培訓(xùn)資料-微分方程模型人口模型等

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 1 人口預(yù)測和控制人口預(yù)測和控制2 交通流模型交通流模型3 傳染病模型（續(xù)）傳染病模型（續(xù)）1 人口預(yù)測和控制人口預(yù)測和控制指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯馬爾薩斯0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )1 ()(mxxrxxxrdtdxx txxxemmrt( )()110tx0 xmx0)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年齡分布對于人口預(yù)測的重要性年齡分布對于人口預(yù)測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程的人口

2、）年齡人口分布函數(shù)rtrF(),(人口密度函數(shù)),(trp人口總數(shù))(tN最高年齡)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp已知函數(shù)（人口調(diào)查）已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手

3、段）生育率（控制人口手段）人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程0tr)(0rp)(tf一階偏微分方程的一階偏微分方程的半無界問題半無界問題0(0)(0)pf-相容性條件相容性條件0),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtr

4、ptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 總和生育率總和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rr人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多

5、少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按時(shí)刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計(jì)算的平均存活時(shí)間計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不過大不過大控制控

6、制 (t)不過高不過高人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程2 交通流模型交通流模型考察高速公路上行駛的車輛的流動(dòng)問題。考察高速公路上行駛的車輛的流動(dòng)問題。X軸軸-公路公路X軸正向軸正向-公路上車輛前進(jìn)的方向公路上車輛前進(jìn)的方向( , )u t x 車輛分布的車輛分布的密度函數(shù)密度函數(shù)( , )q t x 車輛通過車輛通過x處的處的流通速率流通速率車輛通過車輛通過x處的處的流通速率流通速率, ,( , )tx xdxu t x dx時(shí)刻 在中的車輛數(shù)為 ,( , )t tdtxq t x dt時(shí)間段內(nèi),通過 處的車輛流量為交通流模型交通流模型車輛數(shù)守恒車輛數(shù)守恒(, )( , )( , )( ,)u tdt

7、 x dx u t x dxq t x dtq t x dx dt0uqtx流通速率與車輛的密度有關(guān)！流通速率與車輛的密度有關(guān)！密度較小時(shí)，隨密度的增加，流通率增加；密度較小時(shí)，隨密度的增加，流通率增加；密度較大時(shí)，隨密度的增加，流通率減?。幻芏容^大時(shí)，隨密度的增加，流通率減?。幻芏却蟮揭欢ǔ潭葧r(shí)，出現(xiàn)交通阻塞！密度大到一定程度時(shí)，出現(xiàn)交通阻塞！阻滯增長？阻滯增長？交通流模型交通流模型Greenshield模型模型(1)fmmuqa uuu為出現(xiàn)交通阻塞時(shí)的密度0uqtx(2)0ffmauuautux20ffmavvvauvutx0(0, )2( )ffmavxauxu初始值初始值交通流模型交

8、通流模型00( ,0)2( )ffmvvvtxav xauxu特征方程組特征方程組1,0dtdxdvvdsdsds特征線特征線d xvd t沿特征線，沿特征線，v(x,t) 為常數(shù)為常數(shù)( ,0)xvt(, 0 )xtv交通流模型交通流模型0(1)( ,0)0 ( )2mxuvxux t0(2)( ,0)0 ( )2mxuvxux稀疏波稀疏波 t壓縮波壓縮波一定時(shí)間后，特征線相交一定時(shí)間后，特征線相交交點(diǎn)處，交點(diǎn)處，v取不同值？取不同值？出現(xiàn)間斷解！出現(xiàn)間斷解！-激波激波傳染病模型（續(xù)）傳染病模型（續(xù)）人群分為：未患病者（人群分為：未患病者（S）、患者（）、患者（I）、）、 病愈具免疫力者（病

9、愈具免疫力者（R）時(shí)刻時(shí)刻t、年齡為、年齡為x 的三類人的的三類人的分布密度函數(shù)分別為：分布密度函數(shù)分別為：123( , ),( , ),( , ).p t xp t xp t x1。自然死亡率與年齡有關(guān)為：。自然死亡率與年齡有關(guān)為：()dx模型假設(shè)模型假設(shè)2?；颊咴诨疾∑陂g傳染性相同；死亡率。患者在患病期間傳染性相同；死亡率c(x);3。人的最大壽命為。人的最大壽命為A；4。出生率只與年齡有關(guān)。出生率只與年齡有關(guān),與時(shí)間無關(guān)，為與時(shí)間無關(guān)，為b(x);5。健康者患病率。健康者患病率 ，患病者治愈率為，患病者治愈率為 ；( )x( ) x傳染病模型（續(xù)）傳染病模型（續(xù)）模型建立模型建立第第I類

10、人類人1111(, )( ,)()( ,)( )( ,)p tdt x dxp t xdt dxd xdt p t xdt dxdtx p t xdt dxdt111( )( )ppd xxptx 第第II類人類人222( ( )( )( )ppd xc xxptx 第第III類人類人33320( )( )( , )Appd x px p t x dxtx 傳染病模型（續(xù)）傳染病模型（續(xù)）模型建立模型建立初始條件初始條件0001122330:(0, )( ),(0, )( ),(0, )( )tpxpxpxpxpxpx邊界條件邊界條件10:( ,0)( ),Aaxp tb x dxa為最小生育

11、年齡.假定新生兒是健康的、無免疫力假定新生兒是健康的、無免疫力230 :( , 0)0;0 :( , 0)0;xptxpt123:( ,0)( ,0)( ,0)0.xA p tp tp t傳染病模型（續(xù)）傳染病模型（續(xù)）111( )( )ppd xxptx 222( ( )( )( )ppd xc xxptx 33320( )( )( , )Appd x px p t x dxtx 一階偏微分方程組一階偏微分方程組李大潛（李大潛（1986）、姚勇（）、姚勇（1991）等）等練習(xí)：練習(xí)：討論如下的追趕問題：不同身高的人沿一直線同討論如下的追趕問題：不同身高的人沿一直線同向前進(jìn)；向前進(jìn)；h(t,x) 表示時(shí)刻表示時(shí)刻t、坐標(biāo)、坐標(biāo)x處的人的身高；處的人的身高；并假定他們