人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤《等差數(shù)列的前n項和》教學(xué)設(shè)計

1、.課題：必修2.3等差數(shù)列的前n項和三維目標： 1、 知識與技能（1）理解等差數(shù)列前 項和的定義以及等差數(shù)列前 項和公式推導(dǎo)的過程，并理解推導(dǎo)此公式的方法倒序相加法，記憶公式的兩種形式；（2）用方程思想認識等差數(shù)列前 項和的公式，利用公式求 ；等差數(shù)列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值； （3）會用等差數(shù)列的前項和公式解決一些簡單的與前項和有關(guān)的問題.2、過程與方法（1）通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律，然后體驗從特殊到一般的研究方法。通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培

2、養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（2）通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并運用數(shù)學(xué)知識和方法科學(xué)地解決問題.3、情態(tài)與價值觀(1) 通過對數(shù)列知識的進一步學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2）通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感, 形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感

3、，為遠大的志向而不懈奮斗。 教學(xué)重點：等差數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用教學(xué)難點：公式推導(dǎo)的思路及綜合運用教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：前面，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、通項公式及其有關(guān)性質(zhì)，并運用這些知識解決了許多的實際問題，請同學(xué)們回顧一下學(xué)過的等差數(shù)列基本知識和性質(zhì)： 等差數(shù)列定義：即(n2) 由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。 等差數(shù)列通項公式：(n1) 在等差數(shù)列中， 若m + n= p + q 則 等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，如： 建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的數(shù)

4、目分別為1，2，3，10 . 問共有多少根圓木？ 因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經(jīng)常遇到的問題。如何用簡便的方法呢？當然，若是數(shù)少了，即使口算，也能迅速得出若數(shù)多了呢，比如：1+2+3+100=？還能不能迅速算出呢？ 在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出1+2+3+100和的好戲。 同學(xué)們或許都聽說過這個故事，哪個同學(xué)來簡潔地說一說高斯是怎樣來計算的？ 答：當時，當其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050（數(shù)學(xué)王子，德國數(shù)學(xué)家高斯

5、10歲的時候，有一次數(shù)學(xué)教師布特納要求學(xué)生將前100個自然數(shù)加起來，即求1+2+3+100的和。老師剛解釋完題目，高斯就把寫有答案的石板交了上去，布特納連看也沒看，心想這個全班最小的學(xué)生準是瞎寫了些什么，或者交了白卷，過了很久，其他學(xué)生才一個個把石板疊在上面，等到布特納發(fā)現(xiàn)只有高斯的石板上寫著一個正確的答案而比他大的孩子都錯了的時候，才大吃一驚，因為在這之前，他從未教過學(xué)生計算等差數(shù)列。那么高斯是怎樣巧妙的算出結(jié)果的呢？我們分析，可能是高斯將這100個數(shù)分成50組（1+100），（2+99），（3+98）， ，（50+51），而每組兩數(shù)之各都等于101，因此，1+2+3+100=10150=5

6、050。）高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，n，前100項的和的問題。 但這只是前100項的和，我們想知道前n項的和怎樣求，更想知道有沒有一個公式來表示。這就是我們今天要研究的問題二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究：【創(chuàng)設(shè)情境】首先，我們根據(jù)高斯的算法，來計算一下1，2，3，n，的前n項的和：（學(xué)生分組討論，展示做法）有的同學(xué)可能直接按照高斯的算法：（1+n）+( 2+n-1) +(3+n-2)+ 但不知道數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)，不一定能恰好都配成對。有的同學(xué)可能根據(jù)上面解法存在的問題，對n 進行分類討論：n 為偶數(shù)： n 為奇數(shù)： 最后交流出最佳方法：由 1 + 2 + + n-1 + n

7、n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）從而初步總結(jié)出推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的一般方法：倒序相加法?！竞献魈骄俊拷璐藮|風(fēng)，引領(lǐng)學(xué)生合作交流，推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和 可請同學(xué)們先根據(jù) 1 + 2 + + n-1 + n 來推測一下 有的同學(xué)肯定會推測出來： 然后鼓勵一下，在讓學(xué)生分組合作交流，推導(dǎo)出來 用兩種方法表示 把上式的次序反過來又可以寫成 由+，得 = 由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式 請同學(xué)們把 把代入中，看能得到什么： 得： 【點評】（1）對于第一個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了；對于第二個公式，

8、只要知道等差數(shù)列首項、公差和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。實際解題時可根據(jù)題目給出的已知條件選擇合適的公式來解決。 （2）這兩個公式除了“數(shù)”的本質(zhì)外，用“形”也可以直觀地說明一下： 還可用梯形面積公式來說明等差數(shù)列前 項和公式，這里對圖形進行了割、補兩種處理，對應(yīng)著等差數(shù)列前 項和的兩個公式. （3） 除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（可對基礎(chǔ)較好的學(xué)生要介紹）當然，對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如： = = = 三、互動達標 鞏固所學(xué)：【自主達標】1 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和Sn. 答：學(xué)生獨立完成：（1）Sn=-88 ; (2) 604.5

9、 2. 求集合M=m| m=2n - 1 .n ，且m 60 的元素個數(shù)，并求這些元素的和。 答：由2n 1 60 得： n 30.5 所以共有30項 ，公差為2 這些元素的和為 301 + 15302 = 930?！净舆_標】（下面的所有問題，都先讓學(xué)生合作探究、交流一下） 既然數(shù)列與實際生活有密切關(guān)系，那么，首先來探索一個實際問題： 問題.12000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的統(tǒng)治.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學(xué)建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順

10、利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 【分析】對于應(yīng)用問題，首先應(yīng)仔細閱讀、審清題意。然后，抽象、提煉出相關(guān)數(shù)據(jù)，并分析出它們的本質(zhì)關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題 【解析】根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列，表示從2001年起各年投入的資金，其中， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為 （萬元）答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.【點評】通過此題引領(lǐng)學(xué)生逐步按照下列

11、步驟來進行：先閱讀題目；引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解?？赡艹霈F(xiàn)的錯誤（也是數(shù)列的實際問題中常見的、典型的錯誤）： 理解錯題意，把前n項和與最后一項混淆問題.2已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 【分析】這是一個關(guān)于前n項和的逆向問題，想一想的關(guān)系，然后列出，看到它們的關(guān)系，就會直接得到了?！窘馕觥扛鶕?jù) 與 可知，當n1時， 當n=1時， 也滿足式. 所以數(shù)列的通項公式為. 由此可知，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列?！军c評】（1）引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出已

12、知前n項和，求通項公式的方法；（2）用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的. （3） 【深入探究】結(jié)合此例思考課本45頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列的前n項和為其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項。所以得到：（1）如果一個數(shù)列前n項和 的常數(shù)項r不為0，則這個數(shù)列一定不是等差數(shù)列.（2）如果一個數(shù)列前n項和中常數(shù)項r為0，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.最后結(jié)論：數(shù)列是等差數(shù)列等價于 問題

13、.3已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？【分析】最直接的思路是利用方程思想：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關(guān)于與的二元一次方程，由此可以求得與，從而得到所求前n項和的公式.【解析】解：由題意知 ，將它們代入公式 得到 解這個關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，所以【引領(lǐng)學(xué)生探討其他解法】總結(jié)出解決數(shù)列基本問題的幾種常用的思想方法：【另法一】 得 所以 -，得， 所以 代入得： 所以有 【另法二】由問題.2的探索知等差數(shù)列的前n項和可表示為 利用待定系數(shù)法可求出結(jié)果（在這里，也可看成是運用了函數(shù)思想）再

14、通過下列的變式探究出解決數(shù)列問題常用的整體思想1已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.求前30項的和【分析】除了引領(lǐng)學(xué)生用剛學(xué)過的方程思想與函數(shù)思想來解決外，再引導(dǎo)學(xué)生合作探究用整體思想來解決 【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，不難推得： 、 、 成等差數(shù)列 所以有 解得：前30項的和為2730 。【點評】上述方法沒有列出方程求出具體的個別量，而是恰當?shù)剡\用了數(shù)學(xué)中的整體思想來快速求出的，要注意體會這種思想在數(shù)學(xué)中的運用（實際上，換元法體現(xiàn)的也是整體思想）。下面再給出一個題目體現(xiàn)一下在等差數(shù)列中整體思想的廣泛運用：2 在一個等差數(shù)列中，已知 ，求 引領(lǐng)學(xué)生合作探究出： 從而進一

15、步體會一下整體思想所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)。小結(jié)：設(shè)計上述幾個問題的目的：一是為了體現(xiàn)解決數(shù)列問題常用的三種思想方法：方程思想整體思想函數(shù)思想（可繼續(xù)用問題4來體現(xiàn)）二是為了展現(xiàn)數(shù)列在實際中的應(yīng)用。問題.4已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值. 【分析】等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值. 【解析】由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以 于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.【點評】通過此題同學(xué)們會進一步感受到函數(shù)思想的廣泛運用，此題還可運用下列的方法：因數(shù)列是遞

16、減的等差數(shù)列，所以只要找到正項與負項的分界處即可： 解 且四、思悟小結(jié)：知識線：（1）等差數(shù)列前 項和的定義； （2）等差數(shù)列前 項和公式；（3）相關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)。思想方法線： （1）待定系數(shù)法； （2）方程思想；（3）整體思想；（4）函數(shù)思想。題目線：（1）利用等差數(shù)列的通項公式、前 項和公式解決關(guān)于前 項和的基本問題；（2）利用等差數(shù)列的通項公式、前 項和公式解決上述問題的逆向問題；（3）實際問題；（4）相關(guān)的綜合問題。如：最值問題等等。五、針對訓(xùn)練 鞏固提高：一、選擇題：1、已知數(shù)列的通項公式為，則的前項和等于（ ）A B C D2、已知等差數(shù)列，則等于（ ）A B C D3、在等差

17、數(shù)列中，若，是數(shù)列的前項和，則的值為（ ）ABCD4、設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）ABCD二、填空題：5（1）正整數(shù)前n個偶數(shù)的和 ； （2）正整數(shù)前n個奇數(shù)的和 ；（3）在三位整數(shù)的集合中有 個數(shù)是5的倍數(shù)，它們的和為 ；（4）在正整數(shù)集合中有 個三位數(shù)，它們的和為 。 6數(shù)列的前項和，則它的通項公式是 。7根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的有關(guān)未知數(shù)：（1） ；n= 。(2) = ；= 。（3）n = ；= 。（4）= ；= 。8若一個等差數(shù)列前項的和為，最后項的和為，且所有項的和為，則這個數(shù)列有_項三、解答題：9一個多邊形的周長等于158cm，所有各邊的長成等差數(shù)列，最大邊的長等于44c