絕對(duì)值化簡(jiǎn)-題庫(kù)教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上絕 對(duì) 值 化 簡(jiǎn)中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求絕對(duì)值借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的意義，會(huì)求實(shí)數(shù)的絕對(duì)值會(huì)利用絕對(duì)值的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)問(wèn)題例題精講絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)的絕對(duì)值記作.絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.注意：取絕對(duì)值也是一種運(yùn)算，運(yùn)算符號(hào)是“”，求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào).絕對(duì)值的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是.絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0.任何一個(gè)有理數(shù)都是由兩部分組成：符號(hào)和

2、它的絕對(duì)值，如：符號(hào)是負(fù)號(hào)，絕對(duì)值是.求字母的絕對(duì)值： 利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.絕對(duì)值非負(fù)性：如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0.例如：若，則，絕對(duì)值的其它重要性質(zhì)：（1）任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于這個(gè)數(shù)，也不小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即，且；（2）若，則或；（3）；（4）；（5），對(duì)于，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)、同號(hào)或、中至少有一個(gè)時(shí)，等號(hào)成立；對(duì)于，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)、異號(hào)或、中至少有一個(gè)時(shí)，等號(hào)成立板塊一：絕對(duì)值代數(shù)意義及化簡(jiǎn)【例1】 （2級(jí)） 下列各組判斷中，正確的是 ( )A若，則一定有 B若，則一定有C. 若，則一定有 D若，則一定有 如果，則 (

3、)A B C D 下列式子中正確的是 ( )A B C D 對(duì)于，下列結(jié)論正確的是 ( )A B C D若，求的取值范圍【例2】 已知：，且；，分別求的值【例3】 已知，求的取值范圍【鞏固】 （4級(jí)）若且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A一定是正數(shù) B一定是負(fù)數(shù) C一定是正數(shù) D一定是負(fù)數(shù)【例4】 求出所有滿(mǎn)足條件的非負(fù)整數(shù)對(duì)【鞏固】 非零整數(shù)滿(mǎn)足，所有這樣的整數(shù)組共有 如果有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，求的值.【鞏固】 已知，那么 【例5】 是一個(gè)五位自然數(shù)，其中、為阿拉伯?dāng)?shù)碼，且，則的最大值是 【例6】 已知，其中，那么的最小值為 【例7】 設(shè)為整數(shù)，且，求的值【鞏固】 已知且，那么 【例8】

4、 （6級(jí)）（1）（第屆希望杯試）已知，則 （2）（第屆希望杯試）滿(mǎn)足（）有理數(shù)、，一定不滿(mǎn)足的關(guān)系是（ ）A B C D （3）（第屆希望杯試）已知有理數(shù)、的和及差在數(shù)軸上如圖所示，化簡(jiǎn)這道題目體現(xiàn)了一種重要的“先估算+后化簡(jiǎn)+再代入求值”的思想（2）為研究問(wèn)題首先要先將題干中條件的絕對(duì)值符號(hào)通過(guò)討論去掉，若時(shí)，若時(shí)，從平方的非負(fù)性我們知道，且，所以，則答案A一定不滿(mǎn)足（3）由圖可知，兩式相加可得：，進(jìn)而可判斷出，此時(shí)，所以【鞏固】 （8級(jí)）（第屆希望杯試）若，則 【解析】 ，故【補(bǔ)充】（8級(jí)）若，求的值【解析】 法1：，則原式法2：由，可得，則原式點(diǎn)評(píng)：解法二的這種思維方法叫做構(gòu)造法這種方法

5、對(duì)于顯示題目中的關(guān)系，簡(jiǎn)化解題步驟有著重要作用【例9】 （10級(jí)）設(shè)，其中，試證明必有最小值【解析】 因?yàn)椋赃M(jìn)而可以得到： ，所以的最小值為【例10】 （8級(jí)）若的值是一個(gè)定值，求的取值范圍.【解析】 要想使的值是一個(gè)定值，就必須使得，且， 原式，即時(shí)，原式的值永遠(yuǎn)為3.【鞏固】 （8級(jí)）若的值為常數(shù)，試求的取值范圍【解析】 要使式子的值為常數(shù)，得相消完，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意【例11】 （2級(jí)）數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如右圖所示，試化簡(jiǎn) 【解析】 【鞏固】 （2級(jí)）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，化簡(jiǎn)【解析】 由題意可知：，所以原式【鞏固】 （2級(jí)）若且，化簡(jiǎn).【解析】 若且，【例12】 （8級(jí)）(北大附中

6、2005-2006學(xué)年度第一學(xué)期期中考試)設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)【解析】 ，；，；，所以可以得到，；【例13】 （6級(jí)）如果并且，化簡(jiǎn).【解析】 .【鞏固】 （2級(jí)）化簡(jiǎn)：； 【解析】 原式；原式【鞏固】 （6級(jí)）若，求的值.【解析】 .【鞏固】 （8級(jí)）（第屆希望杯試）若，那么等于 【解析】 ，可得：，所以，【鞏固】 （2級(jí)）已知，化簡(jiǎn)【解析】 因?yàn)椋?，原式【?4】 （8級(jí)）已知，化簡(jiǎn).【解析】 當(dāng)時(shí)，.【鞏固】 （8級(jí)）（第屆希望杯培訓(xùn)試題）已知，化簡(jiǎn)【解析】 由的幾何意義，我們?nèi)菀着袛喑鏊浴纠?5】 （8級(jí)）若，化簡(jiǎn)【解析】 【鞏固】 （8級(jí)）（四中）已知，化簡(jiǎn)【解析】 ，又，

7、，又，又，原式點(diǎn)評(píng)：詳細(xì)的過(guò)程要先判斷被絕對(duì)值的式子，再去絕對(duì)值的符號(hào)、【例16】 （8級(jí)）（第14屆希望杯邀請(qǐng)賽試題）已知是有理數(shù)，且，求的值【解析】 因，故，又因?yàn)椋?，故原式板塊二：關(guān)于的探討應(yīng)用【例17】 （6級(jí)）已知是非零有理數(shù)，求的值.【解析】 若，那么；若，那么.【例18】 （10級(jí)）（2006年第二屆“華羅庚杯”香港中學(xué)競(jìng)賽試題）已知，且都不等于，求的所有可能值【解析】 或或【鞏固】 （10級(jí)）（北京市迎春杯競(jìng)賽試題）已知是非零整數(shù)，且，求的值【解析】 因?yàn)槭欠橇阌欣頂?shù)，且，所以中必有一正二負(fù)，不妨設(shè)，則原式【鞏固】 （2級(jí)）若，則；若，則.【解析】 ；.重要結(jié)論一定要記得.

8、【鞏固】 （6級(jí)）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)【解析】 ，當(dāng)，即時(shí)，所以；當(dāng)，即時(shí)，所以.【例19】 （8級(jí)）（2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽黃岡市選拔賽試題）若，則的值是（ ）A B C D【解析】 C特殊值法：取, 代入計(jì)算即可【鞏固】 （2級(jí)）下列可能正確的是（ ）A B C D【解析】 選D排除法比較好或特殊值法，【鞏固】 （6級(jí)）如果，則等于（ ）A B C D【解析】 B【例20】 （8級(jí)）如果，則的值等于（ ）A B C D【解析】 易知，所以原式，故選擇A【例21】 （8級(jí)）已知，求的值【解析】 ，、三個(gè)數(shù)都不為零若、三個(gè)數(shù)都是正數(shù)，則、也都是正數(shù)，故原式值為若、中兩正、一負(fù)，則、中一正、兩負(fù)，故原

9、式值為若、中一正、兩負(fù)，則、中一正、兩負(fù)，故原式值為若 、中三負(fù)，則、中三正，故原式值為【鞏固】 （6級(jí)）若，均不為零，求.【解析】 若，全為正數(shù)，則原式；若，兩正一負(fù)，則原式；若，一正兩負(fù)，則原式；若，全為負(fù)數(shù)，則原式.【例22】 （6級(jí)）（第屆希望杯試）如果，求的值【解析】 由得，進(jìn)而有，若，則，若，則【鞏固】 （6級(jí)）若，均不為零，且，求.【解析】 根據(jù)條件可得，有1個(gè)負(fù)數(shù)或2個(gè)負(fù)數(shù)，所以所求式子的值為或【例23】 （8級(jí)），為非零有理數(shù)，且，則的值等于多少？【解析】 由可知，里存在兩正一負(fù)或者一正兩負(fù)；若兩正一負(fù)，那么；若一正兩負(fù)，那么綜上所得【鞏固】 （10級(jí)）（?？谑懈?jìng)賽題）三個(gè)數(shù)

10、，的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且， 求的值.【解析】 ，中必為一負(fù)兩正，不妨設(shè)，則； ，所以原式1.【鞏固】 (8級(jí))（第屆希望杯培訓(xùn)試題）如果，求的值【解析】 由，兩兩相加可得：，所以原式結(jié)果為1若將此題變形為：非零有理數(shù)、，求等于多少？從總體出發(fā)：，所以原式【例24】 （8級(jí)）（“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，及，若，那么代數(shù)式的值為_(kāi)【解析】 由及，知實(shí)數(shù)，中必有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，從而有又=，則【例25】 （8級(jí)）有理數(shù)均不為零，且，設(shè)，則代數(shù)式的值為多少？【解析】 由易知中必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)，不妨設(shè)或 所以或者，所以，所以原式【鞏固】 （8級(jí)）有理數(shù)均不為零，且，設(shè)，則代

11、數(shù)式的值為多少？【解析】 由易知中必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)，不妨設(shè)或 所以或者，所以當(dāng)時(shí)，原式 當(dāng)時(shí)，原式【鞏固】 （8級(jí)）已知、互不相等，求的值【解析】 由題意可得且，把，當(dāng)成整體分類(lèi)討論： 兩正一負(fù)，原式值為； 兩負(fù)一正，原式值為【例26】 （8級(jí)）（第屆希望杯試）若有理數(shù)、滿(mǎn)足，求的值【解析】 由可得：有理數(shù)、中兩正一負(fù)，所以，所以，【鞏固】 （6級(jí)）已知有理數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）A B C D不能確定 【解析】 提示：其中兩個(gè)字母為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)，即【鞏固】 （8級(jí)）有理數(shù)，滿(mǎn)足，求的值【解析】 由知，所以，里含有1個(gè)負(fù)數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)：若含有1個(gè)負(fù)數(shù)，則；若含有3個(gè)負(fù)數(shù)，則【例27】 （6級(jí)）

12、已知，求的值【解析】 若異號(hào)，則若都是正數(shù)，則若都是負(fù)數(shù)，則【鞏固】 （6級(jí)）已知，求的值【解析】 分類(lèi)討論：當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，綜上所述，的值為，【例28】 （6級(jí)）若均為非零的有理數(shù)，求的值【解析】 當(dāng)都是正數(shù)時(shí)，原式當(dāng)都是負(fù)數(shù)時(shí)，原式當(dāng)有兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，原式當(dāng)有兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)時(shí)，原式【鞏固】 （6級(jí)）（第屆希望杯培訓(xùn)試題）若，求的值【解析】 由可得，、中有個(gè)負(fù)數(shù)或個(gè)負(fù)數(shù)，當(dāng)、中有個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，原式；當(dāng)、中有個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，原式；當(dāng)是負(fù)數(shù)時(shí)，原式板塊三：零點(diǎn)分段討論法（中考高端，可選講）【例29】 （4級(jí)）（2005年云南省中考試題）閱讀下列材料并解決相關(guān)問(wèn)題：我們知道，現(xiàn)在我們

13、可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得（稱(chēng)分別為與的零點(diǎn)值），在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下中情況：·當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式綜上討論，原式通過(guò)閱讀上面的文字，請(qǐng)你解決下列的問(wèn)題：分別求出和的零點(diǎn)值化簡(jiǎn)代數(shù)式【解析】 分別令和，分別求得和，所以和的零點(diǎn)值分別為和當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式所以綜上討論，原式【例30】 （6級(jí)）求的值【解析】 先找零點(diǎn)，解得，依這三個(gè)零點(diǎn)將數(shù)軸分為四段：，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式【例31】 （4級(jí)）化簡(jiǎn)：【解析】 由題意可知：零點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式

14、當(dāng)時(shí)，原式【鞏固】 （4級(jí)）(2005年淮安市中考題)化簡(jiǎn)【解析】 先找零點(diǎn).， ； ，零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成三段 當(dāng)，； 當(dāng)，； 當(dāng)，【鞏固】 （6級(jí)）(北京市中考模擬題)化簡(jiǎn)：.【解析】 先找零點(diǎn).， ，或，可得或者；綜上所得零點(diǎn)有1，-1，3 ，依次零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成四段 ，； ，； ，； ，【例32】 （6級(jí)）（選講）（北京市中考題）已知，求的最大值與最小值【解析】 法1：根據(jù)幾何意義可以得到，當(dāng)時(shí)，取最大值為；當(dāng)時(shí)，取最小值為法2：找到零點(diǎn)、，結(jié)合可以分為以下兩段進(jìn)行分析：當(dāng)時(shí)，有最值和； 當(dāng)時(shí)，；綜上可得最小值為，最大值為【鞏固】 （8級(jí)）（第屆希望杯試）已知，那么的最大值等于 【解析

15、】 （法1）：我們可以利用零點(diǎn)，將的范圍分為段，分類(lèi)討論（先將此分類(lèi)討論的方法，而后講幾何意義的方法，讓學(xué)生體會(huì)幾何方法的優(yōu)越性）（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值；（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值綜合可知，在上，的最大值為（法2）：我們可以利用零點(diǎn)，將的范圍分為段，利用絕對(duì)值得幾何意義分類(lèi)討論，很容易發(fā)現(xiàn)答案：當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值【鞏固】 （6級(jí)）如果，且，求的最大值和最小值【解析】 當(dāng)時(shí)，有，所以；當(dāng)時(shí)，有，所以綜上所述，的最大值為，最小值為【鞏固】 （6級(jí)）（2001年大同市中考題）已知，求取何值時(shí)的最大值與最小值【解析】 法1：表示到點(diǎn)和的距離差，畫(huà)出數(shù)軸我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)，時(shí)兩者的距離差最小為，

16、即；當(dāng)時(shí)，兩者的距離差最大為4，即法2：分類(lèi)討論：先找零點(diǎn)，根據(jù)范圍分段，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)有最小值；當(dāng)有最大值綜上所得，當(dāng)時(shí)，最大值為4；當(dāng)時(shí)，最小值為課后練習(xí)練習(xí) 1 （2級(jí)）若，則下列結(jié)論正確的是( )A. B. C. D. 【解析】 答案不完善，選擇練習(xí) 2 （2級(jí)）(人大附期中考試)如果有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，求的值.【解析】 原式練習(xí) 3 （6級(jí)）已知，求的值.【解析】 由可得：，又，可得：； 原式.練習(xí) 4 （8級(jí)）（第屆希望杯培訓(xùn)試題）若，則 【解析】 因?yàn)?，所以，原式練?xí) 5 （6級(jí)）（2006年七臺(tái)河市中考題）設(shè)，其中，求的最小值.【解析】 ，則時(shí)，有最小值為.練習(xí) 6 （4級(jí)）若，化簡(jiǎn).【解析】 .練習(xí) 7 （6級(jí)）若，試化簡(jiǎn)【解析】 練習(xí) 8 （6級(jí)）若的