高等數(shù)學(xué)II試題6套

1、精選高等數(shù)學(xué)II試題解答一、填空題（每小題3分，共計(jì)15分）xzzyzexzxz1 .設(shè)zfM由方程xyyze確定，則xyxe。2 32 .函數(shù)u2xyzxyz在點(diǎn)B（0,1,2）沿方向i（4,0,-i2）的方向?qū)?shù)最大。3 .L為圓周x2y24,計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分??；x2y2ds=80234 .已知曲線xt,yt,zt上點(diǎn)P處的切線平行于平面x2yz2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（111）越（3,9,27）。5 .設(shè)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間（1,1的定義為21x0，則f （x）的傅里葉級(jí)數(shù)在x 1收斂于2。f(x)x0x1二、解答下列各題（每小題7分，共35分）12x1.設(shè)f(x,y)連

2、續(xù)，交換二次積分I0dxicf(x,y)dy的積分順序。12xIdxf(x,y)dy011x211(y1)222y解:0dy°f(x,y)dx1dy0f(x,y)dx22,其中D是由y軸及圓周x （y 1）1所、x2y2dxdy2.計(jì)算二重積分D圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域。.x2 y2 dxdy 解：D2d2sin or2dr0169-22-223.設(shè)是由球面zV1xy與錐面zVxy圍成的區(qū)域，試將三重If(x2y2z2)dxdydz積分化為球坐標(biāo)系下的三次積分解：-222Ifxyzdxdydz24122.，ddfrrsindr0004.設(shè)曲線積分Lf(x)eydxf(x)dy與路徑無(wú)

3、關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f1,求f(x)x解：P f (x) e y , Qf(x),f(x)exydxf(x)dy-3十斗由Lyy與路徑無(wú)關(guān),得Qxy cePyx 1 xe2即 f(x)f(x) ex解微分方程o 又 f(0)5.求微分方程yc1,得2y y e故 f(x)解：y 2y y 0的通解為y的通解。(Ci ax)ex設(shè)原方程的一個(gè)特解yce代入原方程,4 。其通解為(C| c2x)ex 1e x4(10分)計(jì)算曲2y dzdx zdxdy,其中三是球面解:補(bǔ)上4(z 0)的上側(cè)。1 :z 0 (x2 y24)下側(cè)。dzdx zdxdy2 ,y dzdx zdxdy12

4、 , y dzdx zdxdy1對(duì)稱性四、(2 y 1)dxdydz 02ydxdydz dxdydzc 1616033(10分)計(jì)算三重積分(x y z)dxdydz22，其中由2 x y與z 1圍成的區(qū)域。解：(x y z)dxdydzxdxdydz ydxdydzzdxdydz對(duì)稱性0 0 zdxdydz11rdr 2 zdz 一0 r23五、(10分)求z1在y 1 x下的極值。22,解：z x (1 x) 12x2 2x 21x 一令 z 4x 2 0 ,得 2。z 4,（11）在y 1 x下的極小值點(diǎn)為2 2,-/2K、（10分）求有拋物面z 1 x）22,八、解：z 1 x y

5、（z 0）的面積為1x20,2為極小值點(diǎn)。故z x3極小值為2 02y與平面z 0所圍立體的表面積y2 1§ dSx2 y2 1224x 4 y dxdy.dr.14r2dr00(5.51)6(5.51)平面z 0部分的面積為。故立體的表面積為n 1x七、（10分）求幕級(jí)數(shù)n 1 n3n的收斂區(qū)間與和函數(shù)n 1x 解：收斂區(qū)間為1n3s(x)3,3)。設(shè)11n(3 x13n1 n3nx) xs(x) (xs(x)n(與i n3o（下）模擬試卷五一、填空題：（每空3分，共21分）22221（x,y）xy,y022xeydx2yeydy3042',r、）1 edyvf（x,y）d

6、x5、0ey,6、條件收斂，7、y8sxc（C為常數(shù)），二、選擇題：（每空3分，共15分）1、A,2、D,3、A,4、D,5、B三、解：1、令F（x,y,z）lnzezxy1zFxyzxFz1zez4ZFyXzyFz1zez72、所求直線方程的方向向量可取為1，2，3x1則直線方程為：13、原式7234drdr007y2234四、解：1、令P(x,y)y2ex,Q(x,y)2xy5xsin2y,-P2y,-Q2y5yxQP()dxdy原式Dxy62082、(1)此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)1五、解:,1c1lim0因nVnn故原級(jí)數(shù)收斂limn1、2在（1,3）處因AC在（1,3）處因AC2、通解y1,2

7、,此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（n1）23n12n3nfx(x,y)3x23B2B2fxx(1,3)6,B故原級(jí)數(shù)收斂fy(x,y)3fxy(1,3)0,C0,所以在此處無(wú)極值fxx(0,Adxdx1,3)6,Bfxy(1,3)0f（1,3）0,所以有極大值1dxcey0得駐點(diǎn)（"Mfyy(1,3)0,Cfyy(1521,3)11,3)xexce23、1）其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為有兩不相等的實(shí)根r12,r2所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為r22r802xce4xc2e(C1,C2為常數(shù))2）設(shè)其特解yx(x)ae5aex將其代入原方程得2ex,a*y(x)故特解2x-e53）原方程的通解為2xyC

8、1e4xC2ex,LL1、高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷六參考答案填空題：(每空3分，共21分)1(x,y)x1yx12232xcos(x2y2)dx2ycos(x2y2)dy4、2y2,5、二、選擇題：三、解：_2f(r)rdr6（每空3分，共15分）絕對(duì)收斂，1、B,2、7、3、c(c為4、D,常數(shù)），5、D1、令F(x,y,z)z33xyz2、3、四、解:FxFzyz2zxyxz2zxy所求平面方程的法向量可取為則平面方程為：2（x1）y原式13原式x2dx0(xP(x,y)(x2cos162,1,33(z2)00)dxy2)dyy,Q(x,y)10(1(xsiny),siny)dy2、令Px,

9、Qy,R原式(x上)dvz3dv3、(1)此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)11lim0因nlnn,lnn1ln(n五、解：3故原級(jí)數(shù)收斂limn1、此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)4n1sin于34nsin3nfx(x,y)6x1)(n2,3fy(x,y)故原級(jí)數(shù)發(fā)散2_4yy0得駐點(diǎn)(1,0),(1,4)在（1,0）處fxx(1,0)6,Bfxy(1,0)0,Cfyy(1,0)4因ACB20,A在（1,4）處fxx(01,4)所以有極小值6,Bfxy（f(1,0)ACB20,所以在此處無(wú)極值2、通解1dxdxdxce(x1,4)0,Cfyy(1,4)4c)ex1,特解為y(x1)ex3、1）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為5r有

10、兩不相等的實(shí)根r12,23所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為c*x2）設(shè)其特解y（x）（axb）e2xc1e3xc2e為常數(shù)）LL將其代入原方程得2ax3a2b1,a12,by(x)(-x故特解2-)ex4L3）原方程的通解為y2xce3xC2e/15、(一x-)24高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷七參考答案填空題：（每空3分，共八2 t2.yt C (3)22_1(x,y)|0xy25I.3一y1y53yxdxxInxdyy4. yCx 5.1x2y26.yx-e(Cicos2xC2Sin2x)7882選擇題：（每題3分，共15分）1.D2,D3.B4,C5,B.求解下列微分方程（每題7分，共21分）zzuz

11、v1,解：xuxvxzzuzvyuyvy2x.-2 ln(3x y2x2一°，一ln(3x y4y)4y)3x22(3x 4y)y24x22(3x 4y)y2(4分)(7分)3n2八x-(ln x)2CLLLLLLLLL (10 分)2,解:limUnAlim空二L(5分)xUnx臺(tái)|1LLL(6分)所以此級(jí)數(shù)發(fā)散LLLL(7分)-、，2.23,解：eydxdyD=derrdrLL(5分)000d21r2=-e02（e1）LL（7分）四.計(jì)算下列各題（每題10分，共40分）1,解：原方程的通解為1dx1dxyexlnxexdxcLLL(6分)1 八八=xlnxdxCxlnxdlnxC

12、x.1x一2.解：xydxdy二°dx°xydyLL(6分)D1 12x1321八=xyydxxdxLL(10分)020022fx(x,y)2x603 .解：2得駐點(diǎn)(3,2)和(3,-2)LLLL(4分)fy(x,y)3y120fxx(x,y)2,fxy(x,y)0,fyy(x,y)6y在點(diǎn)(3,2)處，A=-2,B=0,C=12,ACB2=-24<0,故點(diǎn)(3,2)不是極值點(diǎn)LLLLLLLL(7分)在點(diǎn)(3,-2)處，A=-2,B=0,C=-12,ACB2=24>0,且A<0,故點(diǎn)(3,2)是極大值點(diǎn)，極大值f(3,2)30LLLLLL(10分)4 .

13、解：此曷級(jí)數(shù)的收斂半徑：R=limlim哼二4LL(6分)n1(n1)24n1，一一，、，1一x4時(shí)曷級(jí)數(shù)變?yōu)镕是收斂的P-級(jí)數(shù)n=1n(-1)n,x4時(shí)號(hào)級(jí)數(shù)變?yōu)榻^對(duì)收斂LLLLLLLLLLLLL(8分)n=1nn所以攵斂域?yàn)?4,4LLLLLLLLLLLLLLLL(10分)n1n24n單項(xiàng)選擇題（6X3分）1、A2、C3、C4、B5、A6、D二、填空題（7X3分）81、22、川+碩工辦+力入彳4、4不5、.：107、三、計(jì)算題（5X9分）1、解：令尸則凡=-/,4=1一/故口,艮/1-y=以'01一二/ "0+X1-/')+/Xio-/r*D+乃”"S)

14、II0-75(-r2、解：令'一所以切平面的法向量為：-1切平面方程為：1141&解如/史7F o = 3尸二二4、解：令*+y,BP_dQ_6bx(_+2當(dāng)A。，即在x軸上方時(shí)，線積分與路徑無(wú)關(guān)，選擇公了二1由（0,1）到（2,1）則ydx- xdyydK-益切2。衣=arctan 2-4£工”）=Z5、解：令$1程則»1S'3=2>i=-七1-Xo1工dx-In(l-x)y-=-ln(l-2T)國(guó)界3"Da四、綜合題（10分）解：設(shè)曲線x=/a）上任一點(diǎn)為不（/）,則過(guò)年的切線方程為：y-K=/（晶）5耳）在尸軸上的截距為此一X5

15、）y-M二一一二（“/）過(guò)其的法線方程為：。在或軸上的截距為晶+汽/國(guó)）依題意有3畫(huà)尸Lo）二§ 飛尸區(qū)）由F（為了,）的任意性，即工卜）曠,得到(a+3y)yl=y-3x這是一階齊次微分方程，變形為:j-3a.令二In*二/則y, =小工+N ,代入（1）3q -型Q得:丸十1分離變量得:解得:In |(1+一 arctan = C。+力）l+3yIn+/)+arctan=C3工為所求的曲線方程。五、證明題（6分）15證明:X.尸之0劇a3-2+X>0聲旌u1小想都收斂，由比較法及其性質(zhì)知:Zl-I制落收斂z-故Ml用絕對(duì)收斂。1、 單項(xiàng)選擇題（6X4分）1、 A2、A3、C

16、4、B5、B6、D2、 填空題（8X4分）1、”v+2n+6=Q2、3、44、4斤爐5、一In。一工）琳上=07、匕8、丁建一W1、解：令R 0 弓二（土）十三/尺=2工¥y y也 R2xdz二二 一以用y（£）-2z中fl4加廣1"2、解：工，=。 口2c/儂 = 口= Jo座工3、解：令1天公一對(duì)于1liy<-）為="心yy匕-昌十%心_/_y y yy匚療廠辦時(shí)'丐四=口（1+COS 2）2?口,嚴(yán)=打獷耳%呼 ?1m到=hm翠叫/1 9 14不三、計(jì)算題（4X7分）09=R=4當(dāng)f=4時(shí)尺14=»-1發(fā)散0產(chǎn)Byt-iy五

17、,當(dāng)£時(shí)，«-!4 _/?加_對(duì)應(yīng)的齊次方程解為；令所求解為將乂V代入(1)得：u '(1)/ = -x=*也發(fā)散¥rfN£(-D*-7所以I4相在一4<7M4時(shí)收斂，在該區(qū)間以外發(fā)散，即-4<(x-2)3<4解得0。<4故所求哥級(jí)數(shù)的收斂半徑五為2,收斂域?yàn)?0,4)4、解：令03,0瀏力,則dQap。-=y電射,由格林公式得到“加2+函+如刃功卜%仃.盯了明四、綜合題(10分)解：過(guò)幅的切線方程為：”了=1乂-工)令x=o,得y=y-yljy'=-x依題意有：克二丁一號(hào)即,工.(1)故（1）的解為：五、證明題（

18、6分）證明：由于»-1收斂，所以H也收斂,1=2（%+仃科1）工版3A+1由比較法及收斂的性質(zhì)得：京-1收斂。（下）模擬試卷五、填空題：（每空3分，共21分）2、，2v2、,21、（x，y）xy,y02、2xeydx2yeydy3、0,4、25、選擇題:1 edy v f （x, y）dx 八0 ey,6、條件收斂,（每空3分，共15分）1、A7、y cosx2、D, 3、A,c （c為常數(shù)），4、 D, 5、 B、解：1、令F（x,y,z）lnzezxy1zFxyzxFz1zez4zFyxzyFz1zez72、所求直線方程的方向向量可取為1,2,32x1yz2則直線方程為：1232

19、23、原式4drdr007四、解：1、令P(x, y) y2 ex,Q(x, y) 2xy 5x2 sinP y,一c Q2y, x2y 5五、解:QP( )dxdy 原式D x丫202、(1)此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),1c 1lim 0因n v'n , Jn故原級(jí)數(shù)收斂此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（n 1）2一 n 1 (n1,2,limn3n 1-2n3n故原級(jí)數(shù)收斂1、fx(x,y)3x2 3fy(x,y) 3y 0得駐點(diǎn)（"M1,3)2在（1,3）處fxx(1,3)6, Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)因ACB20,所以在此處無(wú)極值在（1,3）處fxx(1,3)6,Bfxy(1,

20、3)0,Cfyy(1,3)1因ACB20,A2、通解y dxdx0,所以有極大值1dxf( 1,3)152xex ce2特解為y (x 2)ece3、1）其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為有兩不相等的實(shí)根r12,r28r22r 8所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為2xce4xae(C1,C2 為常數(shù)）L L L 32）設(shè)其特解yx(x) ae5aex將其代入原方程得2ex,a*y (x)故特解3）原方程的通解為2xGe4xC2e高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷六參考答案填空題：（每空3分，共21分）11(x,y)x1yx12、23、2xcos(x2y2)dx2ycos(x2y2)dy4、.2® 5、選擇題：

21、、解：_2f(r )rdr，6、（每空3分，共15分）絕對(duì)收斂，1、B , 2、7、3、Bc (c為4、D,常數(shù)），5、D1、令 F(x, y,z)3z 3xyzFxyz-2z xy2、3、四、解:Fzxz-2z xy所求平面方程的法向量可取為則平面方程為：2（x 1） y原式x 2 dx°(xP(x,y)原式(x20)dxy2)dy62.1,3y,Q(x, y)10(13(z 2) 0(xsiny)dysin y),cos12、令Px,Qy,R原式( x3dv3、（1）此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)1lim 0因 n ln nln nln(n1) (n2,3)故原級(jí)數(shù)收斂（2）此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)五

22、、解：34n1limn1、由在（1,0）處因AC在（1,4）處因AC2、通解ysin-)3n144nsin3nfx(x,y)B2B2fxx(0,Afxx(故原級(jí)數(shù)發(fā)散6x1,0)01,4)6,Bfy(x,y)24yy0得駐點(diǎn)(1,0),(1,4)fxy(1,0)0,Cfyy(1,0)4所以有極小值6,Bfxy（0,所以在此處無(wú)極值1dxdxdxcef(1,0)1,4)0,C1,4)4(xc)exx0c1,特解為y（x1）ex3、1）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為c*x2）設(shè)其特解y（x）（axb）e5r2xce03x有兩不相等的實(shí)根r1c2e（GC為常數(shù)）LL2ax3a2b2,23將其代入原方程得*1y（x）（-x故特解2d151,a一，b243）原方程的通解為y-)ex4L2xc1e3x(-x5)exc2e24LLL7高等數(shù)學(xué)（下）模擬試卷七參考答案填空題:（每空3分，共1(x,y)|0x2y225I.ytc(2)t2.33y53.yxdxxylnxdy4.yCx.選擇題：yd225.1xy(每題3分,6.共yex(C1cos2x15分)C2sin2x)78.8.21.D2.D3.B4.C5.B.求解下列微分方程7分，共21分）1.解：XuX2fln