費(fèi)馬點(diǎn)與中考試題

1、識(shí)別“費(fèi)馬點(diǎn)” 思路快突破例1 探究問(wèn)題：（1）閱讀理解：如圖（A），在已知ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PAPBPC的值為ABC的費(fèi)馬距離. 如圖（B），若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有AB·CDBC·DAAC·BD.此為托勒密定理.（2）知識(shí)遷移：請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問(wèn)題：如圖（C），已知點(diǎn)P為等邊ABC外接圓的上任意一點(diǎn).求證：PBPCPA.根據(jù)（2）的結(jié)論，我們有如下探尋ABC（其中A、B、C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D），在ABC的外部以

2、BC為邊長(zhǎng)作等邊BCD及其外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB、PC、PD.易知PAPBPCPA（PBPC）PA ；第三步：請(qǐng)你根據(jù)（1）中定義，在圖（D）中找出ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，并請(qǐng)指出線段 的長(zhǎng)度即為ABC的費(fèi)馬距離. （3）知識(shí)應(yīng)用：2010年4月，我國(guó)西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見(jiàn)的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問(wèn)題，解放軍某部來(lái)到云南某地打井取水.已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸水管總長(zhǎng)度的最小值.（1）平面內(nèi)一點(diǎn)P到

3、ABC三頂點(diǎn)的之和為PA+PB+PC，當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和最小. 特殊三角形中： (2)三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以 AB，BC，CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1，ACB1，BCA1，然后連接AA1，BB1，CC1，則三線交于一點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn). (3)若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求. (4)當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合.可見(jiàn)，永州卷這道考題對(duì)于費(fèi)馬點(diǎn)只是以課題學(xué)習(xí)為問(wèn)題載體，考得比較直截了當(dāng)；巧合的是例2 如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)

4、B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).EA DB CNM思路探求：略； 要使AMCM的值最小，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，需設(shè)法將AMCM轉(zhuǎn)化為一條線段，連接AC即可獲取； 要使AMBMCM的值最小，由例3積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)：點(diǎn)M應(yīng)該是ABC的費(fèi)馬點(diǎn).由例3中（2）的求解示范，只要連接CE即可獲得CE為AMBMCM的值最小.這樣獲到M點(diǎn)至少幫助我們?cè)谒悸帆@取上提高了效率.理由說(shuō)明供助于第（1）問(wèn)的全等獲得BM=BN，將三條線段

5、轉(zhuǎn)化到CE上去，問(wèn)題化為兩點(diǎn)之間線段最短.根據(jù)題意，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，過(guò)E點(diǎn)作EFBC交CB的延長(zhǎng)線于F. 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BFx，EF.在RtEFC中，由勾股定理得（）2（xx）2，解得即可.簡(jiǎn)答：略；當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AMCM的值最小. FEA DB CNM如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小. 理由如下：連接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60°，MBNB，BMN是等邊三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得ENMNCMEC最短當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM的值最小，即等于EC的長(zhǎng). 過(guò)E點(diǎn)作EFBC交CB的延長(zhǎng)線于F，EBF90°60°30°.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，