數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)(新)

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)簡要復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡要復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 對(duì)總體的描述對(duì)總體的描述隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第三節(jié)第三節(jié) 對(duì)樣本的描述對(duì)樣本的描述樣本分布的數(shù)字特征樣本分布的數(shù)字特征 第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的分布總體和樣本的連接點(diǎn)總體和樣本的連接點(diǎn) 第五節(jié)第五節(jié) 通過樣本，估計(jì)總體（一）通過樣本，估計(jì)總體（一）估計(jì)量的特征估計(jì)量的特征 第六節(jié)第六節(jié) 通過樣本，估計(jì)總體（二）通過樣本，估計(jì)總體（二）估計(jì)方法估計(jì)方法 第七節(jié)第七節(jié) 通過樣本，估計(jì)總體（三）通過樣本，估計(jì)總體（三）假設(shè)檢驗(yàn)

2、假設(shè)檢驗(yàn) 第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念 總體和個(gè)體總體和個(gè)體 樣本和樣本容量樣本和樣本容量 隨機(jī)性，隨機(jī)變量和概率隨機(jī)性，隨機(jī)變量和概率 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 隨機(jī)變量的分布函數(shù)和分布密度函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)和分布密度函數(shù) 條件概率條件概率1.1 總體和個(gè)體總體和個(gè)體總體總體 研究對(duì)象的全體稱為總體或母體（集合）研究對(duì)象的全體稱為總體或母體（集合） 例如某廠顯像管的壽命例如某廠顯像管的壽命個(gè)體個(gè)體 組成總體的各個(gè)元素稱為個(gè)體（構(gòu)成集合的元素）組成總體的各個(gè)元素稱為個(gè)體（構(gòu)成集合的元素） 例如，某個(gè)顯像管的壽命例如，某個(gè)顯像管的壽命 每個(gè)顯像管的壽命可能是不同的，是一個(gè)隨機(jī)變量每個(gè)顯像管的壽命可能是

3、不同的，是一個(gè)隨機(jī)變量 總體是某個(gè)隨機(jī)變量總體是某個(gè)隨機(jī)變量X可能的取值的全體?？赡艿娜≈档娜w。1.2 樣本和樣本容量樣本和樣本容量樣本樣本 總體中抽出若干個(gè)個(gè)體組成的集體稱為樣本。總體中抽出若干個(gè)個(gè)體組成的集體稱為樣本。 例如，抽出例如，抽出20個(gè)顯像管檢查個(gè)顯像管檢查樣本容量樣本容量 樣本中包含的個(gè)體的數(shù)量稱為樣本的容量，又稱為樣本的大樣本中包含的個(gè)體的數(shù)量稱為樣本的容量，又稱為樣本的大小。小。 例如，抽出例如，抽出20個(gè)顯像管檢查，樣本容量為個(gè)顯像管檢查，樣本容量為20注意：從總體中抽樣通常滿足兩個(gè)原則注意：從總體中抽樣通常滿足兩個(gè)原則 隨機(jī)原則隨機(jī)原則，即總體中每個(gè)個(gè)體有同樣的機(jī)會(huì)被

4、選入樣本。，即總體中每個(gè)個(gè)體有同樣的機(jī)會(huì)被選入樣本。 獨(dú)立原則，即每次抽樣不受其他抽樣的影響，也不影響其他獨(dú)立原則，即每次抽樣不受其他抽樣的影響，也不影響其他抽樣結(jié)果。抽樣結(jié)果。1.3 隨機(jī)變量和概率隨機(jī)變量和概率 隨機(jī)性隨機(jī)性事物的結(jié)果不能完全事先確定，即可能事物的結(jié)果不能完全事先確定，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生，既可以是這個(gè)水平，發(fā)生也可能不發(fā)生，既可以是這個(gè)水平，也可以是那個(gè)水平。也可以是那個(gè)水平。如，商店一天的銷售量，通過降低利率如，商店一天的銷售量，通過降低利率刺激投資的效果刺激投資的效果隨機(jī)性是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的根本特征隨機(jī)性是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的根本特征每個(gè)計(jì)量模型都有隨機(jī)誤差項(xiàng)每個(gè)計(jì)量模型都

5、有隨機(jī)誤差項(xiàng)1.3 隨機(jī)變量和概率隨機(jī)變量和概率 概率概率 隨機(jī)事物或者其特定結(jié)果發(fā)生的可能性大隨機(jī)事物或者其特定結(jié)果發(fā)生的可能性大小，通常稱為概率小，通常稱為概率 概率的定義：頻率定義（其他兩種為古典定義，公概率的定義：頻率定義（其他兩種為古典定義，公理化定義）理化定義） 用隨機(jī)事物在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，來推斷概用隨機(jī)事物在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，來推斷概率率 ProbabilityP10 p總體、樣本間的聯(lián)系總體、樣本間的聯(lián)系 總體是給定的，樣本是一個(gè)隨機(jī)變量總體是給定的，樣本是一個(gè)隨機(jī)變量 樣本是總體的一部分?？傮w一般是未知樣本是總體的一部分?？傮w一般是未知的，一般要通過樣本才能

6、部分地推知總的，一般要通過樣本才能部分地推知總體的情況。體的情況。1.4 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 設(shè)（設(shè)（x1，x2，xn）為一組樣本觀察值，函數(shù)）為一組樣本觀察值，函數(shù) y= f（ x1，x2，xn ）若不含有未知參數(shù)，則稱為統(tǒng)計(jì)）若不含有未知參數(shù)，則稱為統(tǒng)計(jì)量。（比如量。（比如x表示身高）表示身高） 由于樣本是隨機(jī)變量，因而它的函數(shù)由于樣本是隨機(jī)變量，因而它的函數(shù)y也是隨機(jī)變量，所也是隨機(jī)變量，所以，統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量。以，統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量。 統(tǒng)計(jì)量一般用它來提取由樣本帶來的總體信息。統(tǒng)計(jì)量一般用它來提取由樣本帶來的總體信息。 常用統(tǒng)計(jì)量：常用統(tǒng)計(jì)量：2211niinxxs樣 本 方 差11Xni

7、iXn樣 本 均 值 1.5 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為：離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為： 滿足條件：滿足條件：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為(略）：略）： 滿足條件：滿足條件： ()iP XxniiixXPxXP11)(;0)(XdxxfbXaPba,)()(1)(; 0)(dxxfxf1.5 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) （累積）分布函數(shù)（累積）分布函數(shù)就是隨機(jī)變量取就是隨機(jī)變量取值不大于給定水平的概率構(gòu)成的函數(shù)。值不大于給定水平的概率構(gòu)成的函數(shù)。 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

8、： 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（略）（略）1( )()niiFxPxp( )()( )xFxPxf t dt分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系：分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系： 概率密度函數(shù)的大小能夠反映概率密度函數(shù)的大小能夠反映X在在x附近取附近取值的概率的大小，從而比分布函數(shù)更直觀。值的概率的大小，從而比分布函數(shù)更直觀。 但累積分布函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，更易處理。但累積分布函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，更易處理。舉例：正態(tài)分布舉例：正態(tài)分布22()21x2 Fxxx uxfefdx密度密度：（ ）分布函數(shù)：（ ）（ ） XN（u， ）2x2x2f(x)F(x)x1x1XX1.6 條件概率和條件概率分

9、布條件概率和條件概率分布 條件概率條件概率 在已知與事件在已知與事件A相關(guān)的另一事件相關(guān)的另一事件B已經(jīng)發(fā)生的已經(jīng)發(fā)生的情況下，考慮事件情況下，考慮事件A發(fā)生的概率。記作發(fā)生的概率。記作P(A|B） 條件分布條件分布 有時(shí)需要關(guān)注部分隨機(jī)變量給定情況下，其有時(shí)需要關(guān)注部分隨機(jī)變量給定情況下，其他隨機(jī)變量的概率分布。他隨機(jī)變量的概率分布。 條件期望條件期望 在給定條件下，考察隨機(jī)變量的概率均值。在給定條件下，考察隨機(jī)變量的概率均值。 對(duì)離散型隨機(jī)變量：對(duì)離散型隨機(jī)變量：( | )(| )F x BPx B( |)(|)kkkEBx PxB第二節(jié)第二節(jié) 對(duì)總體的描述對(duì)總體的描述 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

10、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.1、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望 2.2、方差、方差 2.3、數(shù)學(xué)期望與方差的圖示、數(shù)學(xué)期望與方差的圖示 2.4 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 定義：離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義：定義：離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義： 定義：定義： 連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義(略）略） 的數(shù)學(xué)期望。稱為絕對(duì)收斂，則，若積分有分布密度函數(shù)若連續(xù)型隨機(jī)變量XdxxxxEdxxxxX niiinnxppxpxpxxE12211變量X的取值x1x2xn相應(yīng)概率Pp1p2pn2.1 數(shù)學(xué)期望：一個(gè)加權(quán)平均值數(shù)學(xué)期望：一個(gè)加權(quán)平均值2.1 數(shù)學(xué)期望（續(xù)）數(shù)學(xué)期望（續(xù)） 小結(jié)：

11、數(shù)學(xué)期望的定義小結(jié)：數(shù)學(xué)期望的定義 隨機(jī)變量的可能值以相應(yīng)概率為權(quán)數(shù)的算術(shù)隨機(jī)變量的可能值以相應(yīng)概率為權(quán)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)平均數(shù) 數(shù)學(xué)期望，平均值，均值數(shù)學(xué)期望，平均值，均值 反映了隨機(jī)變量的平均水平或集中趨勢反映了隨機(jī)變量的平均水平或集中趨勢 通常以通常以E(*)表示期望運(yùn)算，以表示期望運(yùn)算，以表示期望值。表示期望值。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）如果）如果a、b為常數(shù)，則為常數(shù)，則 E(aX+b)=aE(X)+b （2）如果）如果X、Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則為兩個(gè)隨機(jī)變量，則 E(X+Y)=E(X)+E(Y) （3）如果）如果g(x)和和f(x)分別為分別為X的兩個(gè)函數(shù)，則的兩個(gè)函數(shù)，則 E

12、g(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X) （4）如果）如果X、Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 E(X.Y)=E(X).E(Y) 2.2 方差方差反映隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)反映隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)定義定義:隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望偏差平方的隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望偏差平方的概率加權(quán)和概率加權(quán)和通常記為通常記為2(),( ),xVar XD x 離均差離均差 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)存在，稱存在，稱X-E(X)為隨為隨機(jī)變量機(jī)變量X的離均差。顯然，隨機(jī)變量離均差的數(shù)學(xué)期望的離均差。顯然，隨機(jī)變量離均差的數(shù)學(xué)期望是是0，即，即 E X-E(X)

13、= 0 方差方差 隨機(jī)變量離均差平方的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量離均差平方的數(shù)學(xué)期望 叫隨機(jī)變量的方差，叫隨機(jī)變量的方差，記作記作Var(x)或或D(x)。 離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差。方差的算術(shù)平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差。22( )( )()iiiVarEEp方差的意義（補(bǔ)充說明）方差的意義（補(bǔ)充說明） （1）離均差和方差都是用來描述離散程度）離均差和方差都是用來描述離散程度的，即描述的，即描述X對(duì)于它的期望的偏離程度，這對(duì)于它的期望的偏離程度，這種偏差越大，表明變量的取值越分散。種偏差越大，表明變量的取值越分散。 （2）一般情況下，我們采用方差來描述離）一般情

14、況下，我們采用方差來描述離散程度。（但是其單位使用不便）散程度。（但是其單位使用不便） 因?yàn)殡x均差的和為因?yàn)殡x均差的和為0，無法體現(xiàn)隨機(jī)變量的，無法體現(xiàn)隨機(jī)變量的總離散程度。方差中由于有平方，從而消總離散程度。方差中由于有平方，從而消除了正負(fù)號(hào)的影響，并易于加總。除了正負(fù)號(hào)的影響，并易于加總。（）標(biāo)準(zhǔn)差（）標(biāo)準(zhǔn)差方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) （1）Var(c )=0 （2）Var(c+x)=Var(x ) （3）Var(cx)=c2Var(x) （4）x,y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 Var(x+y)=Var(x )+Var(y )=Var(x-y) （5）Var(x)=E(x2

15、)-(E(x)2數(shù)學(xué)期望與方差的圖示數(shù)學(xué)期望與方差的圖示 數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量的集中程度，方差描述隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量的集中程度，方差描述隨機(jī)變量的分散程度。分散程度。1. 方差同、期望變大方差同、期望變大 2. 期望同、方差變小期望同、方差變小510552.3 協(xié)方差（協(xié)方差（Covariance）與）與相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義: 兩個(gè)隨機(jī)變量與各自數(shù)學(xué)期望離兩個(gè)隨機(jī)變量與各自數(shù)學(xué)期望離差之積的期望值。差之積的期望值。度量兩個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度度量兩個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度( , )( )( )C

16、ovEEE ,( , )Cov 協(xié)方差的缺點(diǎn)：協(xié)方差的缺點(diǎn)：協(xié)方差取值依賴于度量單位協(xié)方差取值依賴于度量單位相關(guān)系數(shù)的定義，相關(guān)系數(shù)的定義，協(xié)方差是有量綱的；相關(guān)系數(shù)無量綱，取值協(xié)方差是有量綱的；相關(guān)系數(shù)無量綱，取值-1,1獨(dú)立與獨(dú)立與(線性線性)不相關(guān)的關(guān)系不相關(guān)的關(guān)系1 cov( , )( )(2)cov( , )cov( , )(3)cov(,)cov( , )(4)cov( 12, )cov( 1, )cov( 2, )(5)cov( , )0,x xD xx yy xax byabx yxxyxyxyc xc協(xié)方差的性質(zhì)（）其中 為常數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的分布 總體

17、和樣本的連接點(diǎn)總體和樣本的連接點(diǎn) 常見（重要）分布常見（重要）分布 樣本統(tǒng)計(jì)量的分布樣本統(tǒng)計(jì)量的分布4.1常見分布常見分布 4.1.1 正態(tài)分布正態(tài)分布 4.1.2 卡方分布卡方分布 4.1.3 t分布分布 4.1.4 F分布分布 4.1.5 分位數(shù)分位數(shù) 4.1.6 臨界值點(diǎn)臨界值點(diǎn)（1） 正態(tài)分布正態(tài)分布 正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù) 正態(tài)分布完全由期望和方差決定正態(tài)分布完全由期望和方差決定 。服從正態(tài)分布，簡記為則稱為常數(shù)，、的概率密度為若連續(xù)型隨機(jī)變量2,022122Nxxe2,VarE方差，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望正態(tài)分布正態(tài)分布(續(xù)）續(xù)） 是最常見的概率分布是最常見的概率分布 中

18、心極限定理保證了由眾多微小擾動(dòng)因素決中心極限定理保證了由眾多微小擾動(dòng)因素決定的連續(xù)型隨機(jī)變量都可以用正態(tài)分布描述定的連續(xù)型隨機(jī)變量都可以用正態(tài)分布描述 特征特征:鐘形鐘形,對(duì)稱對(duì)稱 是卡方分布是卡方分布, t分布分布,F分布的基礎(chǔ)分布的基礎(chǔ)正態(tài)分布圖示正態(tài)分布圖示x2x2f(x)F(x)x1x1XX正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 定義定義 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 如何將正態(tài)分布進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化如何將正態(tài)分布進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化2, 0,1NN如果令，那么。根據(jù)以上定理，可以將任何一個(gè)正態(tài)分布，化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即將其標(biāo)準(zhǔn)化。 exxN22221 1 , 010。密度函數(shù)為記作正態(tài)分布，的正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)

19、，當(dāng)關(guān)于正態(tài)分布的和關(guān)于正態(tài)分布的和 正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性組合仍舊服從正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性組合仍舊服從正態(tài)分布正態(tài)分布.（2） 2 分布分布 2 分布的定義分布的定義）（記為：的卡方分布。分布為自由度為服從的則稱若nZxniNxii2n1i2 nZ Z,.2 , 1 ),1 , 0(N=7N=11概概率率xN為自由度為自由度定理定理 2 分布的和仍然服從分布的和仍然服從 2 分布分布)(.,.,2, 1),(,.,1221221niiniinkXXXnikXXXX。則相互獨(dú)立，且若2( )nn 時(shí)，正態(tài)分布（3） t分布分布 t分布的定義分布的定義2(0,1),( ),( )/XNYn X

20、YXTntt nY n若連續(xù)型隨機(jī)變量與 相互獨(dú)立，則稱 服從自由度為 的 分布，記作。概率密度概率密度x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t-分布分布0t分布（續(xù)）分布（續(xù)） t分布的特點(diǎn)：分布的特點(diǎn)： 期望為期望為0，對(duì)稱分布。，對(duì)稱分布。 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布接近，但相對(duì)于正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布接近，但相對(duì)于正態(tài)分布而言更為而言更為“厚尾厚尾”。n = 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t 分布的圖形分布的圖形( (紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) )（4）F-分布分布 可以從卡方分布引出可以從卡方分布引出 特點(diǎn)特點(diǎn): 隨著自由度的增加，隨著自由度的增加，F(xiàn)分布接近與正態(tài)分布

21、分布接近與正態(tài)分布 右偏右偏 并且并且221122121122 , , , ,( 1,2)kkXKXKXXXXF KK如果獨(dú)立則F2( )(1, )tkFkx概率概率密度密度(5)分位點(diǎn)（數(shù)）分位點(diǎn)（數(shù)） 設(shè)設(shè)X X為一隨機(jī)變量，為一隨機(jī)變量，F(xiàn) F為其分布函數(shù)，我們?yōu)槠浞植己瘮?shù)，我們知道對(duì)于給定的實(shí)數(shù)知道對(duì)于給定的實(shí)數(shù)x x，F(xiàn)(x)=PXxF(x)=PXx給出給出了事件了事件XxXx的概率。的概率。 在統(tǒng)計(jì)中，我們常常需要考慮上述問題的在統(tǒng)計(jì)中，我們常常需要考慮上述問題的逆問題：就是若已給定分布函數(shù)逆問題：就是若已給定分布函數(shù)F(x)F(x)的值，的值，亦即已給定事件亦即已給定事件XxXx

22、的概率，要確定的概率，要確定x x取取什么值。什么值。 易知易知, ,對(duì)通常連續(xù)型隨機(jī)變量，實(shí)際上就是對(duì)通常連續(xù)型隨機(jī)變量，實(shí)際上就是求反函數(shù)。求反函數(shù)。分位數(shù)分位數(shù) 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x)，實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)滿滿足足0 1 時(shí)，時(shí)，分位數(shù)是使分位數(shù)是使PXP(XA A)= 1-F()= 1-F()= )= ，則數(shù)，則數(shù)A A稱為稱為X X所服從所服從的概率分布的上的概率分布的上分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。 雙側(cè)雙側(cè)分位數(shù)分位數(shù) 雙側(cè)雙側(cè)分位數(shù)是使分位數(shù)是使 PX2=1-F(2)=0.5的數(shù)的數(shù)2。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)圖形分位數(shù)圖形（上分位數(shù)和雙側(cè)分位數(shù)）（上分

23、位數(shù)和雙側(cè)分位數(shù)） 0.050.0250.0051.6451.962.575zzz-2-1120.10.20.30.4z z 常用常用數(shù)字?jǐn)?shù)字-2-1120.10.20.30.4 /2 -z-z / /2 2= =z z1-1- / /2 2 /2 z z / /2 2-z-z / /2 22PXzP Xzt-分布的分位數(shù)特點(diǎn)分布的分位數(shù)特點(diǎn) 例如例如t tt(n-1)t(n-1)，使，使P(tP(tT T)=)=的數(shù)的數(shù)T T稱為稱為t(n-1)t(n-1)分布的上分布的上分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。 t t分布的密度函數(shù)是關(guān)于分布的密度函數(shù)是關(guān)于y y軸對(duì)稱的，因此對(duì)任實(shí)數(shù)軸對(duì)稱的，因此對(duì)任實(shí)數(shù)a0a

24、0，P(tP(ta a)=P(t-)=P(ta)=2P(ta). ), P(|t|a)=2P(ta). 現(xiàn)在看到的現(xiàn)在看到的t t分布表：分布表： 列出的是使列出的是使P(tT)=P(tT)=的的T T的值，將的值，將T T記作記作t()t()（對(duì)應(yīng)上分（對(duì)應(yīng)上分位點(diǎn)）；位點(diǎn)）； -3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 101P Ttttt-t1234560.10.20.30.40.50.6( ,)( ,):( ,)FF n mF n mP FF n m分布的分位數(shù)的上分位數(shù)有表可查F(n,m)（）臨界值（）臨界值 假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，在給定的顯著水平下，判定假設(shè)檢

25、驗(yàn)時(shí)，在給定的顯著水平下，判定拒絕和接受時(shí)的數(shù)拒絕和接受時(shí)的數(shù) 其實(shí)是一個(gè)（對(duì)）分位數(shù)其實(shí)是一個(gè)（對(duì)）分位數(shù) 臨界值之內(nèi)為接受域，臨界值之外為拒絕臨界值之內(nèi)為接受域，臨界值之外為拒絕域域臨界值點(diǎn)臨界值點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、t t分布臨界值點(diǎn)（雙側(cè)）分布臨界值點(diǎn)（雙側(cè)）1)(2/2/uUuP1)(2/2/tTtP2/2/ /2 /21- 02/t2/t類似：類似：臨界值點(diǎn)：臨界值點(diǎn)： F分布（單側(cè)）臨界值點(diǎn)分布（單側(cè)）臨界值點(diǎn)概率密度概率密度1- ()1()P FP FFF 或Fx4.2 樣本統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本統(tǒng)計(jì)量及其分布212 ,1,;0,1/niNXXNxxNNnnxx關(guān)于樣本均

26、值：設(shè)是取自正態(tài)總體的樣本，則有樣本均值為：并且滿足：212222(1)2,1(-) 11/(1)niNNSXXNxTt nsnxsNSxx關(guān)于樣本方差(略）：設(shè)是取自正態(tài)總體的樣本，樣本方差為：則有：。（證明略）、 分別是樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，由于：第五節(jié)第五節(jié) 通過樣本，估計(jì)總體（一）通過樣本，估計(jì)總體（一） 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) 參數(shù)估計(jì)：在未知總體參數(shù)的情況下，利參數(shù)估計(jì)：在未知總體參數(shù)的情況下，利用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)的方法。用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)的方法。參數(shù)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)參數(shù)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)假設(shè)在總體假設(shè)在總體X中，中， 為未知參數(shù)（均值、方差為未知參數(shù)（均值、方差等）。由樣本（等）。由

27、樣本（X1、X2Xn ）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 來估計(jì)未知參數(shù)來估計(jì)未知參數(shù) ，稱，稱 為為 的的點(diǎn)估計(jì)量點(diǎn)估計(jì)量。 將某次抽樣的樣本觀測值，代入將某次抽樣的樣本觀測值，代入即得該估計(jì)量的一個(gè)即得該估計(jì)量的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值點(diǎn)估計(jì)值 。),(21nXXX),(21nxxx點(diǎn)估計(jì)量的優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)量的優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為待估計(jì)的總體參數(shù)，設(shè)為待估計(jì)的總體參數(shù)， 為樣本統(tǒng)計(jì)量，為樣本統(tǒng)計(jì)量，衡量統(tǒng)計(jì)量衡量統(tǒng)計(jì)量 好壞的標(biāo)準(zhǔn)有：好壞的標(biāo)準(zhǔn)有：（1）線性性）線性性（2）無偏性）無偏性（3）有效性）有效性（4）一致性（略）一致性（略）線性性：線性性：參數(shù)估計(jì)量是隨機(jī)變量觀測值的線性組合參數(shù)估計(jì)量是隨機(jī)變量觀測值的

28、線性組合具有線性性的參數(shù)估計(jì)量稱為具有線性性的參數(shù)估計(jì)量稱為“線性估計(jì)線性估計(jì)”意義：意義：參數(shù)估計(jì)量可以表示為隨機(jī)變量觀測值的線性組合，參數(shù)估計(jì)量可以表示為隨機(jī)變量觀測值的線性組合，通常意味著與隨機(jī)變量有相同類型的概率分布。通常意味著與隨機(jī)變量有相同類型的概率分布。(前提是，隨機(jī)變量是正態(tài)分布，而這個(gè)假定一般前提是，隨機(jī)變量是正態(tài)分布，而這個(gè)假定一般線性回歸模型中都滿足）線性回歸模型中都滿足）無偏性：無偏性：參數(shù)估計(jì)量的概率均值（數(shù)學(xué)期望）等于參數(shù)的真實(shí)值。參數(shù)估計(jì)量的概率均值（數(shù)學(xué)期望）等于參數(shù)的真實(shí)值。意義：意義：意味著利用不同樣本反復(fù)估計(jì)，得到的估計(jì)值會(huì)以參數(shù)真實(shí)意味著利用不同樣本反復(fù)

29、估計(jì)，得到的估計(jì)值會(huì)以參數(shù)真實(shí)值為中心分布。值為中心分布。即即 ，則稱為的無偏估計(jì)量，則稱為的無偏估計(jì)量)(E）（f 的真值的真值 的真值的真值有偏有偏無偏無偏）（f有效性：有效性：僅僅滿足有效性是無意義的。實(shí)際上要求估計(jì)量是方差最僅僅滿足有效性是無意義的。實(shí)際上要求估計(jì)量是方差最小的線性無偏估計(jì)量小的線性無偏估計(jì)量 設(shè)設(shè) 和和 是總體指標(biāo)是總體指標(biāo) 的兩個(gè)無偏估計(jì)量，的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若若 ，則稱為比更有效的估計(jì)量，則稱為比更有效的估計(jì)量2112var( )var()1212形象感覺無偏性和有效性：形象感覺無偏性和有效性：4支比賽用槍的抽樣結(jié)果支比賽用槍的抽樣結(jié)果準(zhǔn)而不精準(zhǔn)而不精又精又準(zhǔn)又精

30、又準(zhǔn)精而不準(zhǔn)精而不準(zhǔn)不精不準(zhǔn)不精不準(zhǔn)第六節(jié)第六節(jié) 通過樣本，估計(jì)總體（二）通過樣本，估計(jì)總體（二） 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)得到的估計(jì)值與真實(shí)值肯定有偏點(diǎn)估計(jì)得到的估計(jì)值與真實(shí)值肯定有偏差，但是點(diǎn)估計(jì)本身不能反映估計(jì)量與差，但是點(diǎn)估計(jì)本身不能反映估計(jì)量與真實(shí)值之間的近似程度。真實(shí)值之間的近似程度。 點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，利用其分布信息，構(gòu)點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，利用其分布信息，構(gòu)造參數(shù)真實(shí)值的置信區(qū)間造參數(shù)真實(shí)值的置信區(qū)間 所謂區(qū)間估計(jì)就是所謂區(qū)間估計(jì)就是以一定的可靠性以一定的可靠性給出被估計(jì)給出被估計(jì)參數(shù)的參數(shù)的一個(gè)可能的取值范圍一個(gè)可能的取值范圍。 具體作法是找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量具體作法是找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 1(x1,xn)與與 2 (x1,xn)，使，使 P( 1 2 )=1- ( 1 , 2)稱為置信區(qū)間稱為置信區(qū)間 1- 稱為置信系數(shù)（置信度，反映了估計(jì)的可靠程稱為置信系數(shù)（置信度，反映了估計(jì)的可靠程度）度） 稱為冒險(xiǎn)率（測不準(zhǔn)的概率）或者顯