第18講歐氏空間正交基課件

1、一. 歐幾里得空間二. 向量的正交性第四節(jié)第四節(jié) 歐幾里得空間歐幾里得空間 .的正交基向量空間三nR . 正交化方法四例 , ) 0 , 2 , 2 , 8 , 1( , )2 , 5 , 3 , 0 , 2( 則若 02)2(52380) 1(2),( 6。 205)2(32082) 1(),( 6。 )( 02255330022) ,(。正定性 證。雙線性性請自己舉例驗(yàn) 歐幾里得空間 , ) , ( 稱為的向量空間定義了內(nèi)積nR , , 。記為簡稱為歐氏空間維歐幾里得空間nEn , 。向量與點(diǎn)被視為等同的在歐氏空間中 , ?！包c(diǎn)”也可稱為“向量”中的元素可稱為nE 向量間的夾角、歐氏空間中

2、向量的長度 ,),(21的長度為定義向量nnExxx ),( |22221。nxxx : | 具有以下性質(zhì)的長度向量 ; 0 | , 0 , 0 | : 1.時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)正定性 | | : . 3。三角不等式 ; | | | : . 2kk齊次性 | ),(2 0 |0| : )0 , 0 , 0(0 . 1。的長度等于零零向量 1 . 2的向量稱為單位向量。長度等于 . 4。均可單位化任何一個非零向量 | , . 3。為單位向量則為非零向量若 中向量間的距離歐氏空間nE , , 稱非負(fù)數(shù)設(shè)nE 的距離。與中向量為nE | ),(d , ),( , ),(2121nnnEbbbaaa )()()

3、(| 2222211。則nnababab , 若由向量的長度的定義式例證證 中柯西不等式成立證明：在歐氏空間nE , , , ) ,)( ,() ,(2V , 線性相關(guān)時(shí)成立。與等號當(dāng)且僅當(dāng)其中 , 0 , , . 1則對任意實(shí)數(shù)線性無關(guān)與若 , 0 | ),( 2故有且 )()() ,( ),(),(),(),(2 0),(),(2),(2。 的二次三項(xiàng)式關(guān)于 a b c 0 ? 42cab 得由二次三項(xiàng)式的知識可 ),)(,(),(2。 , 柯西不等式成立。線性無關(guān)時(shí)與即 . 2證明等號成立 , 有因?yàn)镽k ),)(,(),(2kkk),)(,(2k , ),)(,(kk : , ),)(

4、,(),( 2立即可知比較與 , 。柯西不等式中等號成立線性相關(guān)時(shí)與當(dāng)且僅當(dāng) k二二. 向量的正交性向量的正交性 角歐氏空間中向量間的夾 , 間的夾角與兩個非零向量中歐氏空間nE , 0, , | |),(rccosa ,。例 , , ) 1 , 5 , 1 , 3( , )3 , 2 , 2 , 1 ( 。求設(shè)解解 , 233221 ),( |2222 , 61513),( |2222 , 1813521231),( 因?yàn)?62318arccos| |),(arccos, 故 4 22arccos。 件兩個向量正交的充要條 兩個向量正交的定義 , 若中的兩個非零向量為歐氏空間和設(shè)nE 2 ,

5、 。 , 。記為相互正交與則稱向量 0| |),(cosarc 即 , 則中的兩個非零向量為歐氏空間和設(shè)nE , 0),(規(guī)定零向量與任何向量正交。規(guī)定零向量與任何向量正交。例 , , , 且中的兩個向量是歐氏空間設(shè)nE | | :222。證明證證 , | ),( , 2故有因?yàn)閂 ) ,( |2 , ),(),( 2),( , , 0),( , , 從而所以又 | |222。例 , , , 且中的兩個向量是歐氏空間設(shè)nE | | :222。證明證證 , | ),( , 2故有因?yàn)閂 ) ,( |2 , ),(),( 2),( , , 0),( , , 從而所以又 | |222。 幾何意義 3

6、中在 R | |222 勾股定理 , 。中在nR例 非零向量中兩兩相互正交的一組歐氏空間nE證證 , , ,21k 的一個正交向量組。稱為 V :組是線性無關(guān)的。歐氏空間中的正交向量證明 , , , , 21則有是線性相關(guān)的如果正交向量組k , 02211 kk , , 21 不全為零。常數(shù)其中k , ), 2 , 1 ( 作內(nèi)積如下任取向量kii )0 ,() ,(2211 。ikki )0 ,() ,(2211 ikki , 1) ,( , 0) ,( , 故得而時(shí)由于iijiji , ) ,() ,( 2211 iiiikki , 0)0 ,( 從而又i ) , , 2 , 1 ( ,

7、0 。kii : , 21 說明了不全為零矛盾。該矛盾這與k 組是線性無關(guān)的。歐氏空間中的正交向量 , 的維數(shù)。個數(shù)不大于所在空間正交向量組所含向量的顯然V 向量組歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交 , , , , 21中的一組正交向量組是歐氏空間設(shè)nmE , , , , 21則稱該向量中的每個向量均為單位如果m , 簡稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組。向量組正交向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交 .的正交基維向量空間三nVn 的正交基維向量空間nVn , , , , 21的一組基是向量空間設(shè)向量組nnV , , , , 21則稱它們?yōu)橄蛄靠帐莾蓛烧坏娜绻鹡 的一組正交基。間nV , , , 21中的每個向量均為單位如果正交基n )( ,

8、。或稱為規(guī)范基交基則稱該正交基為標(biāo)準(zhǔn)正向量 維向量的集合。是一些或全部nVn 基 最大無關(guān)組 由向量構(gòu)成的矩陣的秩 。描述標(biāo)準(zhǔn)正交基的問題我們將引進(jìn)正交矩陣來 正交矩陣重要?。≈匾。?滿足階方陣若An , EAAT 為正交矩陣。則稱 A , | | | |2AAAAATT , 1 |E 1 | 。故A 正交矩陣必滿秩。 :下列條件等價(jià)由正交矩陣的定義可知 . 41也是正交矩陣。A ; . 1為正交矩陣A ; . 2EAAT ; . 31 AAT例證證 , :均為正交矩陣和階方陣若證明BAn 階正交矩陣。也是則nAB , , , 所以因?yàn)镋BBEAATTBAABABABABABTTTTT)()

9、( , EBBEBBTT :階正交矩陣。也是由定義可知nAB 件判別正交矩陣的充要條 : 是為正交矩陣的充要條件階方陣 An , 1 素的平方和等于的任意一行（列）各元A 對元素與另一行（列）的而任意一行（列）的各 。應(yīng)元素的乘積之和為零 , 21212222111211則記nnnnnnnaaaaaaaaaA ) ,( jiA為正交矩陣 , , 1 , , 0jiji , , 2 , 1, 。nji , 21212222111211則記nnnnnnnaaaaaaaaaA ) ,( jiA為正交矩陣 , , 1 , , 0jiji , , 2 , 1, 。nji 行 列請翻開書請翻開書 , 看看

10、 P 131 倒數(shù)第倒數(shù)第 4 行行的定理的定理 2 及其證明。及其證明。 充要條件的證明 . 正交化方法四 , 中維向量空間在nVn , 不一定是正交向量組一個線性無關(guān)的向量組 化為法將線性無關(guān)的向量組但總可以找到適當(dāng)?shù)姆?方法。這樣的方法稱為正交化正交向量組。 )( 正交法施密特 Schmidt , , , 21量組。中的一組線性無關(guān)的向是空間設(shè)nmV . 111。令 ) ( , 0) ,( . 2122212。則取若 , ) ( , 0) ,( 12212為待定的系數(shù)則取若 ) , () ,(0 , 11212由于是 ) ,() ,() ,() ,(11121112 , ) ,( ) ,

11、( 1112解得 )( ) ,( ) ,( 1211111222。正交與向量則向量mm , , , , , , ,321321 )( 正交法施密特 Schmidt ) ,( , 0),( , 0),( . 32313332313。則取若 , 0),( , 0),( 2313則取若 , 2211 33 ) , () ,(0 , 12211 313由于是 ),(),(),(122111 13 ),(),(11113 ) ,( ) ,( 11131 。解得) ,(),(0 22211 323又由 ),(),(),(222211 23 , ) ,( ) ,( 22232解得 ) ,( ) ,( ) ,

12、( ) ,( 222231111333則向量 , 21。兩兩正交與向量mm, ,43214321。如此逐步進(jìn)行下去 ) ( , 個兩兩正交的向量若求出了一般地mkk , ,121121mkkmkk , 2211 11kkkk則取 ),(),() ,(0 , 11 11iikik由于是 ),(),(),(11 ikkiiiiii , ),(),( 1iiiik ) , , 2 , 1 ( , ) ,( ) ,( 1 kiiiiki解得 , ) ,() ,( 11111兩兩正交。與于是kikiiiikkk : , 止直到得到正交向量組為行下去按照這樣的方法一直進(jìn) , , , , , ,2121。m

13、m 向量。中的向量不一定是單位這樣得到的正交向量組 , 化處理。只需對每個向量作單位組要想得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量 線性無關(guān)的向量組 正交向量組 標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 正交化處理 單位化處理 流程圖向量組正交化、標(biāo)準(zhǔn)化 空間的基nV 中正交基nV 的標(biāo)準(zhǔn)正交基nV 正交化處理 單位化處理 流程圖的基的正交化、標(biāo)準(zhǔn)化空間nV例解解 ) 1 , 0 , 0 , 1( , )0 , 1 , 0 , 1 ( , )0 , 0 , 1 , 1 (321。 :正交組將下列向量組化為標(biāo)準(zhǔn) , )0 , 0 , 1 , 1 ( :11則令先作正交化處理 ) ,( ) ,(1111222 )0 , 1 , 2 1 , 2 1

14、 ()0 , 0 , 1 , 1 ( 21)0 , 1 , 0 , 1 (。 ) ,( ) ,( ) ,( ) ,(222231111333 , )0 , 1 , 2 1 , 2 1 )( 3 1()0 , 0 , 1 , 1 ( 2 1) 1 , 0 , 0 , 1( ) 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1(。 。進(jìn)行單位化處理 , ) 3 , 2 , 1 ( | 得到所求標(biāo)準(zhǔn)正交組令iiii , ) 0 0, , 2 1 , 2 1 (1 , ) 0 , 3 2 , 61 , 6 1 (2 ) 23 , 321 , 321 , 321 (3。 , ,321 , ,321 ) 1 ,31

15、 ,31 ,31( ),0 , 1 ,21 ,21( ),0 , 0 , 1 , 1 ( 321再將第五節(jié)第五節(jié) 線性變換線性變換一、線性變換的定義請點(diǎn)擊請點(diǎn)擊二、線性變換的矩陣三、線性變換在新基下的矩陣四、線性變換的特征值與特征向量一、線性變換的定義一、線性變換的定義定義定義1 1(1) 對任意對任意, V, 有有T(+)=T()+T()(2) 對任意對任意V, 及任意實(shí)數(shù)及任意實(shí)數(shù) k，有有T(k)=kT()則稱則稱 T 為為 V 的一個的一個線性變換線性變換.向量空間向量空間 V 到自身的一個映射到自身的一個映射 ，稱為稱為V的的 一個一個變換變換。T若若T滿足滿足：向量向量 在在 T

16、下的像下的像，記為記為T()或或T.注注2 2：用粗體大寫字母用粗體大寫字母T, A，B，C，表示線性變表示線性變換換，它構(gòu)成一個線性空間它構(gòu)成一個線性空間，定義定義變換變換T：)()(xfxf)()()()()()(xgxfxgxfxgxfT)()(xgTxfT)()() )()(xfkTxfkxfkxfkT全體的集合全體的集合， xRn設(shè)設(shè)表示定義在表示定義在R上次數(shù)不超過上次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式例例1 1：故故T 為為 的一個線性變換的一個線性變換. xRn ,)(),(RkxRxgxfn對對注注1 1：定義式中定義式中（1 1），（2 2）可表示為可表示為)()()(,21212

17、1TkTkkkTRkkV例例2 2：證證：T( + )= (+)A設(shè)設(shè) A 為一為一 n 階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣，對任意對任意 Rn ，令令 T= A, 則則 T 為為 Rn 中的線性變換中的線性變換. = A+ A = T + TT(k)= (k) A = k( A) = k (T)故故 T 為為 Rn 中的線性變換中的線性變換.V V 中兩類特殊的線性變換中兩類特殊的線性變換：1. 恒等變換恒等變換 EE= , V2. . 零變換零變換 OO= 0 , V定理定理1 1設(shè)設(shè) T 是是V 的一個線性變換的一個線性變換，則則(1) T把零向量變到零向量把零向量變到零向量，把把 的負(fù)向量變的負(fù)向量變到

18、到 的像的負(fù)向量的像的負(fù)向量，即即T 0=0；T()= T.(2) T保持向量的線性組合關(guān)系不變保持向量的線性組合關(guān)系不變, , 即即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3) T把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組. .定義定義2 2設(shè) L(V) 是向量空間是向量空間 V 的全體線性變換的集合的全體線性變換的集合,定義定義 L(V) 中的加法，數(shù)乘與乘法如下中的加法，數(shù)乘與乘法如下：加法加法: (T1+T2) =T1+T2 ;數(shù)乘數(shù)乘: (kT) =kT乘法乘法: (T1T2) =T1(T2)對對 V, kR.均為均為 V 的線

19、性變換的線性變換.T1+T2，T1T2，kT可證可證: 若若 T1, T2 均為均為 V 的線性變換，則的線性變換，則二、線性變換的矩陣二、線性變換的矩陣T 為 V 的一個線性變換.T =k1 T 1+k2 T 2+ +km T m設(shè) V 為向量空間, dim(V)=m.1, 2, , m 為V 的一組基， =k11+k22+ +kmmVmmkkkTTT2121),(T1 =a111+a212+ +am1mT2 =a121+a222+ +am2mTm =a1m1+a2m2+ +ammm 即即(T 1, T 2, , T m )= (1, 2, , m ) A其中其中mmmmmmaaaaaaaa

20、aA212222111211T(1, 2, , m ) = (1, 2, , m ) A簡記為簡記為設(shè)（1）（2） , m下的矩陣下的矩陣.稱矩陣稱矩陣 A 為線性為線性變換變換 T在基在基1, 2,給定給定 V 的基的基1, 2, , m ,線性變換線性變換T矩陣矩陣A定理定理3 3設(shè)設(shè) V 的線性變換的線性變換 T有有(T 1, T 2, , T m ) = (1, 2, , m ) A向量向量在基在基1, 2, , m下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為(x1, x2, , xm)，T在此基下的坐標(biāo)為在此基下的坐標(biāo)為(y1, y2, , ym), 則則nmxxxyyy2121A= (1, 2, , m

21、) A =x11+x22+ +xmmT =x1 T 1+x2 T 2+ +xm T mmmxxxTTT2121),(mxxx21= (1, 2, , m )myyy21nmxxxAyyy2121證明證明：所以所以例例3 3：設(shè)設(shè) R3 的線性變換的線性變換TT(x1, x2, x3)=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 求求 T 在標(biāo)準(zhǔn)基在標(biāo)準(zhǔn)基1, 2, 3下的矩陣下的矩陣. 解解：T1=T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)= a111+a21 2+ a31 3T2=T(0, 1, 0)=(a12

22、, a22, a32)= a121+a22 2+ a32 3T3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)= a131+a23 2+ a33 3故故 T T 在標(biāo)準(zhǔn)基在標(biāo)準(zhǔn)基 1, 2, 3 下的矩陣為下的矩陣為333231232221131211aaaaaaaaaA),(),(321321TTT333231232221131211aaaaaaaaa特例：特例：線性變換線性變換 T=k 數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣kE恒等變換恒等變換 T= 單位矩陣單位矩陣E零變換零變換 T=0 零矩陣零矩陣O定理定理4 4三、線性變換在新基下的矩陣三、線性變換在新基下的矩陣1, 2, , m1, 2, ,

23、m；設(shè)設(shè) 向量空間向量空間V有兩組基，分別為有兩組基，分別為B=C1AC則則證明證明：）（1, 2, , mB）（1, 2, , m（1, 2, , mC且且=T (1, 2, , m)=(1, 2, , m ) = (1, 2, , m ) AT）(1, 2, , m)=（1, 2, , mBT（1, 2, , mC）T= (1, 2, , m ) A C=（1, 2, , m） C1AC.B=C1AC.故故定義定義5 5設(shè)設(shè) A, B 為兩為兩 n 階方陣，若存在可逆矩陣階方陣，若存在可逆矩陣 C，使使 B=C1AC , 則稱方陣則稱方陣 A 與與 B 相似相似，記為記為AB.性質(zhì)性質(zhì)：(

24、1) AA (反身性反身性)(2) AB BA (對稱性對稱性)(3) AB, BC AC (傳遞性傳遞性)AC1BC=B=(FD)-1 C (FD)A=D-1DCF )=D-1D(F-1解：解：從從e1, e2, e3 到到1, 2, 3的過渡矩陣的過渡矩陣211243132C例例5 5 線性變換線性變換 T 在在 R3 中基中基 e1, e2, e3 下的矩陣為下的矩陣為6788152051115A求求T在基在基1=2e1+3e2+e3 , 2=3e1+4e2+e3 , 3=e1+2e2+2e3 下的矩陣下的矩陣.故線性變換故線性變換 T 在在 1, 2, 3 下的矩陣下的矩陣B=C1AC

25、300020001四、線性變換的特征值與特征向量四、線性變換的特征值與特征向量定義定義6 6問題: 線性變換在何種基下對應(yīng)對角矩陣線性變換在何種基下對應(yīng)對角矩陣? ?T = 成立，則稱成立，則稱 為為T的一個的一個特征值特征值，而，而 稱為稱為 T 對對應(yīng)于特征值應(yīng)于特征值 的一個的一個特征向量特征向量。如果存在如果存在數(shù)數(shù) 及及 n 維維非零向量非零向量 ，使得使得設(shè)設(shè) T 是向量空間是向量空間 V 的一個線性變換的一個線性變換, ,注：注：若若 為為 T的屬于特征值的屬于特征值 的一個特征向量的一個特征向量, 則則k (k 0)也為也為T的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量的特征向量.T (k )= kT = k = (k )若若 1, 2, , m為為T 的特征向量，且構(gòu)成的特征向量，且構(gòu)成 V 的基的基由 Ti= i iT（ 1, 2, , m）m21=（ 1, 2, , m）T在在特征向量特征向量這組基下這組基下定理定理5 5設(shè)設(shè) V 為為 m 維向量空間，維向量空間，T為為 V 的一個線的一個線性變