上海交通大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布 為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律, 有必要引入隨機(jī)變量來描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.例例 電腦壽命可用一個(gè)連續(xù)變量 T 來描述.例例 檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 , 也可以用一個(gè)離散變量來描述正品次品,0, 1)(X2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)設(shè) 是試驗(yàn)E的樣本空間, 若則稱 X ( ) 為 上的 隨機(jī)變量r.v.一般用大寫字母 X, Y , Z , 或小寫希臘字母 , , 表示.)(X實(shí)數(shù)定義定義隨機(jī)變量 ( random variable )按一定法則簡記 r.v. X .隨機(jī)變量隨機(jī)變量 是R上的映射, 此映射具有如下特點(diǎn)

2、 定義域定義域 事件域 隨機(jī)性隨機(jī)性 r.v. X 的可能取值不止一個(gè), 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值，但不 能預(yù)知取哪個(gè)值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某個(gè)值 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表達(dá)隨機(jī)事件, 例如)100(X 表示 “某天9:00 10:00 接到電話次數(shù)超過100次” 這一事件AAXA, 0, 1為事件A 的示性變量 r.v.的函數(shù)一般也是r.v. 可根據(jù)隨機(jī)事件定義 r.v. 設(shè) A 為隨機(jī)事件，則稱 在同一個(gè)樣本空間可以同時(shí)定義多個(gè) r.v., 例如 = 兒童的發(fā)育情況 X() 身高,Y() 體重,Z() 頭圍.各 r.v.之間可能有一定的關(guān)系, 也

3、可能沒有關(guān)系 即 相互獨(dú)立離散型離散型非離散型非離散型r.v. 分類分類 其中一種重要的類型為 連續(xù)性連續(xù)性 r.v.引入引入 r.v.重要意義重要意義 任何隨機(jī)現(xiàn)象可任何隨機(jī)現(xiàn)象可 被被 r.v.描述描述 借助微積分方法借助微積分方法 將討論進(jìn)行到底將討論進(jìn)行到底為 X 的分布函數(shù). 設(shè) X 為 r.v., x 是任意實(shí)數(shù),稱函數(shù)xxXPxF),()(隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義定義)()(aFbF（ab （)(bXaP)(aXP)(bXP用分布函數(shù)計(jì)算 X 落在( a ,b 里的概率：分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)q F ( x ) 單調(diào)不減，即)()(,2121xFxFxxq

4、1)(0 xF且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F ( x ) 右連續(xù)，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt)()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP請(qǐng)請(qǐng)?zhí)钐羁湛沼梅植己瘮?shù)表示概率用分布函數(shù)表示概率)(xF2/ 103/ 1xx00 x2/ 11x設(shè) r.v. X 的分布函數(shù)：計(jì)算) 0(XP) 4/ 1(XP) 4/ 1(XP) 3/ 10 (XP) 3/ 10 (XP例例1 1解解) 00 () 0 () 0(FFXP; 3/ 103/ 1; 012/712/7) 04/ 1 () 4/ 1 () 4/ 1(FFXP) 4/ 1() 4/ 1() 4/ 1(XPXPXP;12/5) 4/ 1 (1) 4/ 1(FXP; 3/