初中與高中數(shù)學銜接中的因式分解

1、初中與高中數(shù)學銜接中的因式分解初中與高中數(shù)學銜接中的因式分解大連理工大學附屬高級中學金鐘植高中數(shù)學中，式子的恒等變形是非常重要的數(shù)學變換，其中因式分解尤為重要。根據(jù)需要，在對一些式子整體分解或局部分解是高中數(shù)學學習中作為學生必須具備的基本技能，但由于初中階段新的課程標準中對因式分解，較以往的標準降低了要求，所以剛上高中的學生來說，在學習數(shù)學中遇到或多或少的困難。為此，本文根據(jù)高中階段所需要的有關因式分解的要求，將初中階段所學的因式分解的基礎上加以補充和拓寬。 現(xiàn)行的初中教材中，因式分解只介紹兩種方法，即“提取公因式法”和“運用公式法”。實際因式分解還有兩種方法需要掌握，即“十字相乘法”和“分組

2、分解法”，而這兩種方法在高中數(shù)學中都有用途，所以本文對因式分解的本質介紹的前提下，重點介紹后兩種方法。一、因式分解的概念在現(xiàn)行初中教材中的因式分解的概念：把一個多項式化為幾個整式的乘積形式。由概念不難看出，因式分解的本質就是經(jīng)過恒等變形，將一個多項式化成幾個整式的“乘積”的形式。所以過程是恒等變形，結果是化成“乘積”的形式，所以關鍵是如何進行恒等變形的問題?！疤崛」蚴椒ā毙枰倪^程是：將多項式每個項中所含的相同“結構”，即公因式提出來；“運用公式法”是從多項式的特殊“結構”，即逆向運用乘法公式的形式，運用公式分解因式。這里還需要補充高中階段能用到的適合分解因式的公式還有：二、十字相乘法我們來

3、觀察又有在我們學習乘法運算時有：因此在分解因式中有注意觀察上式的系數(shù)。對于一個關于某個字母的二次項系數(shù)是1的二次三項式，它的常數(shù)項可看作兩個數(shù)，a與b的積，而一次項系數(shù)恰是a與b的和，它就可以分解為(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab時，用此方法分解因式關鍵在于a與b的值的確定。如何確定，看下面的“十字相乘”與分解因式之間的對應關系：即二次項系數(shù)和常數(shù)項分解以后重新相乘再加得到一次項系數(shù)，進而可以分解因式。這樣的分解因式的方法叫做“十字相乘法”。用此方法分解因式關鍵在于a與b的值的確定。所以用“十字相乘法”分解因式的結構必須是“二次三項式”的形式。例1：分解因式：（1）（2）分析

4、：用十字相乘法分解因式時，首先要找準各項的系數(shù)和常數(shù)項，然后利用來分系數(shù)，使得左邊兩數(shù)乘積為二次項系數(shù)，右邊兩項乘積為常數(shù)項，交叉相乘后結果作和，應與一次項系數(shù)同，這樣就分解出來了。評注：十字相乘時，要注意二次項系數(shù)和常數(shù)項分解后的搭配問題，比如：（1）中十字相乘也可以有其他的方式，但這種方式只適合于多項式，而不是。所以對每個二次三項式的分解因式，利用十字項乘法時，需要選擇恰當?shù)拇钆洳拍艹晒?。同步練習：?）（2）（3）（4）例2：分解因式（1）（2）分析：要想用十字相乘法分解因式，應具備二次三項式的條件，有些多項式可以看作關于某個整體的二次三項式，也可以照上例方法進行因式分解，如（1）可以看

5、作關于的二次三項式（2）可以看作關于（a+b）的二次三項式。同步練習：（1）（2）（3）例3：分解因式（1）（2）分析：當多項式中出現(xiàn)兩個字母時，分解同前，只不過常數(shù)項也會出現(xiàn)字母，如（1）可以看作關于x的二次三項式，則y就當作常數(shù)處理。（2）應先進行公因式的提取，再分解，記住，提取公因式是分解因式的第一步。同步練習：（1）（2）例4：分解因式：（1）（2）分析：當二次項系數(shù)不是1時，數(shù)的分解不太容易，應不斷試一試幾種可分的情況，同時注意符號的合理匹配。同步練習：（1）（2）三、分組分解法先看一個多項式的分解因式：。這個題目結構非常清楚，有公因式，所以直接提取即可。但如果待分解因式的多項式是，

6、就不能直接提取公因式了，原因是把待分解的多項式由變形為比這個更原始的結構，但我們知道兩個式子是恒等的。這種情況下，分解因式的過程自然就是：。這樣分解因式的方法叫做分組分解法，即將多項式適當分組后經(jīng)過局部分解，化成可以整體分解的結構，最終可以整體分解的方法。不難看出，運用分組分解法分解因式時，關鍵是分組，如何分組是這種方法運用當中的難點。如何突破這個難點呢？分組的方式一般是多樣的，其中首先要考慮能夠局部分解，將多項式化成可以整體分解的結構。例5 分解因式：（1）（2）（3）（1）分析：在多項式中，第一項和第三項有公因式，而第二項和第四項也有公因式，這樣觀察到局部有公因式可提取，即可完成分組這個關

7、鍵步驟。評注：這個多項式分組的方式還有一種，即第一項與第四項組合，第二項與第三項組合。如何分組關鍵就是能否局部分解。由于整體分解時運用的是“提取公因式法”，所以這種分組分解法可叫做“間接提取公因式法”。（2）分析：在多項式中，前三項是完全平方式，而第四項除了負號也是完全平方形式，這樣前三項分成一組，最后一項分成另一組就可以構造平方差的結構。（2）解：評注：這個多項式的分解因式中，其他分組的方式是不能進行分解因式的，比如前兩項組合在一起，后兩項組合在一起，雖然都能局部分解，但不能進行整體分解，所以這種分組的方式是失敗的。在對多項式的結構沒有觀察清楚的前提下，分組失敗是經(jīng)常出現(xiàn)的，但只要注意分組的

8、方向，即恒等變形過程中，化成能夠在局部分解的前提下，又能整體分解的結構，就能達到分解因式的目的。由于整體分解時運用的是“運用公式法”，所以這種分組分解法可叫做“間接運用公式法”。（3）分析：在多項式中，前三項是完全平方的結構，第四和第五有公因式3，最后一項做為常數(shù)項，即可構造十字相乘法的結構。（2）此題是二元二次多項式的特殊結構（三個二次項構成完全平方式），實際只要是可分解的二元二次多項式，其他結構的分解因式也可以經(jīng)過局部分解，最后整體分解時也可運用十字相乘法分解，所以第一種方法是有局限性的。由于整體分解時運用的是“十字相乘法”，所以這種分組分解法可叫做“間接十字相乘法”。同步練習：（1）（2

9、）(3) *例6 分解因式：分析：根據(jù)多項式的結構特點，經(jīng)過分組和局部分解將它化成關于的二次三項的結構（或廣義的十字相乘的結構），然后運用十字相乘法。評注：本題除了上述兩種方法之外，只要是經(jīng)過分組和局部分解把多項式化成二次三項的形式，都能利用十字相乘法分解因式。比如：經(jīng)過分組和局部分解化成關于的二次三項式的結構，不難看出，把多項式可以看成關于的二次三項式的結構等。同步練習：（1）*例7 分解因式：分析：這個多項式不能直接運用上面所介紹的四種方法分解因式，原因是不屬于三種方法的任何一種結構形式。但由于將這個多項式可以看做關于的二次式：即，則容易想到配方成：，這樣就可以分解因式。評注：另一個角度看

10、，實際是將合并后的多項式還原成原來的結構：即，這樣的過程我們可以說成是“填項或拆項分組法”，是“間接分組分解法”的一種。初中階段，我們更多的是“合并”同類項，但實際數(shù)學變形當中，“拆同類項”也是非常重要的，而且不同的是：“合并”的結果是唯一的，但“拆”的形式是無窮多種（如：），所以“拆”的時候要根據(jù)我們需要的結構“拆”得準才可以。除了“填項或拆項分組法”這種“間接分組分解法”以外，有的多項式首先化簡才能分組，這種分解因式的方法也屬于“間接分組分解法”，這種方法就叫做“化簡分組法”。比如：多項式的分解因式問題。同步練習:四、因式分解方法的系統(tǒng)歸類綜上所述，整個高中階段的分解因式需要我們掌握的方法可歸類為：注意：1因式分解的方法多樣性是由多項式結構的多樣性引起的，即針對不同結構的多項式，采用不同的方法分解因式，所以如何選擇恰當?shù)姆椒P鍵是觀察多項式的結構特征。觀察的的順序為：看是否有公因式看是否公式結構看是否二次三項式看是否可分組，以