數(shù)學(xué)建模暑期練習(xí)題

1、2021年數(shù)學(xué)建模暑期練習(xí)題1.食品廠用三種原料生產(chǎn)兩種糖果，糖果的成分要求和銷售價(jià)見表1表1糖果有關(guān)數(shù)據(jù)原料A原料B原料C價(jià)格元/kg高級(jí)奶糖> 50%P > 25%< 10%廠 24水果糖20%20%羽5%15各種原料的可供量和本錢見表2。表2各種原料數(shù)據(jù)原料可供量公斤本錢員/公斤A500 20B75012C6258該廠根據(jù)訂單至少需要生產(chǎn)600公斤高級(jí)奶糖，800公斤水果糖，為求最大 利潤，試建立線性規(guī)劃模型并求解。2.某商業(yè)公司方案開辦5家新商店。為了盡早建成營業(yè)，商業(yè)公司決定由 5家 建筑公司分別承建。建筑公司 A i 1,2,34,5丨對(duì)新商店Bj : j 123

2、,4,5丨的建造費(fèi)用的報(bào)價(jià)萬元為q i, j 123,4,5，見表3。商業(yè)公司應(yīng)當(dāng)對(duì)5家建 筑公司怎樣分配建造任務(wù)，才能使總的建造費(fèi)用最少？表3各建筑公司的建筑費(fèi)用數(shù)據(jù)B1B2B3B4B5A4871512A79171410A691287A46714610A569121063.上海醫(yī)科大學(xué)病理生理教研室曾做過小鼠肉瘤的增長實(shí)驗(yàn)，并得到了如表4所示的數(shù)據(jù)。表4小鼠肉瘤的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí) 間021623911252713151719體0.0040.0310.0610.0740.1030.1520.2100.339積0.5200.8131.269 1.5581假設(shè)t時(shí)刻腫瘤的體積v(t)滿足指數(shù)模型dvrv

3、 dtv(0) Vo請(qǐng)擬合參數(shù)r。2假設(shè)t時(shí)刻腫瘤的體積v(t)滿足Logistic模型dv2v vdtv(0) vo請(qǐng)擬合參數(shù)，。4數(shù)據(jù)見表5。試求y對(duì)Xi,X2,X3的線性回歸方程并檢驗(yàn)回歸效果，能否剔除一個(gè)變量？表5回歸分析數(shù)據(jù)序號(hào)X1X2X3y序號(hào)X1X2X3y10.453158641012.6581125120.423163601110.9371117633.11937711223.1461149640.634157611323.1501347754.72459541421.644739361.765123771523.1561689579.4444681161.9361435481

4、0.131117931726.858202168911.629173931829.951124995 煉鋼廠出鋼時(shí)所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對(duì)耐火材料的侵蝕作用，隨著 使用次數(shù)的增加，容積不斷增大，實(shí)測(cè)得到 15組數(shù)據(jù)如表6。表6出鋼數(shù)據(jù)使用次數(shù)X23456789增大容積y6.78.29.589.59.7109.969.99使用次數(shù)X10111213141516增大容積y10.4910.5910.610.810.610.910.76試分別按以下兩種形式建立y對(duì)x的回歸方程，畫出散點(diǎn)圖和回歸曲線，并根據(jù)適當(dāng)?shù)闹笜?biāo)判斷哪一種好八1byxb2y cex .6 數(shù)據(jù)見表7。x00.511.522.5

5、33.544.555.5y3.67.510.712.713.112.511.310.711.815.422.23.6表7數(shù)據(jù)表試求形式為y a0 a1x2 a2x3 a3sinx的回歸方程并檢驗(yàn)回歸效果。7.一枚導(dǎo)彈，以初始速度V。，水平夾角離開原點(diǎn)(0,0)。如果導(dǎo)彈在(xe, ye)點(diǎn)著陸，且在飛行中受到一拉力，其大小和速度的平方成比例, 軌跡的四個(gè)一階方程為那么控制導(dǎo)彈飛行dVxdxdVydx，2 2Cd VxVygGVyjv； V：VxdydxdtdxVy其中y是導(dǎo)彈的垂直高度，x是飛行的水平距離，t是時(shí)間，Vx和Vy分別是速度V的水平和垂直分量，Cd是拉力系數(shù)，g是重力加速度。這些方

6、程僅當(dāng)V0足夠大 且Vx大于零時(shí)才有效。初始條件為vxt 0 v0cos ，Vyt0 v0sin ，yt 0 01當(dāng) V0 600 f/s，Cd 0.002，45時(shí)，畫出導(dǎo)彈到達(dá)ye 0前的飛行軌跡。2求導(dǎo)彈的最大上升高度及出現(xiàn)這一高度時(shí)的飛行距離3求ye 0時(shí)的值及到達(dá)這一點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間。8. 1989年度西山礦務(wù)局五個(gè)生產(chǎn)礦井實(shí)際資料如表8所示，請(qǐng)對(duì)西山礦務(wù)局五個(gè)生產(chǎn)礦井1989年的企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。表81989年度西山礦務(wù)局五個(gè)生產(chǎn)礦井技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)實(shí)現(xiàn)值指標(biāo)白家莊 礦杜爾坪礦西銘礦官地礦西曲礦原煤本錢99.89103.6997.42101.1197.21原煤利潤96.91124.

7、7866.44143.9688.36原煤產(chǎn)量102.63101.85P 104.39100.94100.64原煤銷售量98.47103.16109.17104.3991.90商品煤灰分87.5190.2793.7794.3385.21全員效率108.35106.39142.35121.91158.61流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天 數(shù)71.67137.1697.65171.31204.52資源回收率103.2510010099.13100.22百萬噸死亡率171.251.3515.9053.7220.789 友誼農(nóng)場(chǎng)有3萬畝農(nóng)田，欲種植玉米、大豆和小麥三種農(nóng)作物。各種作物每 畝需施化肥分別為0.12噸、0.2

8、0噸、0.15噸。預(yù)計(jì)秋后玉米每畝可收獲 500千 克，售價(jià)為0.24元/千克，大豆每畝可收獲200千克，售價(jià)為1.20元/千克，小麥 每畝可收獲350千克，售價(jià)為0.70元/千克。農(nóng)場(chǎng)年初規(guī)劃時(shí)考慮如下幾個(gè)方面。1年終收益不低于350萬元；2總產(chǎn)量不低于1.25萬噸；3小麥產(chǎn)量以0.5萬噸為宜；4大豆產(chǎn)量不少于0.2萬噸；5玉米產(chǎn)量不超過0.6萬噸；6農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)能提供5000噸化肥；假設(shè)不夠，可在市場(chǎng)高價(jià)購置，但希望高 價(jià)采購量愈少愈好。試就該農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)方案建立數(shù)學(xué)模型。10設(shè)有9個(gè)節(jié)點(diǎn)A(i 1,9)，他們的坐標(biāo)分別為(x,yj，具體數(shù)據(jù)見表9。任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的電纜長度為dj | Xi Xj

9、| | yi yj |問怎樣連接電纜，使每個(gè)節(jié)點(diǎn)都連通，且所用的總電纜長度為最短？表9點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)表i123456789Xi0516203323352510y15202420251170311.最廉價(jià)飛機(jī)線路的選擇北京的一科技公司由于業(yè)務(wù)的需要，其總經(jīng)理每周要往返于總公司與各個(gè)子 公司之間，其出行所乘坐的交通工具是飛機(jī)， 各個(gè)城市間的飛機(jī)線路，及票價(jià)如 下表城市北京天津南京青島上海廣州深圳西安武漢杭州北京1050INF4025 :101214 :INF15天津5001520INF2520INF1716南京INF1501020INFINF2628INF青島402010010 :253222182

10、1上海25INF201005516INF2124廣州1025INF255501724INF25深圳1220INF3216 :170162718西安14INF2622INF241601819武漢INF17281821INF2718020杭州1516INF2124251819200注：數(shù)字代表價(jià)格，INF表示城市之間沒有線路。 問怎樣才能算出一張任意城市間的最廉價(jià)路線表。12.選址問題某地區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)如圖8-37所示，其中點(diǎn)代表居民小區(qū)，邊代表公路，邊上 的數(shù)字為小區(qū)間公路距離單位：千米，各個(gè)小區(qū)的人數(shù)如表10所示，問區(qū)中 心醫(yī)院應(yīng)建在哪個(gè)小區(qū)，可使離醫(yī)院最遠(yuǎn)的小區(qū)居民人均就診時(shí)所走的路程最 近？

11、表10 各個(gè)小區(qū)的人數(shù)小區(qū)1234567人數(shù)5359896096007890673廠7694813613.高速公路修建費(fèi)用問題A城和B城之間準(zhǔn)備建一條高速公路，B城位于A城正南90公里和正東120公里交匯處，它們之間有東西走向連綿起伏的山脈。公路造價(jià)與地形特點(diǎn)有關(guān)，如圖給出了整個(gè)地區(qū)的大致地貌情況，圖中坐標(biāo)系原點(diǎn)為O, 0B為X軸，OA為丫軸，經(jīng)測(cè)量，曲線CD、EF、GH、IJ分別近似滿足方程y2213sin x 、y3387 .1sin - x23151 3cos x 、5168 4cos x圖中顯示可分為三條沿東西方向的地形帶。每個(gè)地形帶的造價(jià)如下：地形帶平原高地高山造價(jià)萬元/公里5008

12、001400你的任務(wù)是建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在給定三種地形上每公里的建造費(fèi)用的情況下，確定最廉價(jià)的路線。圖中直線 AB顯然是路徑最短的，但不一定最廉價(jià)。你怎樣使你的模型適合于下面兩個(gè)限制條件的情況呢？(a) 當(dāng)?shù)缆忿D(zhuǎn)彎是，角度至少為140°。(b) 圖中P是個(gè)重要的城市，其坐標(biāo)為(44, 60)，道路必須通過P城。14. 一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，不考慮腐爛，被人為掠取。這些種 子如果可以活過冬天，其中一局部能在第 2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中 的另一局部雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個(gè)冬天，那么其中一局部可在第三年春 季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一

13、年生植物只能活1年，而近似的認(rèn)為，種子最多可以活過三個(gè)冬天?，F(xiàn)在在一片空地上種上x° 500顆某種一年生植物。記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為 c,種子能活過一個(gè)冬天的(1歲種子)比例為b,活過一個(gè)冬天沒有發(fā)芽又活過一個(gè)冬天的 2歲種子比例仍為b,活過一個(gè)冬天沒有發(fā)芽又活過一個(gè)冬天的3歲種子比例仍也為b,1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2,3歲種子發(fā)芽率a3 .設(shè)c 10,q 0.7,a2 0.4,a3 0.2,為固定，b是變量，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。15. 船票價(jià)格某輪船公司爭(zhēng)取一個(gè)相距1000公里的甲、乙兩地的客運(yùn)航線權(quán)，輪船的平均載

14、 客人數(shù)為400人，輪船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用和輪船的航行速度的立方成正比， 輪船的最大速度為25公里/小時(shí)，當(dāng)船速為10公里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)用是每小 時(shí)30元，其余費(fèi)用不管速度如何都是每小時(shí)480元，假設(shè)公司打算從每個(gè) 乘客身上獲得利潤10元，試為該公司設(shè)計(jì)一種較為合理的船票價(jià)格。16. 湖水的自我凈化問題3設(shè)一容積為V單位：m丨的大湖受到 某種物質(zhì)的污染，污染物均勻的分布在3湖中。假設(shè)從某時(shí)刻起污染源被切斷，設(shè)湖水更新的速率是r單位：m /天試建立求污染物濃度下降至原來的 3%需要多長時(shí)間的數(shù)學(xué)模型。某湖的容積為335176*109 m,湖水的流量為4.121*10M0m /天，求污染終止

15、后，污染物下 降到原來的3%所需的時(shí)間。2計(jì)算由下面3條曲線222Xx y 25，8所圍成的面積。3計(jì)算由下面2個(gè)幾何體圍成的體積:8.6.4.2.0.-2 .y2 1，(x 2)2 (y 1)2 92 2x yy 133610,故總要保持-10 -1018.庫存問題在物資的供給過程中,由于到貨與銷售不可能做到同步、 同量,17.長度、面積與體積的計(jì)算1某平原地區(qū)的一條公路經(jīng)過如下坐標(biāo)點(diǎn)，請(qǐng)用不同的插值方法繪出這 條公路不考慮公路的寬度。對(duì)于下表給出的數(shù)據(jù)，并估計(jì)的公路長度。X(m)03050708090120148170180Y(m)80644742486680120121138X(m)20

16、2212230248268271280290300312Y(m)160182200208212210200196188186X(m)320340360372382390416430478440Y(m)200184188200202240246280296308X(m)420380360340320314280240200Y(m)334328334346356360392390400一定的庫存儲(chǔ)藏。如果庫存過多，就會(huì)造成積壓浪費(fèi)以及保管費(fèi)的上升； 如果庫 存過少，會(huì)造成缺貨如何選擇庫存和訂貨策略，就是一個(gè)需要研究的問題庫 存問題有多種類型，一般比較復(fù)雜，下面討論一種簡單的情況.某自行車商店的倉庫管理人員采取一種簡單的訂貨策略，當(dāng)庫存量降低到P輛自行車時(shí)就向廠家訂貨，每次訂貨 Q輛，如果某一天的需求量越過了庫存量， 商店就有銷售損失和信譽(yù)損失，但如果庫存量過多，會(huì)導(dǎo)致資金積壓和保管費(fèi)增 加.假設(shè)現(xiàn)在已有如下表所示的五種庫存策略，訂貨方案表方案編號(hào)重新訂貨點(diǎn)P/輛重新訂貨量Q/輛萬案1125150萬案2125250萬< 31502