第六章 理想不可壓縮流體平面勢(shì)流和旋渦運(yùn)動(dòng)

1、流流 體體 力力 學(xué)學(xué)集美大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院無(wú)旋有勢(shì)(存在條件)1.速度勢(shì)函數(shù)存在條件類比：重力場(chǎng)、靜電場(chǎng)作功與路徑無(wú)關(guān)勢(shì)能無(wú)旋條件：由全微分理論，無(wú)旋條件是某空間位置函數(shù)(x,y,z)存在的充要條件函數(shù)函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)，無(wú)旋流動(dòng)必然是有勢(shì)流動(dòng)稱為速度勢(shì)函數(shù)，無(wú)旋流動(dòng)必然是有勢(shì)流動(dòng)zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),(速速 度度 勢(shì)勢(shì) 函函 數(shù)數(shù)0由函數(shù)的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuyzuzgradu（ 的梯度）圓柱坐標(biāo)形式（二維）),(zrrurru01222222rrrr2.速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)由不可壓縮流體的連續(xù)性方程將代入得即拉普拉斯方程0

2、zuyuxuzyxxuxyuyzuz0222222zyx022為拉普拉斯算子， 稱為調(diào)和函數(shù)不可壓縮流體無(wú)旋流動(dòng)的連續(xù)性方程性質(zhì)1：只有無(wú)旋流動(dòng)才有速度勢(shì)函數(shù)，它滿足拉普拉斯方程根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線AB的線積分性質(zhì)2：任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函數(shù)值之差，而與曲線的形狀無(wú)關(guān)BAABBABAABdwwdzvdyudxdsV)(則，求環(huán)量問(wèn)題變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)值之差的問(wèn)題。對(duì)于任意封閉曲線，A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，若速度勢(shì)函數(shù)是單值連續(xù)的，則流場(chǎng)中沿此封閉曲線的速度環(huán)量等于零，即0AB如果速度勢(shì)函數(shù)不是單值函數(shù)，則這封閉曲線的速度環(huán)量就不等于零。不可壓縮平面流場(chǎng)滿足連續(xù)性方程：0y

3、uxuyx即：yuxuyx由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)（x，y）存在的充要條件dxudyudyx函數(shù)稱為流函數(shù)有旋、無(wú)旋流動(dòng)都有流函數(shù)流函數(shù)由函數(shù)的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù)永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程將速度的流函數(shù)表達(dá)式代入不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程得：yxxy22（2）兩條流線間通過(guò)的流量等于兩流函數(shù)之差；證明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq（3）只有無(wú)旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：021yuxuxyz0yuxuxyxuyuyx,02222yx02則：將代

4、入也是調(diào)和函數(shù)得：因此，在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿足初始條件和邊界條件的拉普拉斯方程。勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系：流線族與等勢(shì)線族正交0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyxyxuudxdym2121yxxyuuuumm斜率：斜率：等流線等流線等勢(shì)線等勢(shì)線可作流網(wǎng)在流場(chǎng)的個(gè)別點(diǎn)上，如邊界的角點(diǎn)或速度等于零的點(diǎn)上，可能無(wú)法滿足正交條件。例：不可壓縮流體，ux=x2y2，uy= 2xy，是否滿足連續(xù)性方程？是否無(wú)旋流？有無(wú)速度勢(shì)函數(shù)？是否是調(diào)和函數(shù)？并寫出流函數(shù)。解：022xxyuxuyx（1） 滿足連續(xù)性方程021yuxuxyz（2） 是無(wú)旋流（3

5、）無(wú)旋流存在勢(shì)函數(shù)：dyudxudyxdyyxudxyxuyyyxxx),(),(000?。▁0，y0）為（0，0）23002312),(xyxdyxydxxyxyx（4） 滿足拉普拉斯方程， 是調(diào)和函數(shù)2222yx0)2(2xxyuxuyx（5）流函數(shù)xydxdyyxdxudyudyx222?。▁0，y0）為（0，0）3),(32022yyxdyyxyxy1.均勻直線流動(dòng)速度場(chǎng)（a,b為常數(shù)）速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo112323基本的平面有勢(shì)流動(dòng)由于流場(chǎng)中各點(diǎn)速度相等，根據(jù)理想流體的伯努利方程，得c

6、gpz如果均勻流體直線流動(dòng)在水平面上，或流體為氣體，一般可忽略重力影響，于是p=c,即流場(chǎng)中壓強(qiáng)處處相等。當(dāng)流動(dòng)方向平行于x軸當(dāng)流動(dòng)方向平行于y軸如用極坐標(biāo)表示：0yuaxay0 xubybx11221122cosrx sinry sinbrby cosbrbx2.平面點(diǎn)源與點(diǎn)匯（用極坐標(biāo)）（1）點(diǎn)源：Q為點(diǎn)源強(qiáng)度1122o34ur源點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 ur速度場(chǎng)速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線直角坐標(biāo)rQur20urQrdudrurln22Qdrurdur22ln2yxQxyarctgQ2ccr cc（2）點(diǎn)匯 流量Q為點(diǎn)匯強(qiáng)度1122o34匯點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 urrQur2rQln22QQQpprr0

7、點(diǎn)匯流沿半徑的壓強(qiáng)分布gpgugpr22如果xoy平面是無(wú)限大平面，則根據(jù)伯努利方程式中，。時(shí)，當(dāng)減少而降低?？梢?jiàn)，壓強(qiáng)隨著半徑的代入上式，可得由于為零。處的壓強(qiáng)，該處的速度為在088,2r2122022p)p/(QrrrQ-pprQup/r（3）點(diǎn)渦（用極坐標(biāo)）注意：環(huán)流是無(wú)旋流！0ruru22rdudrurrlndrurdur2速度勢(shì)函數(shù)流函數(shù)速度場(chǎng)點(diǎn)渦強(qiáng)度常數(shù)rurdu220逆時(shí)針為正1122o34u可見(jiàn)，點(diǎn)渦的等勢(shì)線族是經(jīng)過(guò)渦點(diǎn)的放射線，而流線族是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)也滿足同理，對(duì)無(wú)旋流：勢(shì)流疊加原理012022210202勢(shì) 流 疊 加 原 理以上幾種簡(jiǎn)單的平

8、面勢(shì)流實(shí)際中很少應(yīng)用，但它們是勢(shì)流的基本單元，若把幾種基本單元疊加在一起，可以形成許多有實(shí)際意義的復(fù)雜流動(dòng)。幾個(gè)簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)疊加得到的新的有勢(shì)流動(dòng)，其速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別等于原有幾個(gè)有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的代數(shù)和，速度分量為原有速度分量的代數(shù)和。研究勢(shì)流疊加原理的意義：將簡(jiǎn)單的勢(shì)流疊加起來(lái)，得到新的復(fù)雜流動(dòng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，可以用來(lái)求解復(fù)雜流動(dòng)。（1）半無(wú)限物體的繞流（用極坐標(biāo)）模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過(guò)橋墩）流函數(shù)：速度勢(shì)函數(shù)：即視作水平流與源點(diǎn)o的源流疊加u02sin021QrurQruln2cos021S有勢(shì)流動(dòng)疊加作流線步驟：找駐點(diǎn)S：rQurur2cos0si

9、n10uru, 00u0ru將代入（舍去）將代入得駐點(diǎn)的坐標(biāo)：00r02 uQrsu0Sors（1）（2）由（2）由（1）02 uQrs將駐點(diǎn)坐標(biāo)代入流函數(shù)，得2Qs則通過(guò)駐點(diǎn)的流線方程為22sin0QQru給出各值，即可由上式畫出通過(guò)駐點(diǎn)的流線04,23,2uQyr02,uQxrss,2 , 0r流線以為漸進(jìn)線02uQy 外區(qū)均勻來(lái)流區(qū)；內(nèi)區(qū)源的流區(qū)（“固化”、半體）（2）源環(huán)流螺旋流（用極坐標(biāo)）模型：源流與環(huán)流疊加（水泵蝸殼內(nèi)的擴(kuò)壓流動(dòng)）rlnQ2121勢(shì)函數(shù)流函數(shù)rlnQQ2122121等勢(shì)線cQecr1流線cQecr2流線和等勢(shì)線是相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線源流和環(huán)流的疊加（流線與等勢(shì)線為相

10、互正交的對(duì)數(shù)螺旋線族）離心泵的葉片形狀離心泵的葉片形狀（3）等強(qiáng)源匯流（用極坐標(biāo)直角坐標(biāo)）模型：源流與匯流疊加（電偶極子）21212122rrlnqrlnrlnq22222yaxyaxlnqxyoaarr1r2P(x,y)12q-q勢(shì)函數(shù)流函數(shù)21212qaxyarctgaxyarctgq2源流和匯流的疊加當(dāng)a0，q，2qa常數(shù)M偶極流利用三角函數(shù)恒等式、級(jí)數(shù)展開(kāi)，化簡(jiǎn)222yxxM222yxyMa0：偶極流（4） 平行流繞過(guò)圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流動(dòng) 平行流（均勻等速流）和偶極流疊加,可用來(lái)描述流體繞過(guò)圓柱體無(wú)環(huán)流的流動(dòng).若均勻等速流的速度為 ,沿x軸正向流動(dòng),偶極流的偶極矩為M。n 平行流與偶

11、極流的疊加平行流與偶極流的疊加n 流網(wǎng)流網(wǎng) 平行流：vxvv0yv 1v x1v y2222Mxxy2222Myxy 偶極流：疊加：122222211() () cos222MxMMvxvvrxyxyr 122222211() () sin222MyMMv yyvvrxyxyr 流線方程為：022sinrrMVcsinrrMV22022rMV當(dāng)常數(shù)C取不同的數(shù)值時(shí)，可得如圖所示的流譜。當(dāng)C0時(shí)對(duì)應(yīng)的流線，稱為零流線。流體對(duì)圓柱體的無(wú)環(huán)量繞流n零流線零流線 當(dāng)常數(shù)C0時(shí)，即零流線的流線方程： 由 ，得 。sin00, 或 即：0y 0rr 可見(jiàn)，零流線為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓和x軸。VM

12、rr20csinrrMV22VMr20n平行繞流圓柱體無(wú)環(huán)流的流動(dòng)平行繞流圓柱體無(wú)環(huán)流的流動(dòng)0rr202222()yxyvv rxyy VMr20n流函數(shù)和速度勢(shì)：流函數(shù)和速度勢(shì)：n流場(chǎng)中的速度分析流場(chǎng)中的速度分析 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：因?yàn)椋核裕?0221() cos(1) cos2rMvrvrrr20221() sin(1) sin2rMvrvrrr（ ）0rr（ ）2220222()(1)()xryxvvxyx0yv 0 xyvvb:在（r0，0）和（r0，0）處a:當(dāng)討論：討論：時(shí)，即為平行流。為駐點(diǎn)，即A，B為駐點(diǎn)。Vvxyx極坐標(biāo)：極坐標(biāo)：討論：202202(1)cos1(1)

13、sinrrvvrrrvvrr a:半徑為r的圓形曲線上的速度環(huán)量b：當(dāng) 時(shí)，故平行流繞圓柱體的流動(dòng)為勢(shì)流。22002222002(1)sin(1) sin(1)cos0rrv dsvrdv rdrrrv rr 0rr02sinrvvv ；時(shí)0 00,0,0B rAr當(dāng) 時(shí)，22min0vmax2vv即C、D點(diǎn)的速度最大。n圓柱面上的壓強(qiáng)分布圓柱面上的壓強(qiáng)分布 圓柱面上的壓強(qiáng)分布可由伯努利方程求得。 在無(wú)窮遠(yuǎn)處，速度為 ，壓強(qiáng)為 。則 工程上為了處理問(wèn)題方便起見(jiàn)，引入一個(gè)無(wú)量綱壓強(qiáng)系數(shù) ，則 。vp2222vvppgggg2222111 4sin22ppvvpv由其中22sinvv221 4si

14、n12pppCv12pppCv討論： 1、前、后駐點(diǎn)：2、C、D點(diǎn)：0v 1pC 2max12ppv3pC 2min32ppvmax2vv 3、在 和 的范圍內(nèi)，圓柱面上的壓強(qiáng)作用是對(duì)稱的，即作用在其上的壓力是平衡的。0180180360 n對(duì)于理想流體，平行流無(wú)環(huán)流繞流圓柱體時(shí)，既不產(chǎn)生阻力對(duì)于理想流體，平行流無(wú)環(huán)流繞流圓柱體時(shí)，既不產(chǎn)生阻力也無(wú)升力。也無(wú)升力。 證明：如圖，在單位長(zhǎng)度的圓柱體上作用在微元弧段上的總壓力和阻力分別為2220011 4sincos02DxFFrpvd 2220011 4sinsin02LyFFrpvd 證畢。 說(shuō)明：無(wú)升力、無(wú)阻力只適用于理想流體，實(shí)際流體不適用

15、，上述即為達(dá)朗伯疑題。（5 5） 平行流繞流圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng)平行流繞流圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng)庫(kù)塔儒可夫斯基公式庫(kù)塔儒可夫斯基公式平行流繞流圓柱體有環(huán)流的流動(dòng)是無(wú)環(huán)流流動(dòng)和一個(gè)環(huán)流的疊加。20121cosrvrr2max2min1232ABCDppppvppppv20121sinrvrrmin0ABvvvmax2CDvvvv其中n環(huán)流環(huán)流222ln2rn平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的流動(dòng)平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的流動(dòng)流體對(duì)圓柱體的無(wú)環(huán)量繞流n疊加的結(jié)果疊加的結(jié)果201221cos2rvrr201221sinln2rvrrr流場(chǎng)如圖所示。上部和環(huán)流方向一致，速度加快，下部方向相反，速度減慢，上部壓強(qiáng)降低

16、，下部升高。平行流與純環(huán)流的疊加則可得2021cosrrvvrr20211sin2rvvrrr n驗(yàn)證是否滿足兩個(gè)邊界條件驗(yàn)證是否滿足兩個(gè)邊界條件0rrC201221cos2rvrrn是否滿足圓柱面為流線的條件是否滿足圓柱面為流線的條件當(dāng) 時(shí)，令又，當(dāng) 時(shí)，故滿足以圓柱面為邊界的流動(dòng)。20Cre0rv 則0rrn是否滿足來(lái)流速度為是否滿足來(lái)流速度為 的邊界條件的邊界條件 v當(dāng) 時(shí)， 。故滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處的條件r 因此這種疊加是正確的。因此這種疊加是正確的。vv2021cosrrvvrr201221sinln2rvrrrn圓柱面上的速度分布及駐點(diǎn)的位置圓柱面上的速度分布及駐點(diǎn)的位置002sin2rv

17、vvr 20211sin2rvvrrr n圓柱面上的速度分布圓柱面上的速度分布 當(dāng) 時(shí)， 該式說(shuō)明：圓柱面上徑向速度為零，即無(wú)分離，切向速度為 的正弦函數(shù)。0rrn駐點(diǎn)的位置駐點(diǎn)的位置 時(shí)0 當(dāng)駐點(diǎn)在圓柱面上時(shí)， 此時(shí)，0v0sin4 r v 討論：當(dāng) 時(shí)，且 則有兩個(gè)駐點(diǎn)。 因 即 和 。且隨著 增大， 也增大，駐點(diǎn)向中間移動(dòng)。如圖（a）sin104 r v sinsin2021cosrrvvrr當(dāng) 時(shí)， 駐點(diǎn)移動(dòng)到最下方。如圖（b）04 r v sin12當(dāng) 時(shí)， ?？闪?和 為零，得（ ）（ ）兩個(gè)駐點(diǎn)，一個(gè)在圓柱體內(nèi)，如圖（c）04 r v sin1rvv11,r22,r當(dāng) 時(shí)，和上述的情況類似，只是駐點(diǎn)的位置在上部。0 （c）（b）（a）圓柱面上的駐點(diǎn)位置n圓柱面上的壓強(qiáng)分布圓柱面上的壓強(qiáng)分布n壓強(qiáng)分布?jí)簭?qiáng)分布在圓柱面上 列無(wú)窮遠(yuǎn)處和圓柱面上的伯努利方程 0rv 02sin2vvr 221122pvpv22012si