2019-2020學年必修二直線與圓的位置關系學案

1、學習目標1.掌握直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離.2 會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系.3 會用直線與圓的位置關系解決一些實際問題.自主預習。探新Ml _ _匸新知初探二i 直線與圓有三種位置關系宀護方位置大糸交點個數(shù)相交有兩個公共點相切只有一個公共點相離沒有公共點2.直線Ax+By+C= 0 與圓(xa)2+ (yb)2=r2的位置關系及判斷宀護 W 位置大糸相交相切相離公共點個數(shù)兩個一個零個判疋方法幾何法：設圓心到直線的距離d1t2-bi2C|TJA2+B2dsrd=rdrAx+By+C= 0,代數(shù)法：由*222(xa) +(yb) =r消元得到一元二次方程的判別式二

2、 0三 0二 0思考：用“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關系各有什么特點？提示“幾何法”與“代數(shù)法”判斷直線與圓的位置關系，是從不同的方面，不同的思路來判斷的.“幾何法”更多地側(cè)重于“形”，更多地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；“代數(shù)法”則側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標”與“方程”.匚初試身手_|1.直線 3x+ 4y 5 = 0 與圓x2+y2= 1 的位置關系是()A.相交B.相切C.相離D.無法判斷圓心(0,0)到直線 3x+ 4y 5= 0 的距離d=核心素養(yǎng)通過研究直線與圓的位置關系，提升邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)1I d= r, 直線與圓相切.B.2 .設A,B為直線y=x

3、與圓x2+y2= 1 的兩個交點，貝 y |AB=()A. 1B.2C.3D. 222D 直線y=x過圓x+y= 1 的圓心C(0 , 0)，則|AB= 2.3 .直線x+ 2y= 0 被圓C: x2+y2 6x 2y 15= 0 所截得的弦長等于 _.4 卩 由已知圓心Q3 , 1),半徑r= 5.又圓心C到直線I的距離d=邑聲 =J5，則弦5長=2r2d2= 4 5.合作探究。握察養(yǎng)卜類別1直線與圓的位置關系【例 1】 已知直線方程mx-ym 1 = 0,圓的方程x2+y2 4x 2y+ 1 = 0.當m為何值時，圓與直線：(1) 有兩個公共點；(2) 只有一個公共點；(3) 沒有公共點.

4、解法一：將直線mx- y mr 1 = 0 代入圓的方程化簡整理得，(1 +m)x2 2(m+ 2m 2)x+m+ 4m4 = 0./ = 4m(3m 4),4(1) 當 0 時，即n0 或m 3 時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點;4(2) 當 = 0 時，即 m= 0 或 m= 3 時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；4(3) 當 0 時，即-m0，直線與圓相離，3即直線與圓沒有公共點.法二：已知圓的方程可化為(x 2)2+ (y 1)2= 4，即圓心為C(2，1)，半徑r= 2.圓心C(2，1)到直線mx- ym-1 = 0 的距離|2 m- 1 m- 1| m- 2|d山

5、+m小+m4(1)當d0 或m2 時，即-m0 時，直線與圓相離，3即直線與圓沒有公共點.直線與圓位置關系判斷的三種方法：(1) 幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷.(2) 代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷.(3) 直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系判斷，但有一定的局限性,必須是過定點的直線系.跟蹤訓練. 2 2已知圓 C:x+y 4x= 0,l是過點P(3 , 0)的直線，則()A.l與C相交B.l與C相切C.l與C相離D.以上三個選項均有可能A將點P(3 , 0)的坐標代入圓的方程，得3 + 0 4X3= 9 12= 3|求切線方程

6、-2 2解 因為(4 3) + ( 3 1) = 171,所以點A在圓外，故切線有兩條.若所求直線的斜率存在，設切線斜率為k,則切線方程為y+ 3 =k(x 4)，即kxy 4k 3= 0.設圓心為 C,因為圓心C(3 , 1)到切線的距離等于半徑1,|3k一 1 一 3 一 4k|n2所以- = 1,即 |k+ 4|=7k+ 1,15所以k+ 8k+ 16=k+ 1,解得k= x.8即 15x+ 8y 36= 0.若直線斜率不存在，圓心C(3 , 1)到直線x= 4 的距離為 1,這時直線x= 4 與圓相切，所以另一條切線方程為x= 4.綜上，所求切線方程為 15x+ 8y 36= 0 或x

7、= 4.母題探究1 本例中若將點“A(4， 3) ”改為“A(2 , 1) ”，則結(jié)果如何?2 2解 因為(2 3) + (1 1) = 1,所以點A(2 , 1)在圓上，從而A是切點， 又過圓心(3, 1)與點A的直線斜率為 0, 故所求切線的方程為y= 1.2 若本例的條件不變，求其切線長.解因為圓心C的坐標為(3 , 1),設切點為B,則ABC為直角三角形，|AC=( 3 4)2+( 1 + 3)2= 17 ,又|BQ=r= 1,則|AB= .|AQ2|BQ2= . (17)2 12= 4,所以切線長為 4.圓的切線的求法：(1) 點在圓上時：求過圓上一點(X。，yo)的圓的切線方程：先

8、求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得1切線的斜率為-匚，由點斜式可得切線方程如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線 方程x=xo或y=yo.(2) 點在圓外時：幾何法：設切線方程為yy=k(xX。).由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k, 也就得切線方程.代數(shù)法：設切線方程為yyo=k(xxo)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得 到關于x的一元二次方程，由 = 0 求出k,可得切線方程.特別注意：切線的斜率不存在的情況，不要漏解.所以切線方程為一15x-y+罟-3= 0,類型 3直線與圓的相交問題探究問題1 .已知直線I與圓相交，如何利用通過求交點坐標的方法求弦長？提示 將直線方程與圓的方程

9、聯(lián)立解出交點坐標，再利用|AB| = _ (X2xi)2+(y2yi)2求弦長.2 若直線與圓相交、圓的半徑為r、圓心到直線的距離為d,如何求弦長？提示 通過半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形，如圖所示，求得弦長1= 2r2d2. . 2 2【例 3】 求直線I: 3x+y 6 = 0 被圓C：x+y 2y 4 = 0 截得的弦長. 思路探究：法一：|求圓心半徑|勾股定理弦心距，半弦長和半徑構(gòu)成的直角三角形求解2 2 2 2解法一：圓C：x+y 2y 4 = 0 可化為x+ (y 1) = 5,其圓心坐標為(0 , 1)，半徑r= 5.|3X0+16| J70點(0 , 1)到直線I的距離為

10、d=3x+y 6= 0,、122得交點A(1 , 3) ,B(2 , 0),x+y 2y 4= 0,所以弦AB的長為 |AB| =(2 1)2+(0 3)2=10.母題探究3 .若本例改為過點(2 , 0)的直線被圓C: x2+y2 2y 4 = 0 截得的弦長為10 ,求該直線方程”，又如何求解?解由例題知，圓心C(0 , 1)，半徑r= .5，又弦長為.10,法二：求交點坐標利用兩點間距離公式-求弦長.32+ 12I= 2 屮2d= :10 ,所以截得的弦長為10.所以圓心到直線的距離又直線過點(2 , 0),知直線斜率一定存在， 可設直線斜率為k,則直線方程為y=k(x 2),5105

11、=2 2C. 1D. 土 1所以d=亍昇害解得k一3或k=1,1所以直線方程為y= 3(x 2)或y= 3(x 2),即 3x+y 6= 0 或x 3y 2= 0.求弦長常用的三種方法：(1) 利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長I之間的關系Qlf+d2=r2解題.(2) 利用交點坐標，若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長.(3) 利用弦長公式，設直線I:y=kx+b,與圓的兩交點(xi,yi),(X2,樸，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關系得弦長I=1 +k2|xiX2| =(1+k2) (xi+X2)2 4x1X2.匚課堂小結(jié) p1 本

12、節(jié)課的重點是理解直線和圓的三種位置關系，會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系，能解決直線與圓位置關系的綜合問題難點是解決直線與圓的位置關系.2 判斷直線與圓位置關系的途徑主要有兩個：一是圓心到直線的距離與圓的半徑進行大小比較；二是直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù).兩者相比較，前者較形象、直觀，便于運算.3 與圓有關的弦長、切線問題常利用幾何法求解，體現(xiàn)了直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)，但注意驗證所求直線的斜率不存在的情形，避免漏解.ns221 .直線 3x+ 4y+ 12= 0 與圓（x 1） + （y+ 1） = 9 的位置關系是（）=3.又點(1 , 1)不在直線 3x+ 4y+ 12 = 0 上，所以直線與圓相交且不過圓心.選D.2 .若直線y=x+a與圓x2+y2= 1 相切，則a的值為()A. 2B.2|a|lB 由題意得=1,所以a=2,故選 B.A.過圓心B.相切C.相離D.相交但不過圓心|3 4+ 12|1,32+ 42D 圓心坐標為(1 , 1)，圓心到直線 3x+ 4y+ 12 =