 3°, 0, 1 丨，解得t=3或t=1 ,9.【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定.【分析】I推導(dǎo)出 BE丄AM BC

20、丄AM由此能證明 AML平面BEC由 乂- ac=Ve abc,能求出三棱錐 B- ACE的體積.川在平面 QEC內(nèi)作QNL EC QN交CE于點N QN與AM共面，設(shè)該平面為 a，推導(dǎo)出四 邊形AMN健平行四方形，由此能求出 AQ【解答】證明：I：平面ABEDL平面ABC平面ABECT平面ABC=ABBE! AB, BE?平面 ABED BE丄平面 ABC 又 AM?平面 ABC 二 BEX AM 又AB=AQ M是BC的中點， BC丄AM 又 BOA BE=B BC?平面 BEC BE?平面 BEC AM!平面 BEC解：n由I知，BE丄平面 ABC - h=BE=6在 RtABM中 ,-

21、：又 SAA5C=yXBC X5X 4=1 2叫-肚E = h-JlEC 一可 x SAAEC川在平面 QEC內(nèi)作QN丄EC QN交CE于點N平面 QECL平面 BEC平面 QE6平面BEC- EC QN!平面 BEC 又 AML平面 BEC QN/ AM QN與AM共面，設(shè)該平面為 a, / ABED是長方形， AQ/ BE又Q?平面BEC BE?平面BEC AQ/平面BEC又 AC? a, aA平面 BEC=MN AQ/ MN 又 QN/ AM四邊形AMNd平行四方形. AQ=MN/ AQ/ BE, AQ/ MN MIN/ BE,又 M是 BC的中點.二3 , AQ=MN=,310.【考點

22、】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定.【分析】1根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明EA丄平面EBC2求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可.【解答】1：平面 ABE!平面ABCD且AB丄BC, BC丄平面ABE/ EA?平面 ABE EAL BC,/ EAL EB, EBA BC=B EA丄平面EBC2取AB中0,連接EQ DO / EB=EA 二 EQL AB.平面 ABEL平面 ABCD EO丄平面 ABCD / AB=2CD AB/ CD, AB丄 BC, DOL AB,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O- xyz如圖:設(shè) CD=1,那么 A 0 , 1 , 0，B 0, - 1 , 0，

23、C 1 , - 1 , 0，D 1 , 0 , 0，E 0 ,0 , 1，由1得平面EBC的法向量為;=0, 1,- 1，設(shè)平面BED的法向量為=X, y, z，即ni*BD=0i+y=0設(shè) x=1,那么 y= - 1, z=1，那么i：=1,- 1,1，2那么 |cos VIT，【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.【分析】1證明四邊形 BCDQ1平行四邊形，得出 OBLAD再證明B0L平面PAD從而 證明平面POBL平面PAD2解法一：由 #打,M為PC中點，證明N是AC的中點，MIN/ PA PA/平面BMO 解法二：由PA/平面BMO證明N是AC的中點，M是PC的中點，得

24、；/"-.【解答】解：1證明：T AD/ BC,二D O為AD的中點，四邊形BCDO平行四邊形, CD/ BQ又/ ADC=90 ,/ AOB=90，即 OBL AD又平面 PADL平面 ABCD且平面 PADA平面 ABCD=A, BO丄平面PAD又：BO?平面POB平面POBL平面PAD2解法一： 器二1，即卩M為PC中點，以下證明：連結(jié)AC,交BO于 N連結(jié)MN/ AD/ BC, O為 AD中點，AD=2BC N是AC的中點，又點M是棱PC的中點， MN/ PA/ PA?平面 BMO MN 平面 BMO PA/平面 BMO解法二：連接 AC,交BO于N,連結(jié)MN/ PA/平面

25、BMO 平面 BMOA平面 PAC=MN PA/ MN又 AD/ BC O為 AD中點，AD=2BC N是AC的中點， M是PC的中點，貝U12.【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定.【分析】1連結(jié)AF,由條件推導(dǎo)出面 ABCL面BBCC,從而AF丄BiF,由勾股定理 得BF丄EF.由此能證明平面 ABF丄平面 AEF2以F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)A, FB分別為x, y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B - AE- F的余弦值.【解答】1證明：連結(jié) AF,v F是等腰直角三角形 ABC斜邊BC的中點， AFL BC.又° 三棱柱 ABC- Ai Bi Ci為直三

26、棱柱，面 ABCL面 BBCC, AF丄面 BBGC, AFL BF.又 AFQ EF=F, BF丄平面 AEF.而BiF?面ABF，故：平面 ABF丄平面 AEF.2解：以F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)A, FB分別為x, y軸建立直角坐標(biāo)系如圖,設(shè) AB=AA=1，那么 F 0，0，0，A，B0,12，1， E 0,AE=由1知，BF丄平面AEF,取平面AEF的法向量:1-1 = 0，、，1.設(shè)平面B1AE的法向量為一-5“ J取 x=3，得'.J7.設(shè)二面角B1 - AE- F的大小為0，貝U cos 0 = |cos v m, n > |=|=:由圖可知0為銳角,VsV所求二面角B1

27、- AE- F的余弦值為13.【考點】MT二面角的平面角及求法；LW直線與平面垂直的判定.【分析】I只需證明DB丄AC, BD丄AE,即可得BD丄平面ACFEII丨取EF的中點為 M以0為坐標(biāo)原點，以 0A為x軸，以0B為y軸，以0M為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么 - 1, D 0,-0，F(xiàn)- 1 0, h，E1 , 0, 2，那么Ci ，"，利用向量法求解【解答】I證明：在菱形 ABCD中，可得DB丄AC,又因為 AE!平面 ABCD - BDLAE,且 AEn AC=A BD丄平面 ACFEII 解：取EF的中點為 M以O(shè)為坐標(biāo)原點，以 OA為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)M為z 軸

28、，建立空間直角坐標(biāo)系，那么:'H.，D0，-:'，0，F(xiàn)一 1，0，h， E 1,0，2，貝U亍廠二.*，訂二-，設(shè)平面BDE的法向量，可取巳 pDB=23y=0 EE 二賽+7血二 °石二占0.，? h=3， ，設(shè)平面BFE的法向量為口2 BE 二迥十 2c 二 0匚 _，可??；._ :-，05=1,品2h示社-1血,3，設(shè)平面DFE的法向量為門滬心戸力 ' f，可取町下? DF=-x+ /3y+ 3z-010cos面角B- EF- D的余弦值為【考點】MT二面角的平面角及求法；LY:平面與平面垂直的判定.【分析】I證明：AD丄平面ABFE即可證明平面 PA

29、DL平面ABFE建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系即可求正四棱錐P-ABCD的高.【解答】I證明：直三棱柱 ADE- BCF中, AE丄平面ADE所以：AB丄AD,又 ADL AF,所以：AD丄平面ABFE AD?平面PAD所以：平面 PADL平面 ABFE-.In： ADL平面ABFE 建立以A為坐標(biāo)原點，AB, AE AD分別為x , y , z軸的空間直 角坐標(biāo)系如圖： 設(shè)正四棱錐 P- ABCD勺高為h, AE=AD=2那么 A 0, 0, 0，F(xiàn) 2, 2, 0，C2 , 0 , 2，J = 2, 2, 0 , 2, 0 , 2, = 1, - h , 1,-n

30、* AF=2x+2y=0i =x , y , z是平面 AFC的法向量，貝U -In* AC=2x+2z=0令 x=1，那么 y=z= - 1,即 1 i= 1，- 1,- 1，設(shè)，i=x, y, z是平面 ACP的法向量,inT AF=2xf2y=0嚴(yán)一 一k,令 x=1 ,那么 y= - 1 , z= - 1 - h,即 it = 1, - 1, - 1 - h二面角C- AF- P的余弦值是 一'. COS V I , =I m | n | V5(h十 1、'3得h=1或h=-舍那么正四棱錐P-ABCD勺高h(yuǎn)=1.【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定.【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離.【分析】1推導(dǎo)出BC丄AC, BC丄AC, BA丄AC,由此能證明 AC丄平面ABC.2推導(dǎo)出平