反常積分的審斂法PPT精選文檔

1、1二、無界函數(shù)反常積分的審斂法二、無界函數(shù)反常積分的審斂法反常積分無窮限的反常積分無界函數(shù)的反常積分一、無窮限反常積分的審斂法一、無窮限反常積分的審斂法第五節(jié)第五節(jié)反常積分的審斂法 函數(shù) 第五五章 2一、無窮限的廣義積分的審斂法一、無窮限的廣義積分的審斂法收收斂斂上上有有界界，則則廣廣義義積積分分在在若若函函數(shù)數(shù)且且上上連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)間間定定理理設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法斂性的判定方法.由定理由定理1，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無

2、窮限的廣義積分有以下比較收斂原理分有以下比較收斂原理3也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則且且并并也收斂；如果也收斂；如果收斂，則收斂，則并且并且上連續(xù)，如果上連續(xù)，如果區(qū)間區(qū)間在在、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂原理比較審斂原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()()(2證證.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收收斂斂，得得及及，由由設(shè)設(shè)上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbFba4由定理知由定理知收斂收斂 adxxf)(.)(,)(),()(

3、0必必定定發(fā)發(fā)散散則則發(fā)發(fā)散散且且如如果果 aadxxfdxxgxfxg也收，這與假設(shè)矛盾也收，這與假設(shè)矛盾收斂，由第一部分知收斂，由第一部分知如果如果 aadxxgdxxf)()(例如，例如， 時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)廣廣義義積積分分11)0(Ppaxdxap5發(fā)散發(fā)散則則，使得，使得常數(shù)常數(shù)收斂；如果存在收斂；如果存在則則，使得，使得及及存在常數(shù)存在常數(shù)如果如果上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10. 0)()0(),)()(36例例.1134的的收

4、收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較審斂法，根據(jù)比較審斂法，.1134收收斂斂廣廣義義積積分分 xdx7發(fā)散發(fā)散則則或或如果如果收斂；收斂；存在，則存在，則使得使得，如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給廣義積分收斂所給廣義積分收斂8

5、例例.1122/3的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散例例.arctan1的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散9也收斂也收斂收斂；則收斂；則如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)(收斂收斂

6、dxxfa .)(也也收收斂斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收斂收斂.10.)(5稱稱為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂條條件件的的廣廣義義積積分分滿滿足足定定理理定定義義 adxxf必定收斂必定收斂絕對(duì)收斂的廣義積分絕對(duì)收斂的廣義積分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收斂性的收斂性常數(shù)常數(shù)都是都是判別廣義積分判別廣義積分 abadxbxeax解解.,sin0收收斂斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收斂收斂 dxbxeax所以所給廣義積分收斂所以所給廣義積分收斂.11二、

7、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法二、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,()()2(60發(fā)散發(fā)散則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及收斂；如果存在常數(shù)收斂；如果存在常數(shù)則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及常數(shù)常數(shù)如果存在如果存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf12發(fā)散發(fā)散分分則廣義積則廣義積或或，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)收斂；收斂；則廣義積分則廣義積分存在存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，

8、且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(000013例例6.ln31的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解的的左左鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)1 x由洛必達(dá)法則知由洛必達(dá)法則知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法2,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.14例例7.1sin31的收斂性的收斂性判別廣義積

9、分判別廣義積分dxxx 解解也也收收斂斂從從而而dxxx 101sin收斂，收斂，而而 1,11sinxdxxxx收斂，收斂，dxxx 101sin根據(jù)比較審斂原理根據(jù)比較審斂原理,15例8. 判定橢圓積分判定橢圓積分) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1為瑕點(diǎn)此處x由于 1limx的斂21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根據(jù)極限審斂法 2 , 橢圓積分收斂 . 16類似定理類似定理5, 有下列結(jié)論有下列結(jié)論:,)(d)(baaxxf收斂為瑕點(diǎn)若反常積分例例9. 判別反常積分xxxdln10的斂散性 .解解

10、:,d)(baxxf收斂稱為絕對(duì)收斂 . ,0為瑕點(diǎn)此處x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故對(duì)充分小從而 4141lnlnxxxxx411x據(jù)比較審斂法2, 所給積分絕對(duì)收斂 .則反常積分 17)0()(01 sdxxessx定義定義特點(diǎn)特點(diǎn): 1.積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮;.001. 2右右領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)無無界界的的時(shí)時(shí)被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng) xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx設(shè)設(shè);,1)1(1是常義積分是常義積分時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Is ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) s函函數(shù)數(shù)三三、 18,111111sxssxxexxe ., 2, 111收收斂斂根根據(jù)據(jù)比比較較

11、審審斂斂法法而而Is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也也收收斂斂根根據(jù)據(jù)極極限限審審斂斂法法I.0)2(),1(01均均收收斂斂對(duì)對(duì)知知由由 sdxxesxs)(s o19 函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代換換在在 20四、小結(jié)四、小結(jié)比較審斂法極限審斂法無窮限的廣義積分審斂法比較審斂法極限審斂法無界函數(shù)的廣義積分審斂法廣廣義義積積分分審審斂斂法法絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂21練練 習(xí)習(xí) 題題;23. 4;)(ln. 3;1sin. 2;1. 12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收斂性：的收斂性：一、判別下列廣義積分一、判別下列廣義積分.)1(ln. 2);0(. 1100 dxxndxepxn收斂范圍：收斂范圍：指出