垂直于弦的直徑

1、垂直于弦的直徑第一課時(shí) 垂直于弦的直徑（一）教學(xué)目標(biāo)：(1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；(3)通過圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：垂徑定理及應(yīng)用；從感性到理性的學(xué)習(xí)能力   難點(diǎn)：垂徑定理的證明教學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)： （一）實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，提出問題：1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性.2、提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.通過“演示實(shí)驗(yàn)觀

2、察感性理性”引出垂徑定理（二）垂徑定理及證明：已知：在O中，CD是直徑，AB是弦，CDAB，垂足為E求證：AE=EB，  =  ，  =  證明：連結(jié)OA、OB，則OA=OB又CDAB，直線CD是等腰OAB的對(duì)稱軸，又是O的對(duì)稱軸所以沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，AE和BE重合，  、  分別和  、  重合因此，AE=BE，  =  ，  =&#

3、160; 從而得到圓的一條重要性質(zhì)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論： CD為O的直徑，CDAB AE=EB，  =  ，  =  .為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；平分弦所對(duì)的劣弧.加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.（三）應(yīng)用和訓(xùn)練例1、如圖，已知在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑分析：要求O的半徑，連結(jié)OA，只要求出OA

4、的長就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)O到AB的距離為3cm，所以作OEAB于E，而AEEB AB=4cm此時(shí)解RtAOE即可解：連結(jié)OA，作OEAB于E則AE=EBAB=8cm，AE=4cm又OE=3cm，在RtAOE中， (cm)O的半徑為5 cm說明：學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)關(guān)系：r = h+d；r2 = d2 + (a/2)2例2、 已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)求證AC=BD（證明略）說明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成

5、練習(xí)1：教材P78中練習(xí)1，2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開評(píng)價(jià)、交流指導(dǎo)學(xué)生歸納：構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線弦心距.（四）小節(jié)與反思教師組織學(xué)生進(jìn)行：知識(shí)：(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足過圓心；垂直于弦；則可得平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎?duì)的劣?。ㄎ澹┳鳂I(yè)教材P84中11、12、13第二課時(shí)

6、 垂直于弦的直徑（二）教學(xué)目標(biāo)：（1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡單的應(yīng)用；（2）通過對(duì)推論的探討，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問題，概括問題的能力促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：垂徑定理的兩個(gè)推論；對(duì)推論的探究方法難點(diǎn)：垂徑定理的推論1學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)：(一)分解定理（對(duì)定理的剖析）1、復(fù)習(xí)提問：定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧.2、剖析：（教師指導(dǎo)）(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問題：（A層學(xué)生自己組合，小組交流，B層學(xué)生老師引導(dǎo)） ，  ，（包括原定理，一共有10

7、種）(三)探究新問題，歸納新結(jié)論：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧.（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧.（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等.(四)鞏固練習(xí)：練習(xí)1、“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”這句話對(duì)嗎?為什么?（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件）練習(xí)2、按圖填空：在O中，（1）若MNAB，MN為直徑，則_，_，_；（2）若ACBC，MN為直徑，AB不是直徑，則則_，_，_；（3）若MNAB，ACBC，則_，_，_；（4）若 

8、60;=  ，MN為直徑，則_，_，_（此題目的：鞏固定理和推論）（五）應(yīng)用、反思例、四等分 （A層學(xué)生自主完成，對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）教材P80中的第3題圖，是典型的錯(cuò)誤作.此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的理解培養(yǎng)學(xué)生的思維能力（六）小結(jié)：知識(shí)：垂徑定理的兩個(gè)推論能力：推論的研究方法；平分弧的作圖（七）作業(yè)：教材P84中14題第三課時(shí) 垂徑定理及推論在解題中的應(yīng)用教學(xué)目的：要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì)解決有關(guān)的

9、證明，計(jì)算問題.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識(shí).通過例4（趙州橋）對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育；并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又反過來服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：如何進(jìn)行輔助線的添加教學(xué)內(nèi)容：(一)復(fù)習(xí)1垂徑定理及其推論1：對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來說，具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)： 直線過圓心 ； 垂直于弦 ； 平分弦 ； 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ； 平分弦所對(duì)的劣弧.可簡記為：“知2推3”推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.2應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究） 涉

10、及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)關(guān)系：r = h+d   ;  r2 = d2 + (a/2)23常添加的輔助線：（學(xué)生歸納） 作弦心距 ； 作半徑 .-構(gòu)造直角三角形4可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù).(二)應(yīng)用例題：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37.4米，拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高)為7.2米，求橋拱的半徑(精確到0.1米)說明：對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育；應(yīng)用題

11、的解題思路：實(shí)際問題（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）數(shù)學(xué)問題例2、已知：O的半徑為5 ，弦ABCD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB與CD間的距離.（讓學(xué)生畫圖）解：分兩種情況：（1）當(dāng)弦AB、CD在圓心O的兩側(cè)過點(diǎn)O作EFAB于E，連結(jié)OA、OC，又ABCD，EFCD（作輔助線是難點(diǎn)，學(xué)生往往作OEAB，OFAB，就得EF=OE+OF，錯(cuò)誤的結(jié)論）由EF過圓心O，EFAB，AB = 6，得AE=3，在RtOEA中，由勾股定理，得，同理可得：OF=3EF=OE+OF=4+3=7（2）當(dāng)弦AB、CD在圓心O的同側(cè)同（1）的方法可得：OE=4，OF=3說明：此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性

12、思維和解題方法：確定圖形分析圖形數(shù)形結(jié)合解決問題；培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力例3、 已知：如圖，AB是O的弦，半徑OCAB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的長.解：（略，過O作OEAE于E ，過B作BFOC于F ，連結(jié)OB.BC = ）說明：通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.（三）應(yīng)用訓(xùn)練：P8l中1題在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度學(xué)生分析，教師適當(dāng)點(diǎn)撥分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決（四）小結(jié)：1. 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.2. 應(yīng)用定理可以證明的問題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.(五)作業(yè)：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題探究活動(dòng) 如圖，直線MN與O交于點(diǎn)A、B，