曲線積分和路徑的無(wú)關(guān)性

1、 22.2 曲線積分和路徑的無(wú)關(guān)性 定理 若函數(shù) 在區(qū)域 上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)， 是單連通區(qū)域，那么以下四條相互等價(jià)： （i）對(duì)任一全部含在 內(nèi)閉路 ， （ii）對(duì)任一全部含在 內(nèi)的曲線 ，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)（只依賴曲線的端點(diǎn)）； （iii）微分式 在 內(nèi)是某一個(gè)函數(shù) 的全微分，即 ； （iv） 在 內(nèi)處處成立。 證明yxQyxP,DDDC0,dyyxQdxyxPcDldyyxQdxyxPl,QdyPdxDyxU,QdyPdxdUxQyPD 當(dāng)曲線積分和路徑無(wú)關(guān)時(shí)，即滿足上面的諸條件，如令點(diǎn) 固定而點(diǎn) 為區(qū)域 內(nèi)任意一點(diǎn)，那么由積分所定義的函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)并且單值。這個(gè)函數(shù) 為的一個(gè)原函數(shù)，它和定積

2、分中所述原函數(shù)相仿并有以下性質(zhì)： 1 .這由剛才的證明即得。 2利用原函數(shù) 來(lái)計(jì)算曲線積分這里 ， ， 和 分別為 ， 點(diǎn)的坐標(biāo)。 是一個(gè)00, yxAyxB,DyxyxQdxPdxyxU,00,DyxU,QdyPdxQdyPdxyxdU,yxU, ABMUAUBUQdxPdxAB BByxUBU, AAyxUAU,AAyx ,BByx ,ABABMU記號(hào)，它等于 。 剩下來(lái)還要說明如何求 的原函數(shù)。設(shè) 和 滿足定理的條件 。因此必存在原函數(shù) 使 ，同時(shí) 的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。在區(qū)域 內(nèi)固定一點(diǎn) ，對(duì) 內(nèi)任何點(diǎn) ，沿兩條直線 和 從點(diǎn) 到點(diǎn) 的積分，得其中 ，同樣不難驗(yàn)證 也是 的一個(gè)原函數(shù)。

3、以下考慮非單連通區(qū)域的情形，并引進(jìn)一個(gè)重要概念：循環(huán)常數(shù)，在曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理中，它的理論是建立在兩個(gè)假定之上（i）所考慮區(qū)域 是單連通的，即沒有“洞”；（ii）函數(shù) ， 及其偏導(dǎo)數(shù) AUBUQdyPdxPQxQyPyxU,QdyPdxdUQdyPdxD00, yxMDyxM,1l2l0MMCdxyxdxyxPyxUyyxx,Q,00000, yxUC yxU,QdyPdxDPQ在 內(nèi)連續(xù)。如果這兩個(gè)條件被破壞了，一般來(lái)說，上面的那些斷言將不會(huì)成立。 現(xiàn)在討論區(qū)域內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn) 的情形。這時(shí)，如果閉路中包含一奇點(diǎn)，格林公式就不能應(yīng)用。我們考慮兩條閉路 ， 都逆時(shí)針繞奇點(diǎn) 一圈，可用線段 將

4、和 聯(lián)結(jié)起來(lái)，在 及 上沿逆時(shí)針方向積分，即得所以即環(huán)繞某一奇點(diǎn)的任兩條閉路沿同一方向的積分相等。因此，對(duì)區(qū)域 中任何閉路 ，它或者不繞過奇點(diǎn) ，或者繞過 周，這時(shí)積分值就是DMlLMABlLLlQdxPdxQdydxPlL0 QdxPdxABAAAABABBBBQdyPdxdyyxQdxPtL,DCMn的 倍。只環(huán)繞奇點(diǎn) 一周的閉路上的積分值叫做區(qū)域 的循環(huán)常數(shù)，循環(huán)常數(shù)，記為 ，于是，對(duì) 內(nèi)任一閉路 ，這里 為沿閉路 按逆時(shí)針方向繞 的圈數(shù)。例如當(dāng) 時(shí) 如果它按逆時(shí)針方向繞 的圈數(shù)為 ，按順時(shí)QdydxPtnMDDCnQdydxPcnCM2nQdydxPcQdxPdxQdxPdxEBEBEAEA 2M1n針方向繞 的圈數(shù)為 ，那么 。 如果 內(nèi)有 個(gè)奇點(diǎn) ，在 周圍作一環(huán)路使它不包含其他奇點(diǎn)，則沿閉路的積分 就是一個(gè)循環(huán)常數(shù)。區(qū)域 共有 個(gè)循環(huán)常數(shù) ，若 為任意的含在 內(nèi)的閉路，它環(huán)繞點(diǎn) 的周數(shù)為 ，這里 的算法和上述的 相同，則所有沿 內(nèi)任意閉路的積分都有這樣的形式。 例 計(jì)算M2n21nnnDn,