平面與平面垂直的判定+教案

1、2.3.2 平面與平面垂直的判定教學目標：1.理解二面角及其平面角的概念,能確認圖形中的已知角是否為二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角:3.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直。教學重點：二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定教學難點：二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定教學過程：復習 兩平面的位置關系：（1）如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行若=,則.（2）如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交若=AB,則與相交.兩平面平行與相交的圖形表示如圖1.圖1導入新課思路1.(情境導入) 為了解決實際問題，人們需要研究兩個

2、平面所成的角.修筑水壩時，為了使水壩堅固耐用必須使水壩面與水平面成適當的角度；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們引入二面角的概念，研究兩個平面所成的角.思路2.(直接導入) 前邊舉過門和墻所在平面的關系，隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來探究兩個平面所成角問題.推進新課新知探究提出問題二面角的有關概念、畫法及表示方法.二面角的平面角的概念.兩個平面垂直的定義.用三種語言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明.應用面面垂直的判定定理難點在哪里？討論結果：二面角的有關概念.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個

3、半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學生共同動手）.直立式： 平臥式： (1) (2)圖2 二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為、的二面角，記作二面角-AB-.有時為了方便也可在、內（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作二面角P-AB-Q.圖3如果棱為l，則這個二面角記作l或PlQ.二面角的平面角的概念. 如圖4,在二面角l的棱上任取點O，以O為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成AOB.圖4 再取棱上另一點O，在和內分別作l的垂線OA和OB，則它們

4、組成角AOB. 因為OAOA,OBOB，所以AOB及AOB的兩邊分別平行且方向相同, 即AOB=AOB. 從上述結論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點在棱上的位置無關. 由此結果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. 圖中的AOB,AOB都是二面角l的平面角.直二面角的定義. 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墻面與地面，一個正方體中每相鄰的兩個面、課桌的側面與地面都是互相垂直的. 兩個平面互相垂直的概念和

5、平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角. 兩個平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直. 直二面角的畫法：如圖5.圖5兩個平面垂直的判定定理. 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：. 兩個平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6.圖6證明如下：已知AB，AB=B，AB.求證：.分析：要證,需證和構成的二面角是直二面角，而要證明一個二面角是直二面角，需找到其中一個平面角，并證明這個二面角的平面角是直角

6、.證明：設=CD，則由AB,知AB、CD共面.AB，CD,ABCD，垂足為點B.在平面內過點B作直線BECD,則ABE是二面角CD的平面角.又ABBE，即二面角CD是直二面角,.應用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉化為證線線垂直.應用示例思路1例1 如圖7,O在平面內，AB是O的直徑，PA，C為圓周上不同于A、B的任意一點.圖7求證：平面PAC平面PBC.證明：設O所在平面為,由已知條件，PA,BC,PABC.C為圓周上不同于A、B的任意一點,AB是O的直徑,BCAC.又PA與AC是PAC所在平面內的兩條相交直線，BC平面PAC.BC平面PBC,平

7、面PAC平面PBC.變式訓練 如圖8，把等腰RtABC沿斜邊AB旋轉至ABD的位置，使CD=AC，圖8（1）求證：平面ABD平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明：由題設,知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中點.OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.（2）解:取BD的中點E，連接CE、OE、OC,BCD為正三角形，CEBD.又BOD為等腰直角三角形,OEBD.OEC為二面角CBDA的平面角.同（1）可證OC平面ABD.OCOE.COE為直角三角形.設BC=a，則CE=，OE=，cosOEC=.點

8、評：欲證面面垂直關鍵在于在一個平面內找到另一個平面的垂線.例2 如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60°，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30°，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時人升高了多少？（精確到0.1 m）圖9解：取CD上一點E，設CE=10 m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度. 在河堤斜面內，作EFAB，垂足為F，并連接FG, 則FGAB,即EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角, EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°si

9、n60°=10×4.3（m）.答：沿直道行走到10 m時人升高約4.3 m.變式訓練 已知二面角AB等于45°，CD，DAB，CDB=45°.求CD與平面所成的角.解：如圖10，作CO交于點O，連接DO，則CDO為DC與所成的角.圖10過點O作OEAB于E，連接CE，則CEAB.CEO為二面角AB的平面角，即CEO=45°.設CD=a,則CE=,COOE，OC=OE，CO=.CODO,sinCDO=.CDO=30°,即DC與成30°角.點評：二面角是本節(jié)的另一個重點，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個半平面內找一點C，作

10、另一個半平面的垂線，垂足為O,然后通過垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則CEO為二面角-AB-的平面角.這一過程要求學生熟記.思路2例1 如圖11，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.圖11（1）求證：平面PBD平面PAC；（2）求點A到平面PBD的距離；（3）求二面角APBD的余弦值.（1）證明：設AC與BD交于點O，連接PO,底面ABCD是菱形,BDAC.PA底面ABCD,BD平面ABCD,的PABD.又PAAC=A,BD平面PAC.又BD平面PBD,平面PBD平面PAC.(2)解：作AEPO于點E,平面PBD平面PAC,AE平面PBD.A

11、E為點A到平面PBD的距離.在PAO中,PA=2,AO=2·cos30°=,PAO=90°,PO=,AE=.點A到平面PBD的距離為.（3）解：作AFPB于點F,連接EF,AE平面PBD,AEPB.PB平面AEF,PBEF.AFE為二面角APBD的平面角.在RtAEF中,AE=,AF=,sinAFE=,cosAFE=.二面角APBD的余弦值為.變式訓練 如圖12，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.（1）求證：MN平面PAD；（2）求證：MNCD；（3）若二面角PDCA=45°，求證：MN平面PDC. 圖12 圖13證明：如圖13所示

12、,（1）取PD的中點Q，連接AQ、NQ,則QNDC,AMDC,QNAM.四邊形AMNQ是平行四邊形.MNAQ.又MN平面PAD,AQ平面PAD,MN平面PAD.（2）PA平面ABCD，PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.又AQ平面PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.（3）由（2）知，CD平面PAD,CDAD,CDPD.PDA是二面角PDCA的平面角.PDA=45°.又PA平面ABCD,PAAD.AQPD.又MNAQ,MNCD.又MNPD,MN平面PDC.例2 如圖14,已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且DAB=60°,AD=AA1，F為

13、棱BB1的中點，M為線段AC1的中點.圖14（1）求證：直線MF平面ABCD；（2）求證：平面AFC1平面ACC1A1；（3）求平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小.（1）證明：延長C1F交CB的延長線于點N，連接AN.F是BB1的中點，F為C1N的中點，B為CN的中點.又M是線段AC1的中點，故MFAN.又MF平面ABCD,AN平面ABCD,MF平面ABCD.（2）證明：連接BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1,可知AA1平面ABCD,又BD平面ABCD，A1ABD.四邊形ABCD為菱形，ACBD.又ACA1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,BD平面ACC1A1.在四邊形DAN

14、B中，DABN且DA=BN，四邊形DANB為平行四邊形.故NABD，NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1,平面AFC1平面ACC1A1.（3）解：由（2）,知BD平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，BDAC1.BDNA，AC1NA.又由BDAC,可知NAAC，C1AC就是平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角或補角.在RtC1AC中，tanC1AC=，故C1AC=30°.平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°.變式訓練 如圖15所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側面SDC底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.圖15（1）求證：平面SAD平面SBC；（2）設BC=x，BD與平面SBC所成的角為，求sin的取值范圍.（1）證明：在SDC中，SC=SD=，CD=AB=2,DSC=90°,即DSSC.底面ABCD是矩形,BCCD.又平面SDC平面ABCD,BC面SDC.DSBC.DS平面SBC.DS平面SAD,平面SAD平面SBC.（2）解：由（1）,知DS平面SBC,SB是DB在平面SBC上的射影.ACBDDBS就是BD與平面SBC所成的角，即DBS=.那么sin=.BC=x,CD=2DB=,sin=.由0x