68二重積分計算

1、16.8 6.8 二重積分的計算二重積分的計算：把：把二重積分二重積分化為化為兩次定積分兩次定積分來計算來計算2Ddyxf),(Ddxdyyxf),(dxdydiiniidyxf),(lim10yxikjyx 面積元素面積元素Ddyxf),(i6.8.1 在直角坐標系下二重積分的計算在直角坐標系下二重積分的計算3)()(,),(:21xyxbxayxDDdxdyyxf),(dx先先y后后x的兩次積分的兩次積分.記作記作:Ddxdyyxf),(baxxdyyxfdx)()(21),(1.積分區(qū)域積分區(qū)域D為為:X型區(qū)域型區(qū)域xyoab)(1xy)(2xyx abdyyxf),()(1x)(2x4

2、x)(xA不妨設不妨設0),(yxf由幾何意義知由幾何意義知:V),(bax)(xA故故VbadxxA)(dxdyyxfbaxx )()(21),(即Ddxdyyxf),(baxxdyyxfdx)()(21),(Ddxdyyxf),(yxzoab),(yxfz )(1xy)(2xy)()(21),(xxdyyxf5)()(,),(:21yxydycyxD2.積分區(qū)域積分區(qū)域D為為Y型區(qū)域型區(qū)域dcyydxyxfdy)()(21),(先先y后后x的兩次積分的兩次積分.Ddxdyyxf),(xyocd)(2yx)(1yxyDdxdyyxf),(dycddxyxf),()(1y)(2y6dcbadx

3、yxfdy),(Ddxdyyxf),(說明說明badcdyyxfdx),(3).如果平行于坐標軸的直線與積分區(qū)域如果平行于坐標軸的直線與積分區(qū)域D的的邊界交點多于兩點邊界交點多于兩點， 則作輔助線把則作輔助線把D分為若干分為若干X-區(qū)域區(qū)域或或Y-型區(qū)域型區(qū)域.Ddxdyyxf),(badxxf)(1dcdyyf)(2dycbxayxD,),(:1).積分區(qū)域積分區(qū)域D為為 矩形矩形2).若被積函數(shù)若被積函數(shù) f (x,y) = f1(x) f2(y) ,dycbxayxD,),(: 積分區(qū)域積分區(qū)域D為為 矩形矩形7步步 驟：驟：（2）寫出區(qū)域）寫出區(qū)域D上的點的坐標滿足的不等式，上的點的坐

4、標滿足的不等式， 從而定出積分的上下限從而定出積分的上下限.2.在在 x 軸上軸上 a , b 內任取一點內任取一點 x ，做做 x 軸的垂線，垂線落在軸的垂線，垂線落在 D 內的線段，內的線段，y 從從 1(x) 到到 2(x)說明說明二重積分化為兩次積分時，二重積分化為兩次積分時，確定積分限確定積分限是關鍵是關鍵.（1）畫出區(qū)域）畫出區(qū)域D的圖形的圖形1. x 從從 a 到到 b,例：若例：若D為為X-區(qū)域區(qū)域Ddxdyyxf),(baxxdyyxfdx)()(21),()()(,),(:21xyxbxayxDxyoab)(1xy)(2xyx 8例例1. 化二重積分化二重積分Ddxdyyx

5、f),(為兩次積分為兩次積分.xyxxyD1, 2,:解解:畫草圖畫草圖,xyxxyxD1,21),(:或或21DDD21, 121),(:1xyyyxD2, 21),(:2xyyyxD21/ 1),(xxdyyxfdx2/112/1),(ydxyxfdy221),(ydxyxfdyDdyxf),(xyo12D1D2D12219yydxyxfdyI2202),(xyo42yx22yx DyxyyyxD2,20),(:2xxdyyxfdx2/40),(解解:xyxxyxD2,40),(:或或I例例2. 交換積分次序交換積分次序10解解21DDDyxyyxD20, 10),(:1yxyyxD30,

6、 31),(:2xyo1231D2Dyx 3yx2xyxxyxD32,20),(:2032/),(xxdyyxfdx1020),(ydxyxfdyI+ydxyxfdy3031),(例例3. 交換積分次序交換積分次序I11例例4. 計算計算Dxydxdy其中其中D是由直線是由直線xyxy, 2, 1所圍所圍.解解: 畫草圖畫草圖,Dxydxdyxxydydx121dx21212) 1(21dxxx89另解另解:2,21),(:xyyyxDDxydxdy221yxydxdy21dyxyxyxD1 , 21),(:212)4(21dyyyxyo112xyD2891212xxy2221yxy12xyo

7、241) 1, 1 ( )2 , 4(D2例例5. 計算計算Dxydxdy其中其中D由由2,2xyxy所圍所圍.解解:畫草圖畫草圖2, 21),(:2yxyyyxDDxyd2212yyxdxydydyxyyy2122221dyyyy)2(2142128551D2DDxyd1Dxyd2Dxyd另解：另解：xxydyxdx10 xxydyxdx24185513dxdyxxDsin解解:畫草圖畫草圖,xyxxyxD2, 10),(:xxdyxxdx2sin10dxxxxx)(sin21010)sin(sindxxxx1sin1xyxyD,:2所圍所圍.例例6. 計算計算dxdyxxDsin注意注意選

8、擇積分次序的原則：選擇積分次序的原則：1.積分區(qū)域積分區(qū)域, 盡量避免分塊盡量避免分塊;2.被積函數(shù)被積函數(shù), 第一次積分易積第一次積分易積.1xyo1dxdyxxDsin或或:yydxxxdysin10不能計算不能計算14例例7. 用二重積分計算由用二重積分計算由2,2xyxy所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.解解: 畫草圖畫草圖,2, 21),(:2xyxxyxDDdxdy2212xxdydx212)2(dxxx29 xyo1 22xyD2xyA面面積積或或212)2(dxxx29 A面面積積15例例8. 求兩個底圓半徑等于求兩個底圓半徑等于R 的直交圓柱所圍成的立體的體積的直交圓柱所

9、圍成的立體的體積.解解. 建立坐標系如圖建立坐標系如圖,兩圓柱面的方程為兩圓柱面的方程為:,222Ryx.222Rzx由對稱性知由對稱性知,所求體積為第一卦限部分的所求體積為第一卦限部分的8倍倍.1VDzdxdyDdxdyxR22dyxRdxxRR220220RdxxR022)(332R所求體積所求體積18VV 3316RyxRR22xRy xyzoRRDor M),(r在極坐標系中在極坐標系中M點的極坐標點的極坐標),(rM極極徑徑 r極極角角 常常數(shù)數(shù) r代表以極點為圓心的圓代表以極點為圓心的圓常常數(shù)數(shù) 代表從極點出發(fā)的一條射線代表從極點出發(fā)的一條射線)00( ，極點極坐標系極坐標系2、在

10、極坐標系下二重積分的計算、在極坐標系下二重積分的計算在直角坐標系中在直角坐標系中 rdrddxdy cosrx sinry Drdrdrrf)sin,cos(dxdyyxfD),(xoryyx M),(yx),(r),(yxM在極坐標系中在極坐標系中),(rM22yxr xytan 1.極點在區(qū)域之外極點在區(qū)域之外.)()(,),(:21rrrrDdxdyyxfD),(rdrrrfd)sin,cos(oDA)(2rr)(1rrDrdrdrrf)sin,cos(dxdyyxfD),(Drdrdrrf)sin,cos()(2r)(1r2. 極點在區(qū)域的邊界上極點在區(qū)域的邊界上.)(0 ,),(:r

11、rrDDdxdyyxf),()(0)sin,cos(rrdrrrfd3. 極點在區(qū)域之內極點在區(qū)域之內.)(0 ,20),(:rrrDDdxdyyxf),()(020)sin,cos(rrdrrrfdDAo)(rr AoD)(rr 一般一般,積分區(qū)域為圓形、扇形或環(huán)形時，積分區(qū)域為圓形、扇形或環(huán)形時，)(),(),(22xyfyxfyxf或者被積函數(shù)為或者被積函數(shù)為 利用極坐標計算比較簡單利用極坐標計算比較簡單.解解. 畫草圖畫草圖例例1. 計算計算, 422yx所圍第一象限部分所圍第一象限部分., D由圓周由圓周122 yx及直線及直線0,yxy21 ,40),(:rrDDdxdyyx)(2

12、221340drrdd4016151212oxyxy DDrdrdr241214rDdxdyyx)(22, 例例2. 計算計算Dyxdxdye221:22 yxD解解: 畫草圖畫草圖.10 ,20),(:rrDDyxdxdye2210202rdredrder20102)21()1 (1ede201)2121(Drrdrde2xyD122解解: 畫草圖畫草圖.cos20 ,22),(:rrDDdxdyyx22cos20222drrd例例3. 計算計算Ddxdyyx22xyxD2:22,xyD2o223cos38d203cos316d.932xyx222cos22rr cos2rDrdrdr解解. 畫草圖畫草圖例例4.計算計算Ddxdyxyarctan, 922 yx所圍第一象限部分所圍第一象限部分.,D由圓周由圓周122 yx及直線及直線0,yxy31 ,40),(:rrDDdxdyxyarctan3140rdrdDrdrd404d82D1313oxyxy 例例5. 求球體求球體22224azyx被圓柱面被圓柱面)